三省三校第四次模拟（内部）
数学试卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，解对数不等式求得集合 ，由此求得 .
【详解】由 ，解得 ，所以 .由 ，解得 ，
所以 .所以 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，
属于基础题.
2.已知复数 （ 为虚数单位， ）， 在复平面上对应的点在第四象限，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简 ，根据 在复平面上对应的点在第四象限列不等式组，解不等式组求得 的取值范
围.
【详解】 ，
由题意知 ，所以 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.
{ }2| 4 0= −
−
{ }na 1 2a = 5 28a a= { }na 7S =【分析】
求等比数列基本量公比 ，再求前 项和 .
【详解】由 ， 有 ， .
故选：B．
【点睛】本题考查等差等比数列通项公式及等比数列前 项和 .
等比数列基本量涉及五个量： ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求
出剩余的两个量．
5.执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为 2，则输出 的值为（ ）
A. 123 B. 125 C. 127 D. 129
【答案】C
【解析】
【分析】
先执行循环体语句，再判断，直到当 成立时，退出循环体，输出此时 的值.
【详解】因为输入的 的值为 2，所以 ，显然此时 不成立，再进入循环体，
所以 ，显然此时 不成立，再进入循环体，所以 ，显然此时 成
立，退出循环体，输出 的值为 127.
故选：C
【点睛】本题考查了程序框图中循环结构的输出问题，考查了数学运算能力.
6.已知 ， 是两个不同平面， ， 是两条不同直线，①若 ， ， 则 ；②若
q n nS
5 28a a= 3 35
2
8 2aq a
∴ = = = 2q =
( )7
7
2 1 2
2541 2S
× −
= =−
n nS
1 n na n Sq a， ， ， ，
x x
100x > x
x 22 1 3x = − = 100x >
32 1 7x = − = 100x > 72 1 127x = − = 100x >
x
α β m n n β⊥ //α β m α⊥ //nm， ， 则 ；③若 ， ， ，则 ；④若 ， ， ，
则 ；在上述四个命题中，真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理、平行线的性质、线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理对四个命题，逐一
判断即可选出正确答案.
【详解】①根据线面垂直的性质可知，若 ， ， 则 ，①正确；
②若 ， ， 则 ， 相交或异面，故②错误；
③根据线面垂直判定定理可知，若 ， ，则 ，又因为 ，则 ，故③正确；
④若 ， ， ，则 ，或 ， 相交或异面，故④错误.
只有①③正确.
故选：B.
【点睛】本题考查了面面垂直的判定、面面平行的判定、平行线的性质、线面平行的性质定理考查了空间
想象能力.
7.已知函数 是偶函数，则函数 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由偶函数的定义 化简可求得 ，则 ，借助基本不等式和余弦
函数性质即可得解.
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，化简可得： ，
//m α α β⊥ n β⊥ //nm n β⊥ //α β //m α m n⊥ m α⊥ α β⊥ βn//
m n⊥
n β⊥ //α β m α⊥ //nm
//m α α β⊥ n β⊥ //nm ,m n
n β⊥ //α β n α⊥ //m α m n⊥
m α⊥ α β⊥ βn// m n⊥ //nm ,m n
( ) 2 cos
4
x
x
xf x a
= +
( )f x
1
2
( ) ( )f x f x− = 1a = ( ) 2 cos cos=4 1 2 2
x
x x x
x xf x −= + +
( ) 2 cos
4
x
x
xf x a
= +
( ) ( )f x f x− = ( )2 cos 2 cos
4 4
x x
x x
x x
a a
−
−
− =+ +
( )4 1 4 1x xa − = −解得： ，即 .
又因为 ， ，
所以 （当且仅当 时两个“ ”同时成立）.
故选：C.
【点睛】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，
属于中档题.
