江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题（解析版）

江苏省常熟市 2019—2020 学年高一下学期期中测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把直线方程化为斜截式： 【详解】 化简后，直线方程为 ， 直线的斜率为 ， 直线的倾斜角为 故选：D 【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于简单题 2.已知 且 ，则 值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用倍角公式，令 ，又由 可得 ，可得答案 【详解】由 得， ，又由 可得 ，所以， 的 3 2 0x y+ − = 30− ° 60° 120° 150° 3 23y x= − +  3 23y x= − + ∴ 3 3 − ∴ 150° ,2x π π ∈   7cos2 25x = cos x 4 5 − 3 5- 3 5 4 5 2 7cos2 2cos 1 25x x= − = ,2x π π ∈   cos 0x < 2 7cos2 2cos 1 25x x= − = 2 16cos 25x = ,2x π π ∈   cos 0x ABC cos cosa A b B= ABC C. 若 ，则 是直角三角形 D. 若 ，则 是等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】 对于 A，化简得 ，然后即可判断选项 A 正确 对于 B，通过倍角公式，化简为 ，然后即可判断选项 B 错误 对于 C,通过和差公式和诱导公式即可化简出， ，然后即可判断选项 C 错误 对于 D，利用正弦定理，把 化简为 ，即可判断选项 D 正确 【详解】对于 A， ， ， 又由 A，B，C 是 的内角，故内角都是锐角，故 A 正确 对于 B，若 ，则 ，则 ，则 ，则 或 ， 是等腰三角形或直角三角形,故 B 错误 对于 C, ， ，即 ，则 是等腰三角形，故 C 不正确 对于 D，若 ，则 ，则 ， ，即 是等边三角形，故 D 正确 故选：AD 【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理 使用，属于简单题 12.已知圆 ： ，直线 ： ，以下结论成立的是（ ） A. 存在实数 与 ，直线 和圆 相离 B. 对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点 C. 对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切 D. 对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切 【答案】BC 的 cos cosb C c B b+ = ABC cos cos cos a b c A B C = = ABC 0tanA tanB tanC tanAtanBtanC+ + = > 2 2sin A sin B= sinsinB A= cos cos cos a b c A B C = = tanA tanB tanC= = ( )(1 )tanA tanB tan A B tanAtanB+ = + − ( )(1 )tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC+ + = + − +∴ ( )1 0tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC= − − + = > ABC∆ cos cosa A b B= sinAcosA sinBcosB= 2 2sinAcosA sinBcosB= 2 2sin A sin B= A B= 90A B °+ = ABC∆ cos cosb C c B b+ = sinB = cos sin( ) sinsinBcosC sinC B B C A+ = + = A B= ABC cos cos cos a b c A B C = = sin sin sin cos cos cos A B C A B C = = tanA tanB tanC= = A B C= = ABC M ( ) ( )2 2cos sin 1x yα α− + + = l y kx= k α l M k α l M k α l M α k l M 【解析】 【分析】 求出圆心坐标，求出圆心到直线的距离 ，判断 与 关系进行判断即可 【详解】对于 A 选项，圆心坐标为 ，半径 ，则圆心到直线 的距离 ,（ 是参数），即 ， 即直线 和圆 M 相交或相切，故 A 错误； 对于 B 选项， 直线 和圆 M 相交或相切， 对任意实数 与 ，直线 和圆 M 有公共点，故 B 正确； 对于 C 选项，对任意实数 ，当 时，直线 和圆 M 相切，故 C 正确， 对于 D 选项，取 ，则圆 M 的方程为： ,此时 y 轴为圆的经过原点的切线，但是不存 在 ，不正确，故 D 错误 故选：BC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的内容，属于简单题 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.其中第 14 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空 5 分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其 他 8 个小长方形面积和的 ，则中间一组的频数为_______. 【答案】50 【解析】 【分析】 由已知中频率分布直方图中，共 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和 的 ，根据这 9 个小正方形的面积（频率）和为 1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量， 即可得到中间一组的频数 【详解】由于中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 ，这 9 个长方形的面积和为 1，故 中间一个小长方形的面积等于 ，即中间一组的频率为 ，又由样本容量为 300， 故中间一组的频数为 故答案为:50 【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和 d d R ( , )M cos sinaα − 1R = 0kx y- = 2 | cos si 1 n |kd k α α+ + = = 2 2 1 | sin( ) | | sin( ) | 1 1 k k α θ α θ+ + + + =  θ ≤d R l  l ∴ k α l k | ( ) | 1sin α θ+ = l 0α = ( )2 21 1x y− + = k 1 5 1 5 1 5 1 6 1 6 1300 506 × = 为 1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键 14.