期末复习冲刺模拟试卷
一．选择题（每题 2 分，满分 20 分）
1．下列结论正确的是（ ）
A．﹣ ＝﹣6 B．（ ）2＝9
C． ＝±16 D．﹣（﹣ ）2＝
2．下列二次根式，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若 OE＝
3cm，则 AB 的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．若干名工人某天生产同一种玩具，生产的玩具数整理成条形图（如图所示）．则他们生
产的玩具数的平均数、中位数、众数分别为（ ）
A．5，5，4 B．5，5，5 C．5，4，5 D．5，4，4
5．关于一次函数 y＝﹣3x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（﹣1，3）
B．y 随 x 的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
D．与 y 轴的交点坐标为（0，1）
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，0），B（0，3），以点 A 为圆心，AB
长为半径画弧，交 x 轴的正半轴于点 C，则点 C 的横坐标介于（ ）
A．0 和 1 之间 B．1 和 2 之间 C．2 和 3 之间 D．3 和 4 之间
7．如图，在三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝3cm，则点 C 到
AB 的距离为（ ）
A．4cm B．3cm C．2.4cm D．2.5cm
8．甲、乙两名同学的 5 次射击训练成绩（单位：环）如表，比较甲、乙这 5 次射击成绩的
方差，结果为：甲的方差（ ）乙的方差．
甲 7 8 9 8 8
乙 6 10 9 7 8
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
9．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，如果 OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩
形 ABCD 的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．8 D．16
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 不与点 B、
C 重合），现将△PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 C′处；作∠BPC′的角平分线交 AB
于点 E．设 BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题 3 分,满分 15 分）
11．规定运算：a☆b＝ ﹣ ，a※b＝ + ，其中 a，b 为实数，则（3☆5）（3※5）
＝ ．
12．一组数据为：5，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据
的中位数是 ．
13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为 0.7m，顶端距离地面 2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端
距离地面 2m，则小巷的宽度为 m．
14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝24，BD＝10，DE⊥
BC，垂足为点 E，则 DE＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，直线 y＝ x+12 与 x 轴交于点 A，
与 y 轴交于点 B，若点 C 在坐标轴上，且△ABC 是以∠ABC 为顶角的等腰三角形，则点 C
的坐标为 ．
三．解答题
16．（10 分）计算：
（1） ×（ +3 ﹣ ）；
（2）（ ﹣1）2+ ×（ ﹣ ）+ ．
17．（5 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3）， B（4，0）， C（m，﹣
3m+22），点 D 与 A 关于 x 轴对称．
（1）写出点 C 所在直线的函数解析式；
（2）连接 AB，BC，AC，若线段 AB，BC，AC 能构成三角形，求 m 的取值范围；
（3）若直线 CD 把四边形 ACBD 的面积分成相等的两部分，试求 m 的值．
18．（6 分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道
“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译
为：有一根竹子高一丈，今在 A 处折断，竹梢落在地面的 B 处，B 与竹根部 C 相距 3 尺，
求折断点 A 与地面的高度 AC．（注：1 丈＝10 尺）
19．（7 分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的
情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每
位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
对这 30 个数据按组距 3 进行分组，并整理、描述和分析如下：
频数分布表
组别 一 二 三 四 五 六 七
销售额 13≤x＜
16
16≤x＜
19
19≤x＜
22
22≤x＜
25
25≤x＜
28
28≤x＜
31
31≤x＜
34
频数 7 9 3 a 2 b 2
数据分析表
平均数 众数 中位数
20.3 c 18
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若将月销售额不低于 25 万元确定为销售目标，则有 位营业员获得奖励；
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售日标，你认为月销售额定为多少合适？说明
理由．
20．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 是 AD 边上的点，BM，CN 交于点
O，AN＝DM，BM＝CN．