8.已知 α 为锐角，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 ，求得 .进而求得 .因为 利用两
角差的正弦公式即可求得 ，进而得到 ， ，计算可得出结果.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，
，
所以 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，考查了三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦公
1a = ( ) 2 cos cos=4 1 2 2
x
x x x
x xf x −= + +
cos 1x ≤ 2 2 2x x−+ ≥
( ) 1
2f x ≤ 0x = =
3cos 4 5
πα + = tan2α =
7
10
3
10
1
3
7
24
0, 2
πα ∈
3,4 4 4
α π π π + ∈
4sin 4 5
πα + = sin sin 4 4
π πα α = + −
sinα cosα sin 2 ,cos2 ,α α
0, 2
πα ∈
3,4 4 4
α π π π + ∈
3cos 4 5
πα + =
4sin 4 5
πα + =
4 2 3 2 2sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10
π π π π π πα α α α = + − = + − + = × − × =
2
2 7 2cos 1 10 10
α = − =
2 7 2 7sin 2 2 10 10 25
α = × × =
2
2 24cos2 1 2 10 25
α = − × =
7tan 2 24
α =式和二倍角公式，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，圆 ： 与
双曲线的一个交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆与双曲线相交可知 ，据此知 为直角三角形，利用勾股定理及双曲线的
定义即可求解.
【详解】设 ， ，焦距为 ，
由 得 ，
所以 ，
所以 为直角三角形，
有 ，解得 ，
又 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系以及双曲线的定义建立方程是解
决本题的关键.
10.把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，函数 图
像的一条对称轴为直线 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. 2 或 5 B. 2 或 3 C. 2 D. 5
【答案】C
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( )0, 0a b> > 1F 2F O 22 22 0x y a b+ − − =
P 1 23PF PF=
3 1
2
+
2 3 1+
1 2| | | |= | |PO c OF OF= = 1 2PF F△
2PF x= 1 3PF x= 2c
22 22 0x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ =
1 2| | | |= | |PO c OF OF= =
1 2PF F△
2 2 23 4x x c+ = x c=
1 22 | | | | 3a PF PF x x= − = −
( )2 3 1
3 1
ce
x
= = +
−
( ) cos 3f x x
πω = +
( )0ω >
6
π ( )g x ( )g x
6x
π= ( )f x 2,3 3
π π
ω【解析】
【分析】
函数 图象向左平移 个单位得到 ，由一条对称轴为 ，代入对称轴
方程，即可得到 ，根据 上单调递增可得 ，计算即可得出结果.
【详解】把函数 的图象向左平移 得到 ，
因为一条对称轴为直线 ，所以 ，
解得： ，又由 ，有 ，故 ，经检验知 合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，考查对称轴、周期、单调性等知识，熟练掌握三角函数的图
象和性质是解题的关键，属于中档题.
11.已知三棱锥 （记 所在的平面为底面）内接于球 ， ，当三棱锥
侧面积最大时，球 的体积为 ，则此时 的面积为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】设 ， ， ，当三棱锥 三个侧面的面积之和最大时，
， ， 两两垂直，此时球 的直径为以 ， ， 为棱的长方体的对角线.
又 ，得 ，
所以 ，有 ，得 ，
则 ， ，
此时 ， ， ，由 ，
( )f x 6
π ( )=cos 6 3g x x
π πω ω + + 6x
π=
3 1kω = − 2,3 3
π π
2 2
3 32T
π π π
ω
= −
≥
( )f x 6
π ( ) cos =cos6 3 6 3g x x x
π π π πω ω ω = + + + +
6x
π= =6 6 3 3 3 k
π π π π πω ω ω π+ + + = ( )k ∈Z
3 1kω = − ( )k ∈Z 2 2
3 32T
π π π
ω
= −
≥ 3ω ≤ 2ω = 2ω =
P ABC− ABC O : : 1: 2:3PA PB PC =
P ABC− O 56 14
3
ABC
PA x= 2PB x= 3=PC x P ABC−
PA PB PC O PA PB PC
34 56 14
3 3Rπ π= 14R =
2 2 2 24PA PB PC R+ + = ( )2214 4 14x = × 2x =
2PA = 4PB = 6PC =
2 5AB = 2 10AC = 2 13BC = 20 40 52 2cos 102 2 5 2 10
BAC
+ −∠ = =
× ×， 的面积为 .
故选：C
【点睛】本题考查球的内接几何体问题，考查补形方法的应用，考查球的体积公式的应用，三棱锥
三个侧面的面积之和最大时， ， ， 两两垂直以及此时将之补成长方体得出球的直径是解题的
关键，属于中档题.