若三点 A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则 m 的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】 由三点共线的性质可得 AB 和 AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解. 【详解】由题意可得 kAB=kAC,∴ ，∴m=4， 故答案为 4. 【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 15.已知 中， ， ， 分别是三个内角 ， ， 的对边，设 ，则角 的取值范围是 _______； 的取值范围是_______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先由正弦定理把 换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得 ，进而 和三角形的内角和 求得 A 的范围，进而根据余弦函数的单调性，求得 的取值范围 【详解】由正弦定理可知 ， ， ， ， ， ， ， ， 则 ，故的 值域为为 答案：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利 用三角函数的基本性质来解决问题 16.已知点 为圆 外一点，若圆 上存在一点 ，使得 ， 则正数 的取值范围是____________． 【答案】 3 12 6 12 1 2 2m − − −=+ + ABC a b c A B C 2B A= A b a 0, 3 π     ( )1,2 b a 2cosb Aa = 2B A= b a sin 2sin cos 2sin sin b B A A cosAa A A = = = 180A B C °+ + = 2B A= 3 180A C∴ + = ° 60 603 CA ° °= − < 0 60A∴ < < ° 0, 3A π ∴ ∈   1 cos 12 A∴ < < 1 2b a < < b a ( )1,2 0, 3 π     ( )1,2 ( )0,2P ( ) ( )2 2 2: 2C x a y a a− + − = C Q 30CPQ∠ =  a 7 1 13 a − ≤ 32 [ , ]4 4 π πα π+ ∈ 4cos(2 )4 5 πα + = − 2 4 2 3 2cos2 cos[(2 ) ] ( )4 4 2 5 2 5 10 π πα α= + − = × − + × = − 1l 4 0ax by− + = 2l ( )1 0.a x y b− + + = ( )1 1l ( )3, 1− − 1l 2l ( )2 1l 2l 1l 2l 2a = 2b = 2a = 2b = − 2 3a = 2b = ( )1 1l ( )3, 1− − 1l 2l 1− 类似 直线 与直线 平行，斜率相等，坐标原点到 ， 的距离相等，利用点到直线的距离相等． 得到关系，求出 a，b 的值． 【详解】 ， ，即 又点 在 上， 由 得 ， ． ， ， ， 故 和 的方程可分别表示为： ， ， 又原点到 与 的距离相等． ， 或 ， ， 或 ， ． 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算 能力，是基础题． 20.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， . （1）求角 的大小； （2）求边长 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理得 ，化简得 ，又由 ，联立方程求 ( )2 ( )1 1l 2l 1l 2l ( ) 1 21 l l⊥ ( ) ( )1 1 0a a b∴ − + − ⋅ = 2 0a a b− − = ① ( )3, 1− − 1l 3 4 0a b∴− + + = ② ①② 2a = 2b = ( ) 1 22 //l l 1a ab ∴ = − 1 ab a ∴ = − 1l 2l ( ) ( )4 11 0aa x y a −− + + = ( )1 01 aa x y a − + + =− 1l 2l 14 1 a a a a −∴ = − 2a∴ = 2 3a = 2a∴ = 2b = − 2 3a = 2b = ABC A B C a b c 7a = 3b = 7 sin sin 2 3B A+ = A c 3A π= 2c = 7 3 sin sinA B = 7 sin 3sinB A= 7 sin sin 2 3B A+ = 解即可 （2）在 中，由余弦定理 ，得 ，求出 的值后，判 断其是否符合题意即可 【详解】解：（1）在 中，由正弦定理 得 ，即 ， 因为 ，所以 ， 因为 是锐角三角形，所以 . （2）在 中，由余弦定理 ，得 ， 即 ，解得 或 ， 当 时，因为 ，所以角 为钝角，舍去； 当 时，因为 ，且 ， ，所以 为锐角三角形，符合题 意，所以 . 【点睛】本题考查解三角形中正弦与余弦定理的运用，属于简单题 21.某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在 100～110 的学生数有 21 人． （Ⅰ）求总人数 N 和分数在 110～115 分的人数 n; （Ⅱ）现准备从分数在 110～115 分的 n 名学生（女生占 ）中任选 2 人，求其中恰好含有一名女生的概率 ； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前 7 次考试的数学成绩 x ，物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 ABC 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 17 9 2 3 2c c= + − × × × c ABC sin sin a b A B = 7 3 sin sinA B = 7 sin 3sinB A= 7 sin sin 2 3B A+ = 3sin 2A = ABC 3A π= ABC 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 17 9 2 3 2c c= + − × × × 2 3 2 0c c− + = 1c = 2c = 1c = 2 2 2 7cos 02 14 a c bB ac + −= = − < B 2c = 2 2 2 7cos 02 14 a c bB ac + −= = > b c> b a> ABC 2c = 1 3 物理 94 91 108 96 104 101 106 已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到 130 分，请你估计他的物理成 绩大约是多少？ 附：对于一组数据 其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ． 