（1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形．
（2）若∠BOC＝90°，MN＝1，AM•MD＝12，求矩形 ABCD 的面积．
21．（8 分）为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种
运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求 m 的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于
21700 元，且甲种运动鞋的数
量不超过 100 双，问该专卖店共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动
鞋每双优惠 a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利
润应如何进货？
22．（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是射线 CB 和射线 DC 上的动点，且始
终∠MAN＝45°．
（1）如图 1，当点 M、N 分别在线段 BC、DC 上时，请直接写出线段 BM、MN、DN
之间的数量关系；
（2）如图 2，当点 M、N 分别在 CB、DC 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，
若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图 3，当点 M、N 分别在 CB、DC 的延长线上时，若 CN＝CD＝6，设 BD 与 AM
的延长线交于点 P，交 AN 于 Q，直接写出 AQ、AP 的长．
23．（12 分）如图 1，将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A（4，0）、C（0，
3），将其绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 O'AB'C，旋转一周后停止．
（1）当边 O'A 所在直线将矩形分成面积比为 5：1 的两部分时，求 O'A 所在直线的函
数关系式．
（2）在旋转过程中，若以 C，O'，B'，A 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 O'的
坐标．
（3）取 C'B'中点 M，连接 CM，在旋转过程中，当 CM 取得最大值时，直接写出△ABM
的面积．
参考答案
一．选择题
1． A．2． C．3． B．4． B．5． D．6． B．7．C．8． B．9． D．10． D．
二．填空题
11．﹣2
12．3．
13． 2.2．
14． ．
15．（5，0）或（0，﹣1）或（0，25）．
三．解答题
16．解：（1） ×（ +3 ﹣
＝ ×（5 ）
＝12；
（2）（ ﹣1）2+ ×（ ﹣ ）+
＝2﹣2 +1+3﹣3 +2
＝6﹣3 ．
17．解：（1）由 C（m，﹣3m+22）可知点 C 所在直线的函数解析式为 y＝﹣3x+22；
（2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，
∵A（0，3），B（4，0），
∴ ，解得 ，
∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣ x+3，
若线段 AB，BC，AC 能构成三角形，则 C 点不在直线 AB 上，
∴﹣ m+3≠﹣3m+22，解得 m≠ ，
∴m 的取值范围是 m≠ 的实数；
（3）∵点 D 与 A 关于 x 轴对称，A（0，3），
∴D（0，﹣3），
若直线 CD 把四边形 ACBD 的面积分成相等的两部分，则直线 CD 一定经过 AB 的中点，
∵A（0，3），B（4，0），
∴中点为（2， ），
设直线 CD 的解析式为 y＝ax﹣3，
∴ ＝2a﹣3，解得 a＝ ，
∴直线 CD 的解析式为 y＝ x﹣3，
把 C（m，﹣3m+22）代入得，﹣3m+22＝ m﹣3，
解得 m＝ ．
18．解：设 AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即 x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
即 AC＝4.55．
19．解：（1）在 22≤x＜25 范围内的数据有 3 个，即 a＝3，在 28≤x＜31 范围内的数据
有 4 个，即 b＝4，
15 出现的次数最多，则众数为 15，即 c＝15；
故答案为：3、4、15；
（2）月销售额不低于 25 万元为后面三组数据，即有 8 位营业员获得奖励，
故答案为：8；
（3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为 18 万合适．
因为中位数为 18，即大于 18 与小于 18 的人数一样多，
所以月销售额定为 18 万，有一半左右的营业员能达到销售目标．
20．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠A+∠D＝180°，
∵AN＝DM，
∴AM＝DN，
在△ABM 和△DCN 中， ，
∴△ABM≌△DCN（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形．
（2）解：∴△ABM≌△DCN，
∴∠AMB＝∠DNC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠OBC，∠DNC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝90°，
∴△OBC 是等腰直角三角形，
∴AMB＝∠OBC＝45°，
∴△ABM 是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵AM•MD＝12，AN＝DM，
∴AM（AM﹣1）＝12，
解得：AM＝4，或 AM＝﹣3（舍去），
∴AB＝AM＝4，MD＝3，
∴AD＝AM+MD＝7，
∴矩形 ABCD 的面积＝AD×AB＝7×4＝28．
21．解：（1）依题意得，
，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得 m＝100，