12.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当 时 ， ， ， 显 然 成 立 ； 当 时 ， 不 等 式 ， 化 为
，两边取对数得到 ，进而转化为
恒成立，构造新函数 ，利用导数求得函数 的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，当 时， ，可得 ，
①当 时， ，则 ，不等式显然成立；
②当 时，不等式 ，可化为 ，
两边取对数，可得 ，
令 ，可得 ，
又由函数 单调递增，所以只需 ，即 在 恒成立，
令 ，有 ， ，
由 ，即 ，解得 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ，
7 2sin 10BAC∠ = ABC
1 7 22 5 2 10 142 10
× × × =
P ABC−
PA PB PC
2
lnmx xmxe ≥ m
2
1 ,e
+∞
1 ,2e
+∞
1,e
+∞
1 ,
e
+∞
0 1x< ≤ ln 0x < 2mx 0mxe > 1x ≥ 2mx lnmxe x≥
22 mx lnmx e x x≥ ( ) ( )2 2ln lnln lnmx mx xx+ ≥ +
2
ln xm x
≥ ( ) 2
ln xh x x
= ( )h x
x e= 2m 1eme e⋅ ≥ 0m >
0 1x< ≤ ln 0x < 2mx 0mxe >
1x ≥ 2mx lnmxe x≥ 22 mx lnmx e x x≥
( ) ( )2 2ln lnln lnmx mx xx+ ≥ +
( ) ln , 1g x x x x= + ≥ ( ) ( )2 lng mx xg≥
( )g x 2 lnmx x≥ 2
ln xm x
≥ [1, )+∞
( ) 2
ln xh x x
= ( ) 4 3
2 ln 1 2lnx x x xh x x x
− −′ = = ( )1x ≥
( ) 0h x′ > 1 2ln 0x− > 1 x e< <
( ) 0h x′ < 1 2ln 0x− < x e>
( )h x ( )1, e ( ),e +∞所以当 时，函数 取得最大值 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与
计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应
的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问
题．
二、填空题：本题共 4 小题
13.已知实数 ， 满足 则 的最小值_____________
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数的最值.
【详解】
由 同理
， ，
x e= ( )h x ( ) ( )max
ln 1
2
eh x h e e e
= = =
m 1 ,2e
+∞
x y
0,
2 0,
2 0,
x y
x y
x
− ≤
+ − ≤
+ ≥
2z x y= +
6−
2 0 1
0 1
x y x
x y y
+ − = = ⇒ − = = (1,1),C∴ ( 2, 2),B − − ( 2,4),A −
3Cz∴ = 6Bz = − 0Az =取最小值
故答案为： ．
【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或
边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶
点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需
要借助截距的几何意义来求最值.
14.已知平面向量 ， ， ， 若 则向量 与 的夹角的大小为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量互相垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
得 ，设向量 与 的夹角为 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查了平面向量垂直的性质，考查了平面向量的数量积运算性质，考查了平面向量夹角公式
的应用，考查了数学运算能力.
15.设 为等差数列 的前 项和，已知在 中只有 最小，则 .（填“ ”或“ ”或
“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】
利用 最小得出 ， ，然后，利用等差数列求和公式即可求解
【 详 解 】 ， 有 ， ， 由 题 意 可 得 ，
，故有 .
6Bz∴ = −
6−
a b 2a = 3b = ( )3 4a a b⊥ − a b
6
π
( )3 4a a b⊥ − ( ) 2
3 4 0 3 4 0 12 4 0a a b a a b a b⋅ − = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ =
3a b⋅ = a b θ
3 3cos 22 3
a b
a b
θ ⋅= = =
×⋅
[0, ]θ π∈
6
πθ =
6
π
nS { }na n nS 7S 15 13 ______ 02S S− > =
<
>
7S 8 0a > 7 0a <
6 7 8S S S> < 8 0a > 7 0a < ( )1 13
13 7
13 13 02
a aS a
+= = <
( )1 15
15 8
15 15 02
a aS a
+= = > 15 132 0S S− >答案：
【点睛】本题考查如何求等差数列的前 项和最小，属于基础题
16.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 l 与抛物线相交于 、 两点， 为坐标原点，直
线 、 与抛物线的准线分别相交于点 ， ，则 的最小值为_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
设直线 的方程为 ，联立方程，利用根与系数的关系，求得 及 结合直线
和 的方程，得出点 和 的坐标取得 ，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】设点 、 坐标分别为 ， ，直线 的方程为 ，
联立方程 消去 后整理为 ，
可得 ， ，则 ，
直线 的方程为 ，可求得点 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，可求得点 的坐标为 ，
记抛物线的准线与 轴的交点为 ，有 ，
由 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 4.
