绝密★启用前
2020 届全国统一考试数学仿真模拟试卷五
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。
2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、
笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米
的
黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书
写
的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选 择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,所以
,故选 A.
2．若复数 满足： ，则 （ ）
{ }0A x x= > { }2 2 15 0,B x x x x Z= + − < ∈ A B =
{ }1,2 { }1,2,3 { }1,2,3,4 { }1,2,3,4,5
( )( ){ } { }= 3 5 0 4, 3, 2, 1,0,1,2B x x x x Z x− + < ∈ = − − − −，
{ }1,2A B =
z (1 ) 2z i⋅ + = | |z =A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】复数 满足 ，
则 ，
由复数除法运算化简可得
，
由复数模的定义及运算可得 ，
故选：B.
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由诱导公式可得 .
故选：D.
.
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
2 3
z (1 ) 2z i⋅ + =
2
1 iz = +
( )
( )( )
2 12 11 1 1
iz ii i i
−= = = −+ + −
( )221 1 2z = + − =
4cos 4 5
π α − = sin 4
π α + =
4
5
− 1
5
− 1
5
4
5
4sin sin cos4 2 4 4 5
π π π πα α α + = − − = − = A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】运行该程序，输入 ， ，则 ；
，不满足判断框，则 ；
，不满足判断框，则 ；
，不满足判断框，则 ；
，不满足判断框，则 ；
，满足判断框，输出 .
故选：B.
5．已知向量 ， ， ，若 ，则 与
夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1i = 0S = 1 10 lg lg3 3S = + =
1 1lg lg 13 10S = > = − 1 3 13, lg lg lg3 5 5i S= = + =
1 1lg lg 15 10S = > = − 1 5 15, lg lg lg5 7 7i S= = + =
1 1lg lg 17 10S = > = − 1 7 17, lg lg lg7 9 9i S= = + =
1 1lg lg 19 10S = > = − 1 9 19, lg lg lg9 11 11i S= = + =
1 1lg lg 111 10S = < = − 9i =
,a b 2a = ( )( )cos ,sinb Rα α α= ∈ 2 2 3a b+ = a b
5
6
π 2
3
π
3
π
6
π【解析】 ，
，
即 ，解得 .
设 与 夹角为 ，则 ，
6．函数 的大致图象是
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知函数 为奇函数，可排除 B 选项；
当 时， ，可排除 D 选项；
当 时， ，当 时， ，
即 ，可排除 C 选项，
故选：A
7．已知实数 满足 ， ，则函数 存在极值
的概率为（ ）
2 2cos sin 1b α α= + =
2 22( 2 ) 4 4 12a b a a b b+ = + + =
4 4 4 12a b+ + =
1a b =
a b θ 1cos 2
a b
a b
θ = =
( ) ( )2
3
ln 1x
f x x
+
=
( )f x
x 0< ( ) 0f x ＜
x 1= ( )1 2f ln= x 3= ln10 ln10(3) ,ln 227 27f = >
( ) ( )1 3f f＞
,a b 0 1a≤ ≤ 0 1b≤ ≤ ( ) 3 2 2 1f x x ax b x= − + +A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ,
因为函数 存在极值，
所以 有两个不同零点，
即 有两个不等的实根，
所以 ，
因为 ，
解得 ，
因为满足 ， 的点 的区域为边长为 1 的正方形，面积为
满足 ， 且 的点 的区域为正方形内直线 下方
的三角形区域，面积为 ,
由几何概型可知函数 存在极值的概率为 ,
故选：B
8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如
图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为
（ ）
1
6
3
6
1
3
3
3
( ) 2 23 2f x x ax b′ = − +
( ) 3 2 2 1f x x ax b x= − + +
( ) 2 23 2f x x ax b′ = − +
2 23 2 0x ax b− + =
2 24 12 0a b∆ = − >
0 1a≤ ≤ 0 1b≤ ≤
3
3
ab <
0 1a≤ ≤ 0 1b≤ ≤ ( , )a b 1S =
0 1a≤ ≤ 0 1b≤ ≤ 3
3b a< ( , )a b 3
3b a=
1 3 312 3 6S′ = × × =
( ) 3 2 2 1f x x ax b x= − + + 3
6
SP S
′= =A．6 B．21 C．27 D．54
【答案】C
【解析】结合三视图,还原直观图为
已知 ,则该四面体
,故选 C.
