江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学试题含附加题 带答案详解

S 第 1 页 （共 15 页） 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟) 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1． 已知集合 ，则 ______. 2．已知复数 （ 为虚数单位），则 =______. 3． 某学校共有师生 3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是________． 4． 如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为________． 5．一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球(除颜色外其余均相同)，现从 中随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 ________． 6．一种水稻品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为： 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________． 7．已知离心率 的双曲线 的左、右焦 点分别为 ，虚轴的两个端点分别为 ，若四边形 的面积为 ， 则双曲线 的焦距为______. 8． 若不等式组Error!表示的平面区域的面积为 S，则 S 的值为________． 9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为 1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥 的体积为________． 10． 已知函数 ， ，则 ____. 11．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围 { } { }0,3,4 1,0,2,3A B＝ ， ＝ － A B∩ ＝ 3 4 1 iz i += − i z 2e = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yD a ba b − = > > 1 2,F F 1 2,A A 1 1 2 2A F A F 4 3 D ( )=sin 2 (0 )3f x x x π π + ≤ q 4 1 88a a－ ＝ q ABC△ D BC 2 ,BD CD AD BD= = 2tan cosBAC B∠ • a θ b θ 3 a b θ ∈ 2 π θ θω − 5 3 ω 2 π ω –P ABCDE ABCDE 2AE DC= = 3AB BC= = 1DE = 120EAB BCD CDE DEA∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ° F AE 3 2 AF = PAE ABCDE //BC PAE PA FC⊥ （第 16 题图） F C E D A B PS 第 3 页 （共 15 页） 如图，已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50㎞，B，C 间的距离为 100㎞，从 A 到 C，必须先坐船到 BC 上的某一点 D，船速为 25㎞/h，再乘汽车到 C，车速为 50㎞/h，记∠BDA ＝θ． （1）试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 θ 的函数 t(θ)； （2）问 θ 为多少时，由 A 到 C 所用的时间 t 最少？ 18．(本小题满分 16 分) 已知圆 方程为 ，椭圆中心在原点，焦 点在 轴上． （1）证明圆 恒过一定点 ，并求此定点 的坐标； （2）判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论； （3）当 时，圆 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点 ，求此时椭圆方 程；在 轴上是否存在两定点 使得对椭圆上任意一点 （异于长轴端点），直 线 的斜率之积为定值？若存在，求出 坐标；若不存在，请说明理由． 19．(本小题满分 16 分) 设数列 的各项均为不等的正整数，其前 项和为 ，我们称满足条件“对任意的 ，均有 ”的数列 为“好”数列． （1）试分别判断数列 ， 是否为“好”数列，其中 ， ， ，并给出证明； （2）已知数列 为“好”数列． ① 若 ，求数列 的通项公式； ② 若 ，且对任意给定正整数 （ ），有 成等比数列， 求证： ． 20．