故答案为:4
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方
程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，
能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 题为必考题，每个试题考
生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
的
>
n
2: 4C y x= F F A B O
OA OB P Q PQ
l 1my x= − 1 2 1 2,y y y y+ 1 2 1=x x OA
OB P Q 4PD QD⋅ =
A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y l 1my x= −
2 4
1
y x
my x
=
= −
x 2 4 4 0y my− − =
1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − 2 2
1 2
1 2 116
y yx x = =
OA 1
1
yy xx
= P 1
1
1, y
x
− −
OB 2
2
yy xx
= Q 2
2
1, y
x
−
x D 1 2
1 2
4 41
y yPD QD x x
⋅ = = =
42PQ PD QD PD QD= + ⋅ =≥ PD QD=
PQ
17 ~ 21（一）必考题：
17.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 、 、 ，已知
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 ， .
【答案】（1） ；（2） ， 或 ，
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和题设条件，化简整理得 ，得到 ，
即可求解角 的大小；
（2）由三角形的面积公式，求得 ，再由余弦定理，得到 ，进而求得 ，联立
方程组，即可求得 的值.
【详解】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
又由 ，所以 .
（2）由三角形的面积公式，可得 ，解得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
故 ， 或 ， .
ABC A B C a b c ( )3 cos cos tanb a C A A= +
A
ABC 3 6a = b c
3
π
2b = 2 2c = 2 2b = 2c =
( )tan 3 sin 0A B− = tan 3A =
A
4bc = 2 2 10b c+ = 3 2b c+ =
,b c
ABC ( )3 cos cos tanb a C c A A= +
( )3sin sin cos sin cos tanB A C C A A= +
( )3sin sin tanB A C A= +
( ) ( )sin sin sinA C B Bπ+ = − = 3sin sin tanB B A=
( )tan 3 sin 0A B− =
0 B π< < sin 0B ≠ tan 3A =
0 A π< <
3A
π=
1 3sin 32 4ABCS bc A bc= = =△ 4bc =
2 2 2 2 2 6 1cos 2 2 4 2
b c a b cA bc
+ − + −= = =×
2 2 10b c+ =
( )2 10 2 4 18b c+ = + × = 3 2b c+ =
3 2
4
b c
bc
+ = =
2
2 2
b
c
=
=
2 2
2
b
c
=
=
2b = 2 2c = 2 2b = 2c =【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，
要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运
算与求解能力，属于基础题．
18.如图，在三棱锥 中， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，
， ， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先结合线面平行的判定定理，证得 平面 和 平面 ，再利用面面平行的判定定理，
即可证得平面 平面 ；
（2）以 为坐标原点，向量 ， ， 方向分别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
分别求得平面 和平面 的一个法向量 和 ，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在 中，因为 ， ，可得 ，
在 中，因为 ， ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）如图所示，连 ，由 ， ，则 ，
在 中， ，可得 ， ，
因为 平面 ，可得 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，向量 ， ， 方向分
A BCD− O AB E AC F AD
2DC AC BC= = = 2AB = DO ⊥ ABC
//OEF BCD
D OE F− −
6
3
//OE BCD //EF BCD
//OEF BCD
O OB OC OD x y z
OED OEF m n
ABC∆ AO OB= AE EC= //OE BC
ACD∆ AO OB= AF FD= //EF CD
OE ⊄ BCD BC ⊂ BCD //OE BCD
EF ⊄ BCD CD ⊂ BCD //EF BCD
EF EO E= EF ⊂ OEF EO ⊂ OEF
//OEF BCD
CO AC BC= AO OB= CO AB⊥
AOC△ 2 2 2 1 1OC AC AO= − = − = 1AO OB OC= = = 1OD =
OD ⊥ ABC OB OC OD O OB OC OD别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ， .
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ， ， ，可得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ， ， ，有可得平面 的一个法向量为 ，
又由 ， ， ，可得 ，
故二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能
力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定
的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.
