江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学试题含附加题 带答案详解
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江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学试题含附加题 带答案详解

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资料简介
S 第 1 页 (共 15 页) 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数 学 试 题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上) 1. 已知集合 ,则 ______. 2.已知复数 ( 为虚数单位),则 =______. 3. 某学校共有师生 3 200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本,已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是________. 4. 如图是一个算法的流程图,则输出的 k 的值为________. 5.一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球(除颜色外其余均相同),现从 中随机摸出 2 个球,则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 ________. 6.一种水稻品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位:t/hm2)分别为: 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则这组样本数据的方差为________. 7.已知离心率 的双曲线 的左、右焦 点分别为 ,虚轴的两个端点分别为 ,若四边形 的面积为 , 则双曲线 的焦距为______. 8. 若不等式组Error!表示的平面区域的面积为 S,则 S 的值为________. 9.已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为 1,则该圆锥母线的长度取最小值时,该圆锥 的体积为________. 10. 已知函数 , ,则 ____. 11.设函数 ,则使得 成立的 的取值范围 { } { }0,3,4 1,0,2,3A B= , = - A B∩ = 3 4 1 iz i += − i z 2e = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yD a ba b − = > > 1 2,F F 1 2,A A 1 1 2 2A F A F 4 3 D ( )=sin 2 (0 )3f x x x π π + ≤ q 4 1 88a a- = q ABC△ D BC 2 ,BD CD AD BD= = 2tan cosBAC B∠ • a θ b θ 3 a b θ ∈ 2 π θ θω − 5 3 ω 2 π ω –P ABCDE ABCDE 2AE DC= = 3AB BC= = 1DE = 120EAB BCD CDE DEA∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ° F AE 3 2 AF = PAE ABCDE //BC PAE PA FC⊥ (第 16 题图) F C E D A B PS 第 3 页 (共 15 页) 如图,已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50㎞,B,C 间的距离为 100㎞,从 A 到 C,必须先坐船到 BC 上的某一点 D,船速为 25㎞/h,再乘汽车到 C,车速为 50㎞/h,记∠BDA =θ. (1)试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 θ 的函数 t(θ); (2)问 θ 为多少时,由 A 到 C 所用的时间 t 最少? 18.(本小题满分 16 分) 已知圆 方程为 ,椭圆中心在原点,焦 点在 轴上. (1)证明圆 恒过一定点 ,并求此定点 的坐标; (2)判断直线 与圆 的位置关系,并证明你的结论; (3)当 时,圆 与椭圆的左准线相切,且椭圆过(1)中的点 ,求此时椭圆方 程;在 轴上是否存在两定点 使得对椭圆上任意一点 (异于长轴端点),直 线 的斜率之积为定值?若存在,求出 坐标;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分 16 分) 设数列 的各项均为不等的正整数,其前 项和为 ,我们称满足条件“对任意的 ,均有 ”的数列 为“好”数列. (1)试分别判断数列 , 是否为“好”数列,其中 , , ,并给出证明; (2)已知数列 为“好”数列. ① 若 ,求数列 的通项公式; ② 若 ,且对任意给定正整数 ( ),有 成等比数列, 求证: . 20.