一．选择题（共 12 小题）
1．3 的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，下图
是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．重庆市南岸区 2018 年全区总人口约为 713000 人，把数 713000 用科学记数法表示正确的
是（ ）
A．7.13×105 B．713×103 C．71.3×104 D．7.13×104
4．二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+1 的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
5．用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火柴棒的根
数是（ ）
A．32 B．37 C．42 D．47
6．以下命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
7．如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树 A，B 间的距离，小亮测得了以下数
据：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，则 A，B 间的距离是（ ）
A．10m B．15m C．20m D．25m
8．估计（2 ﹣ ）÷ 的值应在（ ）
A．在 4.5 和 5.0 之间 B．在 5.0 和 5.5 之间
C．在 5.5 和 6.0 之间 D．在 6.0 和 6.5 之间
9．数学与我们的日常生活息息相关，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点 O 为圆心的扇形，如图
所示，已知雨刮器摆动的角度为 120°，雨刮器的总长为 1，雨刮器上有橡胶的部分（即
线段 AC 的长）为 ．则单个雨刮器在车窗上从 AC 转动到 BD，扫过的面积（ ）
A． π B． π C． π D． π
10．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的
剖面 ABCD 在同一平面上，在点 A 处测得塔顶 H 的仰角为 35°D 处测得塔顶 H 的仰角
为 45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径 AD 为 6m，高 CD 为 2.8m，则塔顶端 H 到
地面的高度 HG 为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，
＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
11．如图，点 A 和点 B 都是反比例函数 在第一象限内图象上的点，点 A 的横坐标为 1，
点 B 的纵坐标为 1，连接 AB，以线段 AB 为边的矩形 ABCD 的顶点 D，C 恰好分别落在 x
轴，y 轴的负半轴上，连接 AC，BD 交于点 E，若△ABC 的面积为 6，则 k 的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
12．若数 a 使关于 x 的分式方程 的解为非负整数，且使关于 y 的不等式组
至少有 3 个整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
二．填空题（共 6 小题）
13．计算： +（ ）﹣1＝ ．
14．一只蝴蝶随机停在如图所示的矩形窗玻璃上的任意一个小三角形内，则蝴蝶恰好停在白
色区域内的概率是 ．
15 ． 如 图 ， ABC 是 ⊙O 上 的 三 点 ， 已 知 半 径 OB ＝ 6 ， ∠ BAC ＝ 30 ° ， 则 的 长
为 ．
（用含 π 的代数式表示）
16．有一个计算程序，如图所示．若输入 x＝2，则第六次的运算结果是 ．
17．周末小明匀速步行赶往学校参加学校组织的植树活动，小明从家出发 30 分钟后，忽然
想起没有带植树工具，于是马上掉头往回走，行走速度比之前提高了 1 千米时（仍保持
匀速步行），同时小明打电话给爸爸，请爸爸帮他把植树的工具送过来，从小明开始打电
话到爸爸出门共用了 4 分钟，爸爸的行走速度与此时小明的行走速度相同，两人相遇后，
小明立即赶往学校，爸爸则转身回家，两人速度均保持不变，爸爸在回家途中用了 10 分
钟吃早餐，然后立即回家，当爸爸到家时小明刚好到达学校，爸爸和小明相距的路程 y
（千米）与小明从家出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，求今天早上小明从家到
学校途中行走的总路程是 千米．
18．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、
丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左
侧，乙和丙在道路右侧，2 小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证
道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为 6、
7、8、10 棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右
侧，为保证右侧比左侧提前 5 小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求
完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树