19.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式
进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币 100
x y z
( )0,0,0O ( )1,0,0B ( )1,0,0A − ( )0,1,0C ( )0,0,1D 1 1, ,02 2E −
1 1,0,2 2F −
1 1, ,02 2OE = −
( )0,0,1OD = 1 1,0,2 2OF = −
OED ( ), ,m x y z=
1 1 02 2
0
OE m x y
OD m z
⋅ = − + =
⋅ = =
1x = 1y = 0z = OED ( )1,1,0m =
OEF ( ), ,n a b c=
1 1 02 2
1 1 02 2
OE n a b
OF n a c
⋅ = − + =
⋅ = − + =
1a = 1b = 1c = OEF ( )1,1,1n =
2m n⋅ = 2m = 3n = ( ) 2 6cos , 32 3
m n = =
×
D OE F− − 6
3元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金 20 元，两个红球
奖金 40 元，三个全为红球奖金 200 元.
（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；
（2）若该次募捐有 300 位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望.
【答案】（1） ；（2） 元
【解析】
【分析】
（1）不能获奖即摸到三个白球，由古典概型可求得解；
（2）由题可知，设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 元，则 ,80,60,－100，求出每
种情况的概率，求出期望，最后再乘以 300.
【详解】解：（1）一位“献爱心参与者不能中奖”记为事件 ，则 .
（2）设一个献爱心参与者参加活动，企业所得善款为 元，则 ,80,60,－100，
则 ， ，
， .
若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为
元.
所以此次募捐所得善款的数学期望为 元.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率解决数学期望问题.
求古典概型概率的方法（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）
用古典概型的概率公式计算
20.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，
，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）动直线 l 与椭圆 相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，与 轴的正半轴相交于点 ， 为线段
5
21 23500
X 100X =
A
3
6
3
9
5( ) 21
CP A C
= =
X 100X =
( ) 3
6
3
9
5100 21
CP X C
= = = ( ) 1 2
3 6
3
9
1580 28
C CP X C
= = =
( ) 2 1
3 6
3
9
360 14
C CP X C
= = = ( ) 3
3
3
9
1100 84
CP X C
= − = =
( ) 5 15 3 1 235100 80 60 10021 28 14 84 3E X = × + × + × + × =
235 300 235003
× =
xOy
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> > F B
30OBF∠ = ° 62, 2A
−
C
C
C P Q x M y N T的中点，若 为定值 ，请判断直线 l 是否过定点，求实数 的值，
并说明理由.
【答案】（1） ；（2）直线 l 过定点 ， ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（ 1 ） 设 点 的 坐 标 为 . 由 ， 可 得 ， ， 故 椭 圆 的 标 准 方 程 为
，把点 代入，求出 ，即得椭圆 的标准方程；
（2）由题意可设直线 的方程为 ， ，则 .由
，消去 ，韦达定理可得 .由
，可得 为定值，
故 ，即求 ，即得直线 l 过定点.
【详解】（1）设点 的坐标为 .
由 ， ， ， ，可得 ， .
椭圆 的标准方程为 ， 点 在椭圆 上，
， ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ，
设 ，则 .
由 ，消去 ，整理可得 ，
PQ 7 4 4OP OQ OT OM OT ON⋅ − ⋅ − ⋅ n n
2 2
14 3
x y+ = ( )0,1 21n = −
F ( ),0c 30OBF∠ = ° 2a c= 3b c= C
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ = 62, 2A
−
c C
l y kx m= + ( )0m > ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ),0 0,,m
k N mM −
2 2
14 3
x y
y kx m
+ =
= +
y 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y+ +
( ) 2
1 2 1 2 27 84 27 4 34OP OQ OT OM OT mx x y yON k
⋅ − ⋅ − ⋅ = + − +
( )2 2
2
21 4 4
4 3
k m
n k
− + − = +
24 3m− = ,m n
F ( ),0c
OF c= OB b= BF a= 30OBF∠ = ° 2a c= 3b c=
∴ C
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
62, 2A
−
C
2 2
1 1 12 2c c
∴ + = 1c∴ =
C
2 2
14 3
x y+ =
l l y kx m= + ( )0m >
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ),0 0,,m
k N mM −
2 2
14 3
x y
y kx m
+ =
= +
y ( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =则 ， .
