2020年高考物理考前专题回顾万有引力（解析版）

1 万有引力知识梳理 1. 开普勒三大定律 （轨道 面积 周期a3 T2＝k R3 T2＝k 仅受到同一中心天体 k 相同 远近速度） 2. 万有引力定律 （注意轨道半径、到地面的高度 h） 3. 万有引力与重力 （考虑自转：赤道 GMm R2 ＝mg1＋mω2R 两极 GMm R2 ＝mg2；不考虑自转： 黄金代换：mg＝GmM R2 ，得 g＝GM R2 ） 4. 计算天体质量和密度 （只能计算出中心天体质量 ρ＝ 3πr3 GT2R3 ρ＝ 3g 4πGR） 5. 高轨低速（线、角、加）大周期；高机高势低动 (仅受中心天体的万有引力；同一轨 道机械能守恒) 6. 三大宇宙速度 （v1＝7.9 km/s v＝ GM R = gR 最小 最大 近地） 7. 同步卫星 （到地面高度 h≈3600km，周期 角速度 高度 速率 平面 加速度大小一定； 方向不同） 8. 近地卫星 赤道上的物体 同步卫星的比较 （拉格朗日点与月球） 9. 卫星变轨 （低→高 先加再减；高→低 先减再加） 10. 对接 （在低轨 加速；在高轨 减速到低轨再加速） 11. 追赶 （同侧和异侧，两次转过的角度相差 π 或者 2π） 12. 双星问题 （ω= G(m1＋m2) L3 v1+v2=( r1+r2) ω=Lω= G(m1＋m2) L m1＋m2＝4π2L3 GT2 r1 r2＝m2 m1＝ v1 v2） 万有引力题型梳理 1. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引 力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星 系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做 圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的 距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为(　　) A． n3 k2T　 B． n3 k T　 C． n2 k T　 D． n kT B　[双星间的万有引力提供向心力． 设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、m，圆周运动的圆心距质量为 m 的恒星距离 为 r.对质量为 m 的恒星：GMm L2 ＝m(2π T )2·r 对质量为 M 的恒星：GMm L2 ＝M(2π T )2(L－r)2 得 GM＋m L2 ＝4π2 T2 ·L 即 T2＝ 4π2L3 G(M＋m) 则当总质量为 k(M＋m)，间距为 L′＝nL 时，T′＝ n3 k T，选项 B 正确．] 2. (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三 星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个 顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形 中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则(　　) A．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B．每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm R3 C．每颗星做圆周运动的周期为 2π R3 3Gm D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 ABC　[每颗星受到的合力为 F＝2Gm2 R2sin 60°＝ 3Gm2 R2，轨道半径为 r＝ 3 3 R，由向心 力 公 式 F ＝ ma ＝ mv2 r ＝ mω2r ＝ m4π2r T2 ， 解 得 a ＝ 3Gm R2 ， v ＝ Gm R ， ω ＝ 3Gm R3 ， T ＝ 2π R3 3Gm，显然加速度 a 与 m 有关，故 A、B、C 正确．] 3. “嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道飞向 月球，在距离月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭 圆轨道Ⅰ绕月飞行．然后卫星在 P 点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面 200 km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是(　　) A．卫星在三个轨道上运动的周期 TⅢ>TⅡ>TⅠ B．不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能 EⅢ>EⅡ>EⅠ C．卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等3 D．不同轨道的半长轴(或半径)的二次方与周期的三次方的比值都相等 C　[三个轨道的半长轴(或半径)的关系为 RⅠ>RⅡ>RⅢ，根据开普勒第三定律，卫星在三 个轨道上运动的周期关系为 TⅠ>TⅡ>TⅢ，选项 A 错误；卫星在不同轨道上时机械能遵循“高 轨高能，低轨低能”的规律，不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能关系为 EⅠ >EⅡ>EⅢ，选项 B 错误；不同轨道上的 P 点到月心的距离相同，卫星所受万有引力相同，则 卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等，故 C 正确；根据开普勒第三定律， 卫星在不同轨道的半长轴(或半径)的三次方与周期的平方的比值相等，故 D 错误．] 4. 我国在 2016 年 9 月 15 日发射了“天宫二号” 空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与 “神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列 措施可行的是(　　) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 C　[若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于飞船所受合力小 于所需向心力，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项 A 错误；若 使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则由于空间实验室所受合力 大于所需向心力，故空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项 B 错 误；要想实现对接，可使飞船在比空间实现室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的 轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项 C 正确；若飞船在比空间实 验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项 D 错误．] 