棵．
三．解答题（共 8 小题）
19．计算：
（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；
（2）（a+1﹣ ） ．
20．如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形 AECF 是平行四边形．
21．小明和小李准备七月初到重庆或长沙去旅游，为了了解这两个城市哪个更热，他们查阅
资料，收集了两个城市 2018 年七月前两周最高温度的记录，如下表
日期（七月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
重庆最高
温度/℃
33 36 34 31 31 30 30 33 34 36 37 35 37 37
长沙最高
温度/℃
29 34 35 35 36 29 31 31 34 35 35 31 35 35
根据上表，他们将两个城市的最高温度分别绘制了如下的频数分布直方图和统计表，并
对数据进行了整理分析：
最高温度/℃ 天数
28≤x＜30 2
30≤x＜32 a
32≤x＜34 0
34≤x＜36 8
36≤x＜38 1
平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃ 34℃以上天数 30℃以下天数
重庆 33.9 34 c 6 0
长沙 33.2 b 35 7 2
回答如下问题
（1）本次调查的目的是 ；
（2）补全频数分布直方图并写出表中 a，b，c 的值，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）结合以上分析，你认为七月初哪个城市更热，请写出两条支持你观点的理由．
22．某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数 y＝x2﹣4|x|的图象与性质进行了探究请补
充完整以下探索过程
（1）列表：
X … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ﹣3 ﹣4 n 0 …
直接写出 m＝ ，n＝ ；
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函
数的两条性质：
性质 1：
性质 2：
（3）若方程 x2﹣4|x|＝k 有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出 k 的取值范
围．
23．“绿水青山就是金山银山”为了改生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通
河道人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园．
（1）2018 年 1l 月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计 20 千米，其中
修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的 3 倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至 2018 年 12 月底，一期工程顺利按原计划完成，总共耗资 840 万元，其中疏通河
道工程共耗资 600 万元；2019 年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低
2.5a%，里程数较一期增加 3a%；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨 2.5a%，里程
数较一期增加 5a%，经测算，二期工程总费用将比一期增加 2a%，求 a 的值．
24．大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观
察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家，化归就是将面临的新问题转化为已经
熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．
如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：
请用以上方法解决下列问题：
（1）计算：（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）；
（2）若关于 x 的多项式 2x4+5x3+ax2+b 能被二项式 x+2 整除，且 a，b 均为自然数，求满
足以上条件的 a，b 的值及相应的商．
25．如图，在△ABC 中，AB＝BC，两条高 AD，BE 交于点 P 过点 E 作 EG⊥AB，垂
为 G，交 AD 于点 F，过点 F 作 FH∥AB，交 BC 于点 H，交 BE 交于点 Q，连接 DE．
（1）若 AD＝12，CD＝5，求 DE 的长．
（2）若∠ABC＝45°，求证：BE＝（1+ ）BQ．
26．如图，在平面直角坐标系内，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴交于点 A，C（点 A 在点 C
的左侧），与 y 轴交于点 B，顶点为 D．点 Q 为线段 BC 的三等分点（靠近点 C）．
（1）点 M 为抛物线对称轴上一点，点 E 为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，
当△MQC 的周长最小时，求△CME 面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当△CME 的面积最大时，过点 E 作 EN⊥x 轴，垂足为 N，将线