由 ，
可得 .
，
，
， .
， ，
，
若 定值，则必有 ，
解得 ， ， ， .
故直线 过定点 ， .
【点睛】本题考查椭圆 标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.
21.已知函数
（1）若曲线 在点 处的切线 l 过点 ，求实数 的值；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
为
的
1 2 2
8
4 3
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
−= +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 16 12 3 9 0k m k m k m∆ = − + − = − + >
2 24 3 0k m− + >
( ) ( ) ( ) 2
1 2 1 2 1 2 2 2
8 62 24 3 4 3
k m my y kx m kx m k x x m mk k
∴ + = + + + = + + = − + =+ +
( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + +
( )2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
4 12 8 3 12
4 3 4 3 4 3
k m k m m kmk k k
− −= − + =+ + +
2 2
1 2 1 2 2
7 12 12
4 3
m kx x y y k
− −∴ + = + 2 2
4 3,4 3 4 3
km mT k k
− + +
,mOM ON mk
∴ + = −
( ) 2 2 2
2 2 2
4 3 7
4 3 4 3 4 3
m m mOT OM ON k k k
⋅ + = + =+ + +
( )7 4 4 7 4OP OQ OT OM OT ON OP OQ OT OM ON∴ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ +
( ) 2
1 2 1 2 2
287 4 3
mx x y y k
= + − =+
( ) ( )2 2 2 22
2 2 2
7 7 12 12 7 3 12 1228
4 3 4 3 4 3
m k m km
k k k
− − − −
− =+ + +
( ) ( )2 2 2 2
2 2
7 12 3 12 21 4 4
4 3 4 3
k m k m
k k
− + − − + − = =+ +
7 4 4OP OQ OT OM OT ON⋅ − ⋅ − ⋅ 24 3m− =
1m = ± 0m > 1m∴ = 21n∴ = −
l ( )0,1 21n = −
( ) 2 lnxf x xe ax a x= − − ( )a R∈
( )y f x= ( )( )1, 1f (0, 2 1)e− − a
( )f x a
1− ( )2 ,e +∞【分析】
（1）对函数 进行求导，根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程、点在直线上进行求解即可；
（2）对函数 进行求导，分类讨论求出函数的单调性，结合零点的定义、零点存在原理，通过构造新
函数，对新函数进行求导，根据新函数的单调性进行求解即可.
【详解】解：（1）由 ，有 ， ，
切线 的方程为 ，代入点 有 ，解
得 ，故实数 的值为－1.
（2）函数 的定义域为 ，由
，
.
①当 时， ，此时函数 单调递增，最多只有一个零点；
②当 时，令 ，由 可知函数 单调递增，又由
， ，可得存在 ，使得 ，有
，可知函数 的减区间为 ，增区间为 .
若函数 有两个零点，必有
，得 ，
又由 ，
令 ，有 ，令 可得 ，故函数 的增区间为 ，减
区间为 ，有 ，
当 时，即 时， ，可得此时函
数 有两个零点.
( )f x
( )f x
( ) ( )2 1 x af x x e a x
′ = + − − ( )1 4 2f e a′ = − ( )1 2f e a= −
l ( ) ( )( )2 4 2 1y e a e a x− − = − − ( )0, 2 1e− − ( ) ( )2 1 2 4 2e e a e a− − − − = − −
1a = − a
( )f x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 1 2 1 1 2x x xa xa af x x e a x e x ex x x
+ ′ = + − − = + − = + −
( )( )21 2x xe a
x
+ −
=
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > ( ) 2 xg x xe a= − ( 0)x ≥ ( ) ( )2 1 0xg x x e′ = + > ( )g x
( )0 0g a= − < ( ) ( )2 2 1 0a ag a ae a a e= − = − > ( )0 0,x a∈ ( )0 0g x =
0
0 2
x ax e = ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞
( )f x
( ) ( )0
0 0 0 0 0 02 ln lnxf x x e ax a x a a x x= − − = − +
0
0ln( ) ln 1 ln 02 2
x a aa a x e a a a = − = − = −
( ) ( )2 1
ln 0
a
a a a
a a
a aeaf e ae a e a e e
− − −
−
> − − = − = >
( ) lnh x x x= − ( ) 1 11 xh x x x
−′ = − = ( ) 0h x′ > 1x > ( )h x ( )1,+∞
( )0,1 ( ) ( )1 1h x h≥ =
lnx a> xe a> ( ) ( ) ( )2 ln ln ln 0xf x x e a a x ax a x a x x a= − − > − = − ≥ >
( )f x由上知，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了已知函数零点的个数求参数取值范围问题，考查了分类讨论
思想和数学运算能力.