经检验，m＝100 是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋 x 双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解得 95≤x≤100，
∵x 是正整数，
100﹣95+1＝6，
∴共有 6 种方案；
（3）设总利润为 W，则 W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000
（95≤x≤100），
①当 50＜a＜60 时，60﹣a＞0，W 随 x 的增大而增大，
所以，当 x＝100 时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋 100 双，购进乙种运动鞋 100 双；
②当 a＝60 时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当 60＜a＜70 时，60﹣a＜0，W 随 x 的增大而减小，
所以，当 x＝95 时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋 95 双，购进乙种运动鞋 105 双．
22．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图 1，在 MB 的延长线上，截取 BE＝DN，连接 AE，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE 和△ADN 中， ，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM 和△ANM 中， ，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图 2，在 DC 上截取 DF＝BM，连接 AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM 和△ADF 中， ，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN 和△FAN 中， ，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝ ＝ ＝6 ，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AQ＝ AN＝2 ；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设 BM＝x，则 MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在 Rt△CMN 中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝ ＝ ＝2 ，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴PM＝ AM＝ ，
∴AP＝AM+PM＝3 ．
23．解：（1）∵矩形 OABC 中，A（4，0），C（0，3）
∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA＝4，AB＝OC＝3
∵O'A 所在直线将矩形分成面积比为 5：1 的两部分
∴小的部分面积为矩形面积的
①如图 1，当直线 O'A 交 OC 边于点 D，则 S△AOD＝ S 矩形 OABC
∴ OA•OD＝ OA•OC
∴OD＝ OC＝1
∴D（0，1）
设直线 O'A 关系式为：y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线 O'A 关系式为：y＝﹣ x+1
②如图 2，当直线 O'A 交 BC 边于点 E，则 S△ABE＝ S 矩形 OABC
∴ AB•BE＝ AB•BC
∴BE＝ BC＝
∴CE＝ BC＝
∴E（ ，3）
设直线 O'A 关系式为：y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线 O'A 关系式为：y＝﹣ x+9
综上所述，O'A 所在直线的函数关系式为 y＝﹣ x+1 或 y＝﹣ x+9．
（2）①若四边形 AO'CB'为平行四边形，则 O'与 O 重合，还没开始旋转，不符合题
意．
②若四边形 CO'B'A 为平行四边形，如图 3，
过点 O'作 O'F⊥x 轴于点 F，交 BC 于点 G，O'A 交 BC 于 E
∴四边形 OFGC 是矩形
∴OF＝CG，FG＝OC＝3
∵CO'∥AB'，且 CO'＝AB'
∴CO'＝AB＝3，∠CO'E＝∠O'AB'＝∠ABE＝90°
在△CO'E 与△ABE 中，
∴△CO'E≌△ABE（AAS）
∴CE＝AE，O'E＝BE
设 CE＝a，则 O'E＝BE＝4﹣a
∵Rt△CO'E 中，CO'2+O'E2＝CE2
∴32+（4﹣a）2＝a2
解得：a＝
∴CE＝ ，O'E＝
∴O'C＝ ＝ ＝3，
∵ ×O'C×O'E＝ ×EC×O'G，
∴O'G＝ ＝ ，
∴CG＝ ＝
∴O'F＝O'G+FG＝ +3＝
∴O'（ ， ）
③若四边形 CAO'B'为平行四边形，如图 4，
过点 O'作 O'F⊥x 轴于点 F，CB'交 x 轴于点 H
∵CB'∥AO'，且 CB'＝AO'
∴CB'＝AO'＝BC＝4，∠CB'A＝∠O'AB'＝∠B＝90°，∠AHB'＝∠O'AF
在 Rt△ABC 与 Rt△AB'C 中
∴Rt△ABC 与 Rt△AB'C（HL）
∴∠ACB＝∠ACB'
∵BC∥OA
∴∠ACB＝∠OAC
∴∠ACB'＝∠OAC
∴CH＝AH
设 OH＝h，则 CH＝AH＝4﹣h
∵Rt△COH 中，CO2+OH2＝CH2
∴32+h2＝（4﹣h）2
解得：a＝
∴OH＝ ，CH＝ ，
同上可求：O'F＝ ，AF＝
∴OF＝OA+AF＝4+
∴O'（ ，﹣ ）
综上所述，点 O'的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）．
（3）如图 5，∵∠B'＝90°，AB'＝3，B'M＝ C'B'＝2
∴AM＝
∴当点 M 运动到线段 CA 延长线上时，CM 最长，
过点 B 作 BN⊥AC 于 N，
∵AC＝ ，
∴S△ABC＝ AB×BC＝ AC×BN
∴BN＝
∴S△ABM＝ AM•BN＝
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