段 CN 绕点 C 顺时针旋转 90 得到点 N’，再将点 N′向上平移 个单位长度得到点 P，
点 G 在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点 H，使点 D，P，G，
H 构成菱形．若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．3 的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：因为 3× ＝1，
所以 3 的倒数为 ．
故选：A．
2．鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，下图
是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是： ．
故选：C．
3．重庆市南岸区 2018 年全区总人口约为 713000 人，把数 713000 用科学记数法表示正确的
是（ ）
A．7.13×105 B．713×103 C．71.3×104 D．7.13×104
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：713 000＝7.13×105．
故选：A．
4．二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+1 的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
【分析】根据顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数 y＝﹣2
（x﹣3）2+1 的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+1 是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1）．
故选：D．
5．用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火柴棒的根
数是（ ）
A．32 B．37 C．42 D．47
【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多 5 根火柴棒，根据此规律写出第 n
个图形的火柴棒的根数即可．
【解答】解：∵搭第 1 个图形需要 7 根火柴棒，7＝5+2，
搭第 2 个图形需要 12 根火柴棒，12＝5×2+2，
搭第 3 个图形需要 17 根火柴棒，17＝5×3+2，
…，
∴搭第 n 个图形需要的火柴棒的根数是 5n+2．
∴第⑦个图形需要的火柴棒的根数 5×7+2＝37，
故选：B．
6．以下命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定方法判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，
故选：D．
7．如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树 A，B 间的距离，小亮测得了以下数
据：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，则 A，B 间的距离是（ ）
A．10m B．15m C．20m D．25m
【分析】根据已知条件求得 DE 是△OAB 的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形
的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∵AD＝DC，
∴CE＝BE，
∴DE 是△CAB 的中位线，
∴AB＝2DE＝20m，
答：A，B 间的距离是 20m，
故选：C．
8．估计（2 ﹣ ）÷ 的值应在（ ）
A．在 4.5 和 5.0 之间 B．在 5.0 和 5.5 之间
C．在 5.5 和 6.0 之间 D．在 6.0 和 6.5 之间
【分析】化简原式为 2 ﹣2，估计出 的范围即可求解；
【解答】解：（2 ﹣ ）÷ ＝2 ﹣ ＝2 ﹣2，
∵3＜ ＜4，
∴4＜2 ﹣2＜6，
∵3.7＜ ＜3.75，
∴5.4＜2 ﹣2＜5.5，
故选：B．
9．数学与我们的日常生活息息相关，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点 O 为圆心的扇形，如图
所示，已知雨刮器摆动的角度为 120°，雨刮器的总长为 1，雨刮器上有橡胶的部分（即
线段 AC 的长）为 ．则单个雨刮器在车窗上从 AC 转动到 BD，扫过的面积（ ）
A． π B． π C． π D． π
【分析】根据线段的和差得到 OC＝ ，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝1，AC＝ ，
∴OC＝ ，
∴ AC 转 动 到 BD 扫 过 的 面 积 ＝ S 扇 形 AOB ﹣ S 扇 形 COD ＝ ﹣
＝ π，
故选：A．
10．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的
剖面 ABCD 在同一平面上，在点 A 处测得塔顶 H 的仰角为 35°D 处测得塔顶 H 的仰角
为 45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径 AD 为 6m，高 CD 为 2.8m，则塔顶端 H 到
地面的高度 HG 为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，
＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