【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ） ;（Ⅲ）115 分 【解析】 【分析】 (I)由题意结合频率分布直方图的结论可得 ；(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所 求的概率为 ;(III)结合所给数据，求得回归方程为 ，据此估计他的物理成绩大约是 115 分. 【详解】（Ⅰ）分数在 100～110 内的学生的频率为 所以该班总人数为 分数在 110～115 内的学生的频率为 分数在 110～115 内的学生的人数 （Ⅱ）由题意分数在 110～115 内有 6 名学生，其中女生有 2 名，设男生为 女生为 从 6 名学生中选出 2 人的基本事件为 共 15 个 其中恰好含有一名女生的基本事件为 共 8 个 所以所求的概率为 （Ⅲ） ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , , ,n nu v u v u v v uα β= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i ii n ii u u v v v u u u β α β= = − − = = − − ∑ ∑ 8 15P= 6n = 8 15P= 0.5 50ˆ ˆy x= + ( )1 0.04 0.03 5 0.35P = + × = 21 600.35N = = ( )2 1 0.01 0.04 0.05 0.04 0.03 0.01 5 0.1P = − + + + + + × = 60 0.1 6n = × = 1 2 3 4, , , ,A A A A 1 2, ,B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 4 1 1 1 2, , , , , , , , , ,A A A A A A A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 3 1, , , , , , , , , ,A B A B A B A B A B ( ) ( ) ( )3 2 4 1 4 2, , , , , ,A B A B A B 8 15P= 12 17 17 8 8 0 12100 1007x − − + − + + += + = 由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 所以线性回归方程为 当 时， 所以估计他的物理成绩大约是 115 分 22.已知圆 与 轴负半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 . （1）若过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； （2）若在以 为圆心半径为 的圆上存在点 ，使得 ( 为坐标原点)，求 的取值范围； （3）设 是圆 上的两个动点，点 关于原点的对称点为 ，点 关于 轴的对 称点为 ，如果直线 与 轴分别交于 和 ，问 是否为定值？若是求出该定值 ；若不是，请说明理由. 【答案】（1）直线 的方程为 或 ；（2） ；（3） 为定值 1.. 【解析】 试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解 得 k 即可求得直线方程；(2)设点 的坐标为 ，由题得点 的坐标为 ，点 的坐标为 由 可得 ，化简可得 又点 在圆 上，所以转化 为点 p 轨迹与圆 B 有交点即可得解（3） ，则 ，直线 的方程为 ， 令 ， 则 ， 同 理 可 得 利用 是圆 上的两个动点即可得定值. 试题解析： （1） 若直线 的斜率不存在，则 的方程为： ，符合题意. 若直线 的斜率存在，设 的方程为： ，即 6 9 8 4 4 1 6100 1007y − − + − + + += + = 497 0.5ˆ , 100 0.5 100 5099 ˆ 4b a= = = − × = 0.5 50ˆ ˆy x= + 130x = ˆ 115y = 2 2: 1O x y+ = x A y B 1 3,2 2C       l O 3 l B r P 2PA PO= O r ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y Q x y O M 1M M x 2M 1 2QM QM、 y ( )0,m ( )0,n m n⋅ l 1 2x = 3 1 0x y− + = 0 2 2r< ≤ m n⋅ P ( ),x y A ( )1,0− B ( )0,1 2PA PO= ( )2 2 2 21 2x y x y+ + = + ( )2 21 2x y− + = P B ( )1 1,M x y ( ) ( )1 1 1 2 1 1, , ,M x y M x y− − − 1QM ( )2 1 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = ++ 0x = 1 2 2 1 1 2 x y x ym x x −= + ( ) ( )2 2 1 2 2 11 2 2 1 2 2 1 2 1 2 x y x yx y x yn mnx x x x ，则 −+= =− − ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y Q x y O 1° l l 1 2x = 2° l l 3 1 2 2y k x − = −   2 2 3 0kx y k− − + = ∴点 到直线 的距离 ∵直线 被圆 截得的弦长为 ，∴ ∴ ，此时 的方程为： ∴所求直线 的方程为 或 （2）设点 的坐标为 ，由题得点 的坐标为 ，点 的坐标为 由 可得 ，化简可得 ∵点 在圆 上，∴ ，∴ ∴所求 的取值范围是 . （3）∵ ，则 ∴直线 的方程为 令 ，则 同理可得 ∴ ∴ 为定值 1. O l ( ) ( )2 2 3 2 2 k d k − + = + − l O 3 2 2 3 12d  + =    3 3k = l 3 1 0x y− + = l 1 2x = 3 1 0x y− + = P ( ),x y A ( )1,0− B ( )0,1 2PA PO= ( )2 2 2 21 2x y x y+ + = + ( )2 21 2x y− + = P B ( ) ( )2 22 1 0 0 1 2r r− ≤ − + − ≤ + 0 2 2r< ≤ r 0 2 2r< ≤ ( )1 1,M x y ( ) ( )1 1 1 2 1 1, , ,M x y M x y− − − 1QM ( )2 1 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = ++ 0x = 1 2 2 1 1 2 x y x ym x x −= + 1 2 2 1 1 2 x y x yn x x += − ( ) ( )2 2 1 2 2 11 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x y x yx y x y x y x ymn x x x x x x −− += ⋅ =+ − − ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x − − − = =− m n⋅