(本小题满分 16 分) C 2 2 8 (6 2) 6 1 0( , 0)x y mx m y m m R m+ − − + + + = ∈ ≠ x C M M 4 3 3 0x y+ − = C 2m = C M x , ,A B Q ,QA QB ,A B { }na n nS *m n∈N, ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − { }na { }na { }nb 2 1na n= − 12n nb −= *n∈N { }nc 2017 2018c = { }nc 1c p= p s, 1s > 1 s tc c c, , 2t s≥ B A CD θ B A CD θ B A CD θS 第 4 页 (共 15 页) 对任意 x R,给定区间[k- ,k+ ](k Z),设函数 f(x)表示实数 x 与 x 所属的给定区 间内唯一整数之差的绝对值。 (1)当 x [- , ]时,求出 f(x)的解析式;x [k- ,k+ ](k Z)时,写出绝对值符 号表示的 f(x)解析式; (2)求 f( ),f( ),判断函数 f(x)(x R)的奇偶性,并证明你的结论; (3)当 <a<1 时,求方程 f(x)— =0 的实根。(要求说明理由, > ) ∈ 2 1 2 1 ∈ ∈ 2 1 2 1 ∈ 2 1 2 1 ∈ 3 4 3 4− ∈ 2 1− e alog x 2 1− e 2 1S 第 5 页 (共 15 页) 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数学附加题 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题](本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在答题相应的区域内作 答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) A.(选修 4-2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) 已知矩阵 ,试求曲线 在矩阵 变换下的函数解 析式. B.(选修 4-4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分) 已知曲线 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 的参数方程是 ( 为参数), 直线 与曲线 相交于 两点. (1)求 的长; (2)求点 到 两点的距离之积. C.(选修 4-5:不等式选讲)(本小题满分 10 分) 已知实数 x,y,z 满足 x + y + z = 2,求 的最小值. [必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 中,已知 , , , . 是线段 的中点.         =   = 10 02 1 ,20 01 NM xy sin= MN C π4cos( )3 ρ θ= + x l 23 2 23 2 x t y t  = +  = − + , t l C A B, AB (3 3)P −, A B, 222 32 zyx ++ 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D BC A B C D A1 B1 C1 (第 22 题)S 第 6 页 (共 15 页) (1)求直线 与平面 所成角的正弦值; (2)求二面角 的大小的余弦值. 23.(本小题满分 10 分) 已知数列 满足 … . (1)求 , , 的值; (2)猜想数列 的通项公式,并证明. 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 1DB 1 1AC D 1 1 1B A D C− − { }na 1 2 3 0 1 2 3 2 3 C C CC 2 2 2 n n n n na + + += + + + + *C 2 n n n n n++ ∈N, 1a 2a 3a { }naS 第 7 页 (共 15 页) 数学参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.244 7. 8. 9. 10. 11. 12. 60° 13. 14. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) (1)∵ =(sin ,1), =(cos , ),且 ∥ ∴ sin - cos =0,即 , ∵ (0, ),∴ = , (2)∵ 0< < , = , ∴- < - < . ∵sin( - )= , ∴cos( - )= = . = × × = 16.(本小题满分 14 分) 证明 (1)如图凸五边形 ,延长 交于点 . ∵ ,∴ . ∴ 为等边三角形, . ∴ ,即有 . 又∵ 平面 , 平面 , ∴ 平面 . (2)连结 ,∵ 为等边三角形 ∴ ,∴ . 又 ∵ ,∴ 为正三角形. 