【分析】延长 AD 交 HG 于 M，则 MG＝28m，设 DM＝x，根据三角函数的概念用含 x 的
代数式表示 HM，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长 AD 交 HG 于 M，则 MG＝CD＝28m，
设 DM＝x，
在 Rt△AHM 中，HM＝（x+6）•tan35°，
在 Rt△DHM 中，HM＝x•tan45°＝x，
∴（x+6）•tan35°＝x，
即（x+6）•0.70＝x，
∴x＝14，
即 HM＝14．
∴HG＝14+2.8＝16.8（m）．
故选：C．
11．如图，点 A 和点 B 都是反比例函数 在第一象限内图象上的点，点 A 的横坐标为 1，
点 B 的纵坐标为 1，连接 AB，以线段 AB 为边的矩形 ABCD 的顶点 D，C 恰好分别落在 x
轴，y 轴的负半轴上，连接 AC，BD 交于点 E，若△ABC 的面积为 6，则 k 的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】根据△ABC 的面积为 6，可以得出矩形 ABCD 的面积为 12，由点 A 的横坐标为
1，点 B 的纵坐标为 1，得出点 E 的坐标，进而推出点 C、D 的坐标，可以求出 DC 的长，
DA 的长，利用矩形 ABCD 的面积为 12，可求出结果．
【解答】解：∵点 A 和点 B 都是反比例函数 在第一象限内图象上的点，点 A 的横坐
标为 1，点 B 的纵坐标为 1
∴A（1，k）、B（k，1）
E 为矩形 ABCD 对角线的交点，
∴E（ ， ）
∵D，C 恰好分别落在 x 轴，y 轴的负半轴上，
设 D（a，0）、C（0，b）
E 为点 A、C 的中点
∴
a＝1﹣k，b＝1﹣k
∴D（1﹣k，0），C（0，1﹣k）
且 1﹣k＜0
在等腰直角△COD 中，OD＝OC＝k﹣1，由勾股定理得：
DC2＝OD2+OC2
DC2＝（k﹣1）2+（k﹣1）2
DC＝ （k﹣1）
A（1，k）、D（1﹣k，0），
AD2＝（1﹣k﹣1）2+k2＝ k
∴k2﹣k﹣6＝0
解得：k＝3，k＝﹣2（不符合题意，舍去）
故选：B．
12．若数 a 使关于 x 的分式方程 的解为非负整数，且使关于 y 的不等式组
至少有 3 个整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【分析】解出分式方程，根据题意确定 a 的范围，解不等式组，根据题意确定 a 的范围，
根据分式不为 0 的条件得到 a≠﹣2，根据题意计算即可．
【解答】解： ，
方程两边同乘（x﹣3），得 1﹣（x+a）＝x﹣3，
整理得，x＝ ，
由题意得， 是非负整数，且 ≠3，
解得：a≤4 且 a≠﹣2 且 a 为偶数；
解不等式组 得，﹣7＜y≤a，
∵不等式组至少有 3 个整数解，
∴a≥﹣4，
则﹣4≤a≤4 且 a≠﹣2 且 a 为偶数，
∴所有满足条件的整数 a 的值之和为：﹣4+0+2+4＝2，
故选：C．
二．填空题（共 6 小题）
13．计算： +（ ）﹣1＝ 0 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2＝0．
故答案为：0．
14．一只蝴蝶随机停在如图所示的矩形窗玻璃上的任意一个小三角形内，则蝴蝶恰好停在白
色区域内的概率是 ．
【分析】根据白色的面积正好是整个面积的一半，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有 8 个三角形，其中白色的三角形共有 4 个，正好是总面积的一半，
∴蝴蝶恰好停在白色区域内的概率是 ；
故答案为： ．
15．如图，ABC 是⊙O 上的三点，已知半径 OB＝6，∠BAC＝30°，则 的长为 2π ．
（用含 π 的代数式表示）
【分析】首先根据∠BAC 确定∠BOC 的度数，然后利用弧长公式求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝6，
∴ 的长为： ＝2π，
故答案为：2π．
16．有一个计算程序，如图所示．若输入 x＝2，则第六次的运算结果是 ．
【分析】按照条件给出的式子和规律代入求 y1、y2、y3……到 y6 的值即求得答案．
【解答】解：第一次运算：y1＝
第二次运算：y2＝
第三次运算：y3＝
第四次运算：y4＝
第五次运算：y5＝
第六次运算：y6＝
故答案为：
17．周末小明匀速步行赶往学校参加学校组织的植树活动，小明从家出发 30 分钟后，忽然
想起没有带植树工具，于是马上掉头往回走，行走速度比之前提高了 1 千米时（仍保持
匀速步行），同时小明打电话给爸爸，请爸爸帮他把植树的工具送过来，从小明开始打电
话到爸爸出门共用了 4 分钟，爸爸的行走速度与此时小明的行走速度相同，两人相遇后，
小明立即赶往学校，爸爸则转身回家，两人速度均保持不变，爸爸在回家途中用了 10 分
钟吃早餐，然后立即回家，当爸爸到家时小明刚好到达学校，爸爸和小明相距的路程 y
（千米）与小明从家出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，求今天早上小明从家到
学校途中行走的总路程是 千米．
【分析】①根据第一段图象知小明 30 分钟走 2 千米，求出上学速度为 4km/h；
②小明返回家取东西的速度 5km/h，在返回途中共用时间 小时，在返回途中共走了 +
＝ km，爸爸在途中走了 ＝ km；
③爸爸返回家共用时间为 ＝ 小时，小明到校时间为 小时，小明从相遇到学校走
了 ＝ km；
【解答】解：从图象看小明 30 分钟走 2 千米，速度为 4km/h，
掉头后速度为 5km/h，
4 分钟行走了 5× ＝ km，
和爸爸相遇用的时间为（2﹣ ）÷（5+5）＝ 小时，
小明在返回途中共走了 + ＝ km，