(本小题满分 16 分) C 2 2 8 (6 2) 6 1 0( , 0)x y mx m y m m R m+ − − + + + = ∈ ≠ x C M M 4 3 3 0x y+ − = C 2m = C M x , ,A B Q ,QA QB ,A B { }na n nS *m n∈N， ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − { }na { }na { }nb 2 1na n= − 12n nb −= *n∈N { }nc 2017 2018c = { }nc 1c p= p s， 1s > 1 s tc c c， ， 2t s≥ B A CD θ B A CD θ B A CD θS 第 4 页 （共 15 页） 对任意 x R，给定区间[k－ ，k+ ](k Z)，设函数 f(x)表示实数 x 与 x 所属的给定区 间内唯一整数之差的绝对值｡ (1)当 x [－ ， ]时，求出 f(x)的解析式；x [k－ ，k+ ](k Z)时，写出绝对值符 号表示的 f(x)解析式； (2)求 f( )，f( )，判断函数 f(x)(x R)的奇偶性，并证明你的结论； (3)当 ＜a＜1 时，求方程 f(x)— =0 的实根｡(要求说明理由， > ) ∈ 2 1 2 1 ∈ ∈ 2 1 2 1 ∈ 2 1 2 1 ∈ 3 4 3 4− ∈ 2 1− e alog x 2 1− e 2 1S 第 5 页 （共 15 页） 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数学附加题 （本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21．[选做题]（本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作 答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修 4-2：矩阵与变换）（本小题满分 10 分） 已知矩阵 ，试求曲线 在矩阵 变换下的函数解 析式. B.（选修 4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分） 已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数）， 直线 与曲线 相交于 两点． （1）求 的长； （2）求点 到 两点的距离之积． C．(选修 4-5：不等式选讲）（本小题满分 10 分） 已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 的最小值． [必做题]（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， . 是线段 的中点.         =   = 10 02 1 ,20 01 NM xy sin= MN C π4cos( )3 ρ θ= + x l 23 2 23 2 x t y t  = +  = − + ， t l C A B， AB (3 3)P −， A B， 222 32 zyx ++ 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D BC A B C D A1 B1 C1 （第 22 题）S 第 6 页 （共 15 页） （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 的大小的余弦值. 23．（本小题满分 10 分） 已知数列 满足 … ． （1）求 ， ， 的值； （2）猜想数列 的通项公式，并证明． 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 1DB 1 1AC D 1 1 1B A D C− − { }na 1 2 3 0 1 2 3 2 3 C C CC 2 2 2 n n n n na + + += + + + + *C 2 n n n n n++ ∈N， 1a 2a 3a { }naS 第 7 页 （共 15 页） 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.244 7. 8. 9. 10. 11. 12. 60° 13. 14. 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分 14 分) (1)∵ =(sin ，1)， =(cos ， )，且 ∥ ∴ sin － cos =0，即 ， ∵ (0， )，∴ = ， (2)∵ 0＜ ＜ ， = ， ∴－ ＜ － ＜ . ∵sin( － )= ， ∴cos( － )= = . = × × = 16．（本小题满分 14 分） 证明 （1）如图凸五边形 ，延长 交于点 ． ∵ ，∴ ． ∴ 为等边三角形， ． ∴ ，即有 ． 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （2）连结 ，∵ 为等边三角形 ∴ ，∴ ． 又 ∵ ，∴ 为正三角形． 