又∵ ,∴ . { }0,3 5 2 2 200 6 5 6 4 6 2 2 3 π 7 6 π 1 1 1,2 2 3 ∪(- 3, - ) ( - ) 5 8,3 7     3 2 a θ b θ 3 a b 3 θ θ 3tan 3 θ = θ ∈ 2 π θ 6 π ω 2 π θ 6 π 6 π ω 6 π 3 π ω 6 π 3 5 ω 6 π 21 sin ( )6 πω− − 4 5 cos cos[( ) )] cos cos( ) sin sin( )6 6 6 6 6 6 π π π π π πω ω ω ω= − + = − − − 3 2 4 1 5 2 − 3 5 4 3 3 10 − ABCDE ,AE CD H 120AED EDC∠ = ∠ = ° 60HED HDE∠ = ∠ = ° HED∆ 60H∠ = ° 60 120 180H BCD∠ + ∠ = ° + ° = ° //BC AE AE ⊂ PAE BC /⊂ PAE //BC PAE AC HED∆ 1HE HD ED= = = 3HA HC= = 60H∠ = ° HAC∆ 1 2 AF AH= CF AE⊥ D F H CA B ES 第 8 页 (共 15 页) ∵ 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 ,∴ 平面 . 又∵ 平面 ,∴ . 17.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵AD= 50 푠 푖 푛 θ, ∴A 到 D 所用时间 t1= 2 푠 푖 푛 θ BD= 50 푡 푎 푛 θ= 50푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ,CD=100-BD=100- 50푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ∴D 到 C 所用时间 t2=2- 푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ ∴t(θ)=t1+t2= 2-푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 θ +2(θ0<θ<π 2,其中 tanθ0= 1 2)··························6 分 (2)t(θ)= 푠 푖 푛 2θ-(2-푐 표 푠 θ)푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 2θ = 1-2푐 표 푠 θ 푠 푖 푛 2θ ····································8 分 令 t(θ)>0,得:cosθ< 1 2 ∴π 3<θ<π 2;∴当 θ∈(,)时,t(θ)单调递增; 同理 θ0<θ<π 3,t(θ)<0,t(θ)单调递减·····················12 分 ∴θ=π 3,t(θ)取到最小值 3+2;·························································13 分 答:当 θ=π 3时,由 A 到 C 的时间最少为 3+2 小时.·····························14 分 18.(本小题满分 16 分) (1)圆 的方程可化为: ,……………………………………2 分 由 ………………………………………………………4 分 解得 所以圆 过定点 ………………………………………5 分 (2) 圆 的方程可化为: ,………………………6 分 圆心到直线 的距离为 ……………………………8 分 ……………………………………9 分 所以直线与圆 相切. …………………………………………………………10 分 C 2 2( 2 1) (8 6 6) 0x y y m x y+ − + − + − = 2 2 2 1 0, 8 6 6 0, x y y x y  + − + =  + − = 0, 1, x y =  = C (0,1)M C [ ]22 2( 4 ) (3 1) 25x m y m m− + − + = l 2 2 4 4 3 (3 1) 3 4 3 m md ⋅ + ⋅ + −= + 25 55 m m r= = = C PAE ⊥ ABCDE PAE  ABCDE AE= CF ⊂ ABCDE CF ⊥ PAE PA ⊂ PAE CF PA⊥S 第 9 页 (共 15 页) (3) , , 所以椭圆的左准线为 ,……………………………………………………11 分 又椭圆过点 , 所以 所以椭圆方程为 .………………………12 分 在椭圆上任取一点 ,设定点 , 则 ,………13 分 所以 所以 …………………………………14 分 所以 .……………………………16 分 19.(本小题满分 16 分) (1)若 ,则 ,所以 , 而 , 所以 对任意的 均成立, 即数列 是“好”数列; …… 2 分 若 ,取 , 则 , , 此时 , 即数列 不是“好”数列. …… 4 分 圆心为(8,7),半径为10 x x与直线 =( 8- 10) , 即 =- 2相切 2x = − (0,1),M 则b=1 2 2, 1, a c b  =  = 2, 1, a b  =⇒  = 2 2 12 x y+ = ( , )( 0)Q x y y ≠ ( ,0), ( ,0)A s B t 2 1 2 ( )( )QA QB x y yk k kx s x t x s x t − ⋅ = ⋅ = =− − − − ( )2, 2x∈ −对 恒成立 2 21 1 ( )2 x kx k s t x kst− + = − + + ( )2, 2x∈ −对 恒成立 1 11 , ,, 2 22 ( ) 0, 2, 2, 1, 2, 2. k kk k s t s s kst t t   = − = −= −      + = ⇒ = = −     = = − =       或 ( 2,0), ( 2,0) ( 2,0), ( 2,0)A B A B− −或者 m=2 C当 时,圆 方程为 2 2( 8) ( 7) 100x y− + − = 2 1na n= − 2 nS n= 2( ) ( )( )n mn m S n m n m+− = − + 2 2 2( )( ) ( )( ) ( ) ( )n mn m S S n m n m n m n m+ − = + − = + − ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − *m n∈N, { }na 12n nb −= 2 1n m= =, 3( ) 7n mn m S S+− = = 2( )( ) 3 6n mn m S S b+ − = = ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− ≠ + − { }nbS 第 10 页 (共 15 页) (2)因为数列 为“好”数列,取 ,则 ,即 恒成立. 当 ,有 , 两式相减,得 ( ), 即 ( ), 所以 ( ), 所以 , 即 ,即 ( ), 当 时,有 ,即 , 所以 对任意 , 恒成立, 所以数列 是等差数列. …… 8 分 设数列 的公差为 , ① 若 ,则 ,即 , 因为数列 的各项均为不等的正整数,所以 , 所以 , ,所以 . …… 12 分 ② 若 ,则 , 由 成等比数列,得 ,所以 , 即 化简得, , 即 . …… 14 分 因为 是任意给定正整数,要使 ,必须 , 不妨设 ,由于 是任意给定正整数, { }nc 1m = 1 1( 1) ( 1)( )n nn S n S S+− = + − 1 12 ( 1) ( 1)n nS n a n a+= − + + 2n≥ 1 12 ( 2)n nS n a na− = − + 1 12 ( 1) ( 2)n n na n a n a a+= − − − + 2n≥ 1 1( 1)n nna n a a+= − + 2n≥ 1 1( 1) ( 2)n nn a n a a−− = − + 3n≥ 1 1( 1) ( 1) ( 2)n n n nna n a n a n a− +− − = − − − 1 1(2 2) ( 1) ( 1)n n nn a n a n a− +− = − + − 1 12 n n na a a− += + 3n≥ 2n = 2 3 12 3S a a= + 2 3 12a a a= + 1 12 n n na a a− += + 2n≥ *n∈N { }nc { }nc d 2017 2018c = 1 2016 2018c d+ = 12018 2016 cd −= { }nc *d ∈N 1d = 1 2c = 1nc n= + 1c p= nc dn p d= + − 1 s tc c c, , 2 1s tc c c= 2( ) ( )ds p d p dt p d+ − = + − 2( )(2 ) ( ) 0p d ds p d p d ds pt− + − − + − = 2( 1 2 ) ( 1)p t s d s+ − = − 2 1 2 ( 1) t sd ps + −= − p *d ∈N * 2 1 2 ( 1) t s s + − ∈− N 2 1 2 ( 1) t sk s + −= − sS 第 11 页 (共 15 页) 所以 . …… 16 分 20.(本小题满分 16 分) (1)当 时, 中唯一整数为 0, 有定义知: , . 当 时,在 中唯一整数为 k, 有定义知: . (2)∵ - , ∴ 下判断 是偶函数. 对任何 ,存在唯一-k ,使得 则 由 可以得出 , 即- 由(1)的结论, 即 是偶函数.. (3) ㏒a =0,即 ㏒a =0,其中 >0; ① 当 >1 时, ㏒a ,所以 ㏒a =0 没有大于的实根; ② 容易验证 =1 为方程 ㏒a =0 的实根; ③ 当 时对应的 k=1,方程 ㏒a =0 变为 1- - ㏒a =0 设 H( )= ㏒a -(1- )( ) 则 ㏒ae+1= +1= , 故当 时,H( )为减函数,H( )>H(1)=0,方程没有 的实根; ④当 0< 时,对应的 k=0,方程 ㏒a =0 变为 - ㏒a =0, 2 2 2( 1) 2 1 ( 1) 2 1t k s s s s s= − + − − + − =≥ ∈x ]2 1,2 1[− ]2 1,2 1[− xxf =)( ∈x ]2 1,2 1[− )](2 1,2 1[ zkkkx ∈+−∈ ]2 1,2 1[ +− kk ,)( kxxf −= )](2 1,2 1[ zkkkx ∈+−∈ ],2 11,2 11[3 4 +−∈ ]2 11,2 11[3 4 +−−−∈ ,3 1)3 4(,3 1)3 4( =−= ff )(xf Rx∈ z∈ 2 1 2 1 +≤≤− kxk ,)( kxxf −= 2 1 2 1 +≤≤− kxk )(2 1 2 1 Zkkxk ∈+−≤−≤−− )](2 1,2 1[ Zkkkx ∈−+−−−∈ )()()( xfkkxxf =−=−=−−−=− )(xf −)(xf x 2 1−− kx x x x 2 10 >≥− kx x 2 1−− kx x x 2 1−− kx x 12 1

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