爸爸在途中走了 ＝ km，
爸爸返回家共用时间为 ＝ 小时，
小明到校时间为 小时，则小明从相遇到学校走了 ＝ km，
小明共走了 2+ + ＝ km；
故答案为 ；
18．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、
丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左
侧，乙和丙在道路右侧，2 小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证
道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为 6、
7、8、10 棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右
侧，为保证右侧比左侧提前 5 小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求
完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树 90
棵．
【分析】可设道路一侧植树棵数为 x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植
树时，可设甲在左侧植树的时长为 y，根据时间的等量关系列出方程求解；进一步求得丁
植树的时长，从而可求甲比丁少植树的棵数．
【解答】解：设道路一侧植树棵数为 x 棵，则
＝2+ ，
解得 x＝180，
实际在植树时，设甲在左侧植树的时长为 y，则
﹣5＝ ，
解得 y＝5，
则丁植树的时长为 ＝15，
所以甲比丁少植树 15×10﹣（15﹣5）×6＝90（棵）．
故答案为：90．
三．解答题（共 8 小题）
19．计算：
（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；
（2）（a+1﹣ ） ．
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2
＝x2﹣xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2
＝2x2﹣3xy﹣y2；
（2）（a+1﹣ ）
＝[ ﹣ ]•
＝ ．
＝ ．
20．如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形 AECF 是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形平行四边形的性质得到 AB∥CD AB＝CD，从而得到∠ABE
＝∠CDF，然后利用 SAS 证得两三角形全等即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等推知∠AEB＝∠DFC，则等角的补角相等，
即∠AEF＝∠CFE，所以 AE∥FC．根据“有一组对边平行且相等”证得结论．
【解答】证明（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF （SAS）；
（2）证明：∵由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥FC，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
21．小明和小李准备七月初到重庆或长沙去旅游，为了了解这两个城市哪个更热，他们查阅
资料，收集了两个城市 2018 年七月前两周最高温度的记录，如下表
日期（七月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
重庆最高
温度/℃
33 36 34 31 31 30 30 33 34 36 37 35 37 37
长沙最高
温度/℃
29 34 35 35 36 29 31 31 34 35 35 31 35 35
根据上表，他们将两个城市的最高温度分别绘制了如下的频数分布直方图和统计表，并
对数据进行了整理分析：
最高温度/℃ 天数
28≤x＜30 2
30≤x＜32 a
32≤x＜34 0
34≤x＜36 8
36≤x＜38 1
平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃ 34℃以上天数 30℃以下天数
重庆 33.9 34 c 6 0
长沙 33.2 b 35 7 2
回答如下问题
（1）本次调查的目的是 为了了解这两个城市哪个更热 ；
（2）补全频数分布直方图并写出表中 a，b，c 的值，a＝ 3 ，b＝ 35 ，c＝ 37 ；
（3）结合以上分析，你认为七月初哪个城市更热，请写出两条支持你观点的理由．
【分析】（1）根据题意可确定本次调查的目的；
（2）利用频数分布表和频数的和为 14 确定 a 的值；根据中位数定义确定 b 的值；根据
众数的定义确定 c 的值；
（3）从平均数和众数的大小可判断七月初重庆城市更热．
【解答】解：（1）本次调查的目的是：为了了解这两个城市哪个更热；
（2）由频数分布表得 a＝3，b＝35，
由频数分布直方图得 c＝37；
故答案为为了了解这两个城市哪个更热；3，35，37；
（3）七月初重庆城市更热．
理由如下：七月初重庆的最高温度的平均数比长沙高；七月初重庆的最高温度的众数为 37，
而长沙为 35°．
22．某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数 y＝x2﹣4|x|的图象与性质进行了探究请补
充完整以下探索过程
（1）列表：
X … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ﹣3 ﹣4 n 0 …