又∵ ，∴ ． { }0,3 5 2 2 200 6 5 6 4 6 2 2 3 π 7 6 π 1 1 1,2 2 3 ∪（- 3, - ） ( - ) 5 8,3 7     3 2 a θ b θ 3 a b 3 θ θ 3tan 3 θ = θ ∈ 2 π θ 6 π ω 2 π θ 6 π 6 π ω 6 π 3 π ω 6 π 3 5 ω 6 π 21 sin ( )6 πω− − 4 5 cos cos[( ) )] cos cos( ) sin sin( )6 6 6 6 6 6 π π π π π πω ω ω ω= − + = − − − 3 2 4 1 5 2 − 3 5 4 3 3 10 − ABCDE ,AE CD H 120AED EDC∠ = ∠ = ° 60HED HDE∠ = ∠ = ° HED∆ 60H∠ = ° 60 120 180H BCD∠ + ∠ = ° + ° = ° //BC AE AE ⊂ PAE BC /⊂ PAE //BC PAE AC HED∆ 1HE HD ED= = = 3HA HC= = 60H∠ = ° HAC∆ 1 2 AF AH= CF AE⊥ D F H CA B ES 第 8 页 （共 15 页） ∵ 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． 又∵ 平面 ，∴ ． 17.（本小题满分 14 分） 解：（1）∵AD＝ 50 푠 푖 푛 θ， ∴A 到 D 所用时间 t1＝ 2 푠 푖 푛 θ BD＝ 50 푡 푎 푛 θ＝ 50푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ，CD＝100－BD＝100－ 50푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ∴D 到 C 所用时间 t2＝2－ 푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ∴t(θ)＝t1＋t2＝ 2－푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ＋2（θ0＜θ＜π 2，其中 tanθ0＝ 1 2）··························6 分 （2）t(θ)＝ 푠 푖 푛 2θ－(2－푐 표 푠 θ)푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 2θ ＝ 1－2푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 2θ ····································8 分 令 t(θ)＞0，得：cosθ＜ 1 2 ∴π 3＜θ＜π 2；∴当 θ∈(，)时，t(θ)单调递增； 同理 θ0＜θ＜π 3，t(θ)＜0，t(θ)单调递减·····················12 分 ∴θ＝π 3，t(θ)取到最小值 3＋2；·························································13 分 答：当 θ＝π 3时，由 A 到 C 的时间最少为 3＋2 小时．·····························14 分 18.（本小题满分 16 分） （1）圆 的方程可化为： ，……………………………………2 分 由 ………………………………………………………4 分 解得 所以圆 过定点 ………………………………………5 分 (2) 圆 的方程可化为： ,………………………6 分 圆心到直线 的距离为 ……………………………8 分 ……………………………………9 分 所以直线与圆 相切. …………………………………………………………10 分 C 2 2( 2 1) (8 6 6) 0x y y m x y+ − + − + − = 2 2 2 1 0, 8 6 6 0, x y y x y  + − + =  + − = 0, 1, x y =  = C (0,1)M C [ ]22 2( 4 ) (3 1) 25x m y m m− + − + = l 2 2 4 4 3 (3 1) 3 4 3 m md ⋅ + ⋅ + −= + 25 55 m m r= = = C PAE ⊥ ABCDE PAE  ABCDE AE= CF ⊂ ABCDE CF ⊥ PAE PA ⊂ PAE CF PA⊥S 第 9 页 （共 15 页） （3） ， , 所以椭圆的左准线为 ，……………………………………………………11 分 又椭圆过点 ， 所以 所以椭圆方程为 .………………………12 分 在椭圆上任取一点 ，设定点 ， 则 ，………13 分 所以 所以 …………………………………14 分 所以 .……………………………16 分 19．（本小题满分 16 分） （1）若 ，则 ，所以 ， 而 ， 所以 对任意的 均成立， 即数列 是“好”数列； …… 2 分 若 ，取 ， 则 ， ， 此时 ， 即数列 不是“好”数列． …… 4 分 圆心为（8,7），半径为10 x x与直线 =( 8- 10) , 即 =- 2相切 2x = − (0,1),M 则b=1 2 2, 1, a c b  =  = 2, 1, a b  =⇒  = 2 2 12 x y+ = ( , )( 0)Q x y y ≠ ( ,0), ( ,0)A s B t 2 1 2 ( )( )QA QB x y yk k kx s x t x s x t − ⋅ = ⋅ = =− − − − ( )2, 2x∈ −对 恒成立 2 21 1 ( )2 x kx k s t x kst− + = − + + ( )2, 2x∈ −对 恒成立 1 11 , ,, 2 22 ( ) 0, 2, 2, 1, 2, 2. k kk k s t s s kst t t   = − = −= −      + = ⇒ = = −     = = − =       或 ( 2,0), ( 2,0) ( 2,0), ( 2,0)A B A B− −或者 m=2 C当 时，圆 方程为 2 2( 8) ( 7) 100x y− + − = 2 1na n= − 2 nS n= 2( ) ( )( )n mn m S n m n m+− = − + 2 2 2( )( ) ( )( ) ( ) ( )n mn m S S n m n m n m n m+ − = + − = + − ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − *m n∈N， { }na 12n nb −= 2 1n m= =， 3( ) 7n mn m S S+− = = 2( )( ) 3 6n mn m S S b+ − = = ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− ≠ + − { }nbS 第 10 页 （共 15 页） （2）因为数列 为“好”数列，取 ，则 ，即 恒成立． 当 ，有 ， 两式相减，得 （ ）， 即 （ ）， 所以 （ ）， 所以 ， 即 ，即 （ ）， 当 时，有 ，即 ， 所以 对任意 ， 恒成立， 所以数列 是等差数列． …… 8 分 设数列 的公差为 ， ① 若 ，则 ，即 ， 因为数列 的各项均为不等的正整数，所以 ， 所以 ， ，所以 ． …… 12 分 ② 若 ，则 ， 由 成等比数列，得 ，所以 ， 即 化简得， ， 即 ． …… 14 分 因为 是任意给定正整数，要使 ，必须 ， 不妨设 ，由于 是任意给定正整数， { }nc 1m = 1 1( 1) ( 1)( )n nn S n S S+− = + − 1 12 ( 1) ( 1)n nS n a n a+= − + + 2n≥ 1 12 ( 2)n nS n a na− = − + 1 12 ( 1) ( 2)n n na n a n a a+= − − − + 2n≥ 1 1( 1)n nna n a a+= − + 2n≥ 1 1( 1) ( 2)n nn a n a a−− = − + 3n≥ 1 1( 1) ( 1) ( 2)n n n nna n a n a n a− +− − = − − − 1 1(2 2) ( 1) ( 1)n n nn a n a n a− +− = − + − 1 12 n n na a a− += + 3n≥ 2n = 2 3 12 3S a a= + 2 3 12a a a= + 1 12 n n na a a− += + 2n≥ *n∈N { }nc { }nc d 2017 2018c = 1 2016 2018c d+ = 12018 2016 cd −= { }nc *d ∈N 1d = 1 2c = 1nc n= + 1c p= nc dn p d= + − 1 s tc c c， ， 2 1s tc c c= 2( ) ( )ds p d p dt p d+ − = + − 2( )(2 ) ( ) 0p d ds p d p d ds pt− + − − + − = 2( 1 2 ) ( 1)p t s d s+ − = − 2 1 2 ( 1) t sd ps + −= − p *d ∈N * 2 1 2 ( 1) t s s + − ∈− N 2 1 2 ( 1) t sk s + −= − sS 第 11 页 （共 15 页） 所以 ． …… 16 分 20．（本小题满分 16 分） (1)当 时， 中唯一整数为 0， 有定义知： ， . 当 时，在 中唯一整数为 k， 有定义知： . (2)∵ － ， ∴ 下判断 是偶函数. 对任何 ，存在唯一－k ，使得 则 由 可以得出 ， 即－ 由(1)的结论， 即 是偶函数.. (3) ㏒a =0，即 ㏒a =0，其中 >0； ① 当 >1 时， ㏒a ，所以 ㏒a =0 没有大于的实根； ② 容易验证 =1 为方程 ㏒a =0 的实根； ③ 当 时对应的 k=1，方程 ㏒a =0 变为 1－ － ㏒a =0 设 H( )= ㏒a －(1－ )( ) 则 ㏒ae+1= +1= ， 故当 时，H( )为减函数，H( )>H(1)=0，方程没有 的实根； ④当 0＜ 时，对应的 k=0，方程 ㏒a =0 变为 － ㏒a =0， 2 2 2( 1) 2 1 ( 1) 2 1t k s s s s s= − + − − + − =≥ ∈x ]2 1,2 1[− ]2 1,2 1[− xxf =)( ∈x ]2 1,2 1[− )](2 1,2 1[ zkkkx ∈+−∈ ]2 1,2 1[ +− kk ,)( kxxf −= )](2 1,2 1[ zkkkx ∈+−∈ ],2 11,2 11[3 4 +−∈ ]2 11,2 11[3 4 +−−−∈ ,3 1)3 4(,3 1)3 4( =−= ff )(xf Rx∈ z∈ 2 1 2 1 +≤≤− kxk ,)( kxxf −= 2 1 2 1 +≤≤− kxk )(2 1 2 1 Zkkxk ∈+−≤−≤−− )](2 1,2 1[ Zkkkx ∈−+−−−∈ )()()( xfkkxxf =−=−=−−−=− )(xf −)(xf x 2 1−− kx x x x 2 10 >≥− kx x 2 1−− kx x x 2 1−− kx x 12 1