9．已知 满足 ， 的最大值为 ，则直线
过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3, 4, 3AB BC CD= = =
1 1 1 1 272 2 2 2S AB BC AC CD AB BD BC CD= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
,x y
2 0
2 0
8 0
x
y
x y
− ≥
− ≥
+ − ≤
( )0z ax by a b= + > > 2
1 0ax by+ - =
( )3,1 ( )1,3− ( )1,3 ( )3,1−【解析】由 满足 ，作出可行域如图：
由图可知， 为目标函数取得最大值的最优解，
联立 ，解得 ，
，即 ，所以 ，
代入 ，得 ，
即 ，
由 ，解得 ，
直线 过定点 ，
故选：A
10．设函数 ，满足 ，若 存在零
点 ，则下列选项中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
,x y
2 0
2 0
8 0
x
y
x y
− ≥
− ≥
+ − ≤
C
2
8 0
y
x y
=
+ − =
( )6,2C
6 2 2a b∴ + = 3 1a b+ = 1 3b a= −
1 0ax by+ - = 3 1 0ax y ay+ − − =
( )3 1 0a x y y− + − =
3 0
1 0
x y
y
− =
− =
3
1
x
y
=
=
∴ 1 0ax by+ - = ( )3,1
( ) lnxf x e x= + ( ) ( ) ( ) ( )0f a f b f c a b c< < < ( )f x
0x
( )0 ,x a c∈ ( )0 ,x a b∈
( )0 ,x b c∈ ( )0 ,x c∈ +∞【答案】C 因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，
，
或 ，
若 时，
由 存在零点 ，可知 ，
此时 A,B 选项正确，C,D 选项错误.
若 时，
由 存在零点 ，可知 ，
此时选项 A、B、C 错误，D 选项正确，
综上可知，选项中一定错误的是 C 选项，
故选：C
11．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得
的弦长为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的一条渐近线为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
( ) lnxf x e x= + (0, )+∞ a b c< <
( ) ( ) ( )f a f b f c< <
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c > ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f a f b f c< < <
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f a f b f c< > >
( )f x 0x 0 ( , )x a b∈
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f a f b f c< < <
( )f x 0x 0 ( , )x c∈ +∞
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > ( )2 22 4x y+ + =
2 C
2 3
3 2 3 2
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 0bx ay− =
( )2 22 4x y+ + = ( 2,0)− 2r =则圆心到渐近线的距离为
所以弦长 ，
化简得： ，
即 ，
解得
所以 .
故选：D
12．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，若 ， ，
且 ，则 的面积为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
即
2 2
| 2 0 | 2b bd ca b
− −= =
+
2
2 2
2
42 2 2 4 br d c
= − = −
2 24 3b c=
2 2 24( ) 3c a c− =
2c a=
2ce a
= =
ABC , ,A B C , ,a b c 1a = 3a b c+ + =
3sin cos sin cos 2c A B a B C a+ = ABC
3
4
3 3
4
3 3
4
2 3
3
3
4
3sin cos sin cos 2c A B a B C a+ =
3sin sin cos sin sin cos sin2C A B A B C A∴ + =
sin 0A ≠
3sinCcos sin cos 2B B C∴ + =
3sin( ) sin 2B C A+ = =或 ，
若 ，则 ，
故 ，与 矛盾，
由余弦定理得
故选：D
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的
横 线上）
13．若抛物线 的准线经过直线 与坐标轴的一个交点，则
______.
【答案】
【解析】
抛物线 的准线为
所以其经过直线 与坐标轴的交点为
所以 ，即
3A
π∴ = 2
3A
π=
2
3A
π= ,a b a c> >
2a b c> + 1, 