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答.
22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为： ，（ 为参数），以坐标原点为极
点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
（1）求曲线 和直线 l 直角坐标方程；
（2）若点 在曲线 上，且点 到直线 l 的距离最小，求点 的坐标.
【答案】（1） ： ， ： ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由曲线 的参数方程化为 ，平方相加，求得曲线 的直角坐标方程，把直线 的极坐标
方程化为 ，进而求得直线 的直角坐标方程；
（2）设点 ，求得点 到直线 的距离 ，结合三角函数的性质，
即可求解.
【详解】（1）由曲线 的参数方程为： ，（ 为参数），可得 ，
平方相加，可得 ，即曲线 的直角坐标方程为 ，
由直线 的极坐标方程化为 ，
将 ， 代入可得 ，
的
( )f x a ( )2 ,e +∞
xOy C 3 cos
sin
x
y
β
β
= =
β
x 3 2sin 4 2
πρ θ − =
C
P C P P
C
2
13
zx y+ = l 3 0x y− + = 3 1,2 2
−
C
cos
3
x
y sin
β
β
=
=
C l
( )2 3 2sin cos2 2
ρ θ θ− = l
( )3 cos ,sinP α α P l 2cos( ) 36
2
d
πα + +
=
C 3 cos
sin
x
y
β
β
= =
β cos
3
x
y sin
β
β
=
=
2
13
zx y+ = C
2
13
zx y+ =
l ( )2 3 2sin cos2 2
ρ θ θ− =
cos xρ θ = sin yρ θ = 3 0x y− + =故直线 的直角坐标方程为 .
（2）由点 在曲线 上，设点 ，
则点 到直线 的距离
当 时，即 ，点 到直线 的距离的最小值为 ，
此时点 的坐标为 .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离
公式和三角函数的性质的综合应用，着重考查推理与运算能力.
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的定义将函数 化为 然后分段求解不等式，得出答案.
（2）当 时，即 恒成立，得出此时 的范围，当 时，
恒成立，得出此时 的范围，然后综合得出答案.
【详解】解：（1）
当 时， ，得 ；
当 时，由 ，得 ；
当 时， ，无解.
l 3 0x y− + =
P C ( )3 cos ,sinP α α ( )2a α π≤ <
P l 2cos 33 cos sin 3 6
2 2
d
παα α
+ + − + = =
cos 16a
π + = −
5
6a π= P l 2
2
P
3 1,2 2
−
( ) 2f x x x= − −
( ) 1f x
[ ]2,2x∈ − ( )f x mx≥ m
1, 2
−∞ 1−
( )f x ( )
2, 0
2 2 ,0 2,
2, 2
x
f x x x
x
[ ]0 2x∈ ， ( ) 2 2f x x mx= − ≥ m 2 0x− ≤ < ( ) 2f x mx= ≥
m
( )
2, 0
2 2 ,0 2,
2, 2
x
f x x x
x
0x < ( ) 1f x ≥ 0x <
0 2x≤ ≤ 2 2 1x− ≥ 10 2x≤ ≤
2x > 2 1− ≥所以不等式 的解集为：
（2）当 时， 恒成立.
当 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 恒成立，所以 ，即
当 时， 恒成立，即 ，即
综上，实数 的值为－1.
【点睛】本题考查含绝对值的不等式的求解和恒成立问题，关键是由绝对值的定义打开绝对值，再分段处
理，属于中档题.
.
( ) 1f x
1, 2
−∞
[ ]0 2x∈ ， ( ) 2 2f x x mx= − ≥
0x = 2 0m≥ × m R∈
0 2x< ≤ 2 2x mx− ≥ 22m x
+ ≤ 2 1m + ≤ 1m ≤ −
2 0x− ≤ < ( ) 2f x mx= ≥ 2m x
≥ 1m ≥ −
m
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