5. 根据计划，我国发射的嫦娥五号探测器将进 行月球软着陆及采样返回．其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空，先在近月 圆轨道Ⅰ上运行，从 P 点经调整轨道Ⅱ在 Q 点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接，最后由 轨道器携带样品返回地球，如图所示．已知 P、Q 分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点， 下列关于此过程的说法正确的是(　　)4 A．轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度 B．上升器应在轨道Ⅰ上的 P 点通过减速进入轨道Ⅱ C．上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上 P 点的速度小 D．若在 Q 点对接未成功，两者均在轨道Ⅲ上运行，只要上升器向前加速，就可追上轨 道器 C　[由万有引力提供向心力有GMm r2 ＝mv2 r ，解得 v＝ GM r ，轨道半径越大，速度越小， 则轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定小于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度，故 A 错误；上升 器在轨道Ⅰ上 P 点加速做离心运动进入轨道Ⅱ，故 B 错误；依据以上分析，可知上升器与 轨道器对接后，组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上 P 点的速度小，故 C 正确；若在 Q 点对接 未成功，两者均在轨道Ⅲ上运行，若上升器向前加速，它将做离心运动，不可能追上轨道器 实现对接，故 D 错误．] 6. 如图所示，a、b、c 是在地球大气层外圆形 轨道上运动的 3 颗卫星，下列说法正确的是(　　) A．b、c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度 B．b、c 的向心加速度大小相等，且小于 a 的向心加速度 C．c 加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一轨道上的 c D．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其机械能逐渐增大 B　[卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力 GMm r2 ＝mv2 r ，得 v＝ GM r ，b、c 的轨道半径相等，故 b、c 的线速度大小相等但小于 a 的线速度，A 错误．根据万有引力提 供向心力 GMm r2 ＝ma，得 a＝GM r2 ，由此可知，轨道半径越小，加速度越大，故 a 的向心加 速度大于 b、c 的向心加速度，B 正确．c 加速，万有引力不够提供向心力，做离心运动， 离开原轨道，所以不会与同轨道上的卫星相遇，C 错误．卫星由于某种原因，轨道半径缓慢 减小，万有引力以外的力做负功，机械能减小，D 错误．]5 7. (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，海王星绕太 阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的 周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运 动过程中(　　) A．从 P 到 M 所用的时间等于T0 4 B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 CD　[A 错：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相 等．B 错：由机械能守恒定律知，从 Q 到 N 阶段，机械能守恒．C 对：从 P 到 Q 阶段，万 有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小．D 对：从 M 到 N 阶段，万有引力与速度的夹角 先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功．] 8. 科学研究表明，当天体的逃逸速度(即第二宇 宙速度，为第一宇宙速度的 2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的 质量之比为 k，地球的半径为 R，地球卫星的最大环绕速度(即第一宇宙速度)为 v1，光 速为 c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　) A．v21R kc2 　　 B．2kc2R v21 　　 C．c2R kv21　　 D．2kv21R c2 D　[对于地球有GMm R2 ＝mv21 R；设该天体成为黑洞时其半径为 r，第一宇宙速度为 v2，有 GkMm r2 ＝mv22 r ；c＝ 2v2，联立解得 r＝2kv21R c2 ，故 D 正确，A、B、C 错误．] 9. 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知 地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引 力常量为 G.地球的密度为(　　) A．3π(g0－g) GT2g0 B． 3πg0 GT2(g0－g)　 C． 3π GT2 D．3πg0 GT2g6 B　[在地球两极处，GMm R2 ＝mg0，在赤道处，GMm R2 －mg＝m4π2 T2 R，故 R＝ (g0－g)T2 4π2 ，则 ρ＝ M 4 3πR3 ＝ R2g0 G 4 3πR3 ＝ 3g0 4πRG＝ 3πg0 (g0－g)GT2 ，B 正确．] 10. 嫦娥一号是我国首次发射的探月卫星，它在 距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟．已知引力常量 G＝ 6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为 (　　) A．8.1×1010 kg　　 B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg D　[探月卫星靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有 GMm (R＋h)2 ＝m4π2 T2 (R＋h)，代入数 据，得 M＝7.4×1022 kg.]