直接写出 m＝ 5 ，n＝ ﹣3 ；
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函
数的两条性质：
性质 1： 函数图象关于 y 轴对称
性质 2： 函数有最小值
（3）若方程 x2﹣4|x|＝k 有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出 k 的取值范
围．
【分析】（1）代入 x＝﹣5、3 求出 m、n 的值；
（2）观察函数图象，写出两条函数性质；
（3）观察函数图象，找出方程 x2﹣4|x|＝k 有四个不同的实数根时 k 的取值范围．
【解答】解：（1）当 x＝﹣5 时，y＝x2﹣4|x|＝5；
当 x＝3 时，y＝x2﹣4|x|＝﹣3．
故答案为：5；﹣3．
（3）观察函数图象，可知：
性质 1：函数图象关于 y 轴对称；
性质 2：函数有最小值﹣4．
故答案为：函数图象关于 y 轴对称；函数有最小值．
③∵方程 x2﹣4|x|＝k 有四个不同的实数根，
∴﹣4＜k＜0．
23．“绿水青山就是金山银山”为了改生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通
河道人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园．
（1）2018 年 1l 月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计 20 千米，其中
修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的 3 倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至 2018 年 12 月底，一期工程顺利按原计划完成，总共耗资 840 万元，其中疏通河
道工程共耗资 600 万元；2019 年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低
2.5a%，里程数较一期增加 3a%；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨 2.5a%，里程
数较一期增加 5a%，经测算，二期工程总费用将比一期增加 2a%，求 a 的值．
【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的 3 倍，列方程即可得出结论；
（2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修
建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出
结论．
【解答】解：（1）设修建滨河步道的里程数是 x 千米，则疏通河道的里程数是（20﹣x）
千米，
根据题意得：x＝3（20﹣x），
解得：x＝15．
答：原计划修建滨河步道 15 千米．
（2）一期工程疏通河道的里程数是 20﹣15＝5（千米），
一期工程每千米的疏通河道的工程费为： ＝120（万元），
一期工程每千米的修建滨河步道的工程费为： ＝16（万元），
二期工程疏通河道的里程数是 5（1+3a%）千米，修建滨河步道的里程数是 15（1+5a%）
千米，
由 题 意 得 ： 5 （ 1+3a% ） • 120 （ 1 ﹣ 2.5a% ） +15 （ 1+5a% ） • 16 （ 1+2.5a% ） ＝ 840
（1+2a%），
设 a%＝m，则 600（1+3m）（1﹣2.5m）+240（1+5m）（1+2.5m）＝840（1+2m），
25m2﹣7m＝0，
m1＝0.28，m2＝0（舍去），
∴a＝28．
24．大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观
察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家，化归就是将面临的新问题转化为已经
熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．
如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：
请用以上方法解决下列问题：
（1）计算：（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）；
（2）若关于 x 的多项式 2x4+5x3+ax2+b 能被二项式 x+2 整除，且 a，b 均为自然数，求满
足以上条件的 a，b 的值及相应的商．
【分析】（1）直接利用竖式计算即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【解答】解：（1）列竖式如下：
（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）＝x2+4x+5；
（2）列竖式如下：
∵多项式 2x4+5x3+ax2+b 能被二项式 x+2 整除，
∴余式 b+4（a﹣2）＝0，
∵a，b 均为自然数，
∴当 a＝0，b＝8 时，此时多项式为 2x4+5x3+8，商为 2x3+x2﹣2x+4，
当 a＝1，b＝4 时，此时多项式为 2x4+5x3+x2+4，商为 2x3+x2﹣x+2，
当 a＝2，b＝0 时，此时多项式为 2x4+5x3+2x2，商为 2x3+x2．
25．如图，在△ABC 中，AB＝BC，两条高 AD，BE 交于点 P 过点 E 作 EG⊥AB，垂
为 G，交 AD 于点 F，过点 F 作 FH∥AB，交 BC 于点 H，交 BE 交于点 Q，连接 DE．
（1）若 AD＝12，CD＝5，求 DE 的长．
（2）若∠ABC＝45°，求证：BE＝（1+ ）BQ．
【分析】（1）由勾股定理求得 AC，再由等腰三角形的性质证明 AE＝CE，进而由直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半，便可得结果；
（2）连接 DQ，证明 BH＝AF，再证明△HBQ≌△FAE，证明△QBD≌△EAD（SAS），
得 EQ＝ BQ，进而由线段和差便可得结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝12，CD＝5，
∴AC＝13，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE＝ AC＝6.5；
（2）连接 DQ，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
∵FH∥AB，
∴四边形 ABHF 是等腰梯形，
∴AF＝BH，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝67.5°，
∴∠PAE＝22.5°，
∵FH∥AB，
∴∠BOH＝∠ABE＝22.5°，
∵EG⊥AB，
∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝22.5°，
∴∠HBQ＝∠HQB＝∠FAE＝∠FEA＝22.5°，
∵BH＝AF，
∴△HBQ≌△FAE（AAS），
∴BQ＝AE，
∵∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∴△QBD≌△EAD（SAS），
∴DQ＝DE，∠BDQ＝∠ADE，
∴∠QDE＝∠ADB＝90°，
∴QE＝ ，
∵DE＝ ＝AE，
∴QE＝ BQ，
∴BE＝BQ+EQ＝BQ+ BQ＝（1+ ）BQ，
即 BE＝（1+ ）BQ．
26．如图，在平面直角坐标系内，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴交于点 A，C（点 A 在点 C
的左侧），与 y 轴交于点 B，顶点为 D．点 Q 为线段 BC 的三等分点（靠近点 C）．
（1）点 M 为抛物线对称轴上一点，点 E 为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，
当△MQC 的周长最小时，求△CME 面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当△CME 的面积最大时，过点 E 作 EN⊥x 轴，垂足为 N，将线
段 CN 绕点 C 顺时针旋转 90 得到点 N’，再将点 N′向上平移 个单位长度得到点 P，
点 G 在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点 H，使点 D，P，G，
H 构成菱形．若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接 QA 交抛物线对称轴于 M，此时△MQC 周长最小，可求出 M（1，
），再求出直线 CM 解析式 y＝﹣ x+1，设点 E（t，﹣t2+2t+3），根据 S△ECM＝ ES•
（C 横坐标﹣M 横坐标）可得出 S△ECM＝﹣（t﹣ ）2+ ，即 S△CME 最大值＝ ，
（2）根据题意可求得 P（3，2），利用两点间距离公式或勾股定理得 DP＝2 ，由菱形
性质得 PH∥DG∥y 轴，PH＝DP＝2 ，分两种情况：①点 H 在点 P 上方；②点 H 在
点 P 下方．
【解答】解：（1）令 y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
令 x＝0，得 y＝3，
∴B（0，3），
如图 1，过 Q 作 QF⊥x 轴于 F，
∵QF∥OB，
∴△CQF∽△CBO，
∴
∵点 Q 为线段 BC 的三等分点（靠近点 C），
∴
∴ ，
∴QF＝CF＝1，
∴Q（2，1），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），抛物线对称轴 x＝1
连接 AQ 交抛物线对称轴于 M，则 M（1， ），此时△MQC 周长最小．
设直线 CM 解析式为 y＝kx+b，则 ，解得： ；
∴y＝﹣ x+1，
设 E（t，﹣t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过 E 作 EN⊥x 轴于
N，EN 交 CM 于 S，
则，S（t，﹣ t+1），
∴ES＝﹣t2+2t+3﹣（﹣ t+1）＝﹣t2+ t+2，
∴ ＝﹣t2+ t+2＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
∴当 t＝ 时，S△CME 最大值＝ ，
（2）存在．如图 2，由（1）知 CN＝OC﹣ON＝3﹣ ＝ ，由旋转得 CN′＝CN＝
，CN′⊥x 轴，
由题意得 CP⊥x 轴，CP＝CN′+N′P＝2，
∴P（3，2）
∴DP＝ ，
∵四边形 DPHG 是菱形，
∴DG＝PH＝DP＝2 ，PH∥DG，
∴H（3，2﹣2 ），
如图 3，∵四边形 DPHG 是菱形，
∴DG＝PH＝DP＝2 ，PH∥DG，
∴H（3，2+2 ）．
如图 4，四边形 DPGH 是菱形，P 与 H 关于抛物线对称轴对称，
∴H（﹣1，2）．
如图 5，过点 P 作 PG⊥直线 x＝1 于 G，作 DH⊥直线 x＝1，过 P 作 PH⊥DH 于 H，∵PH
＝DG＝DH＝PG＝2，∠PGD＝90°
∴四边形 DPGH 是菱形，
∴H（3，4）
综上所述，点 H 的坐标为（3，2﹣2 ）或（3，2+2 ）或（﹣1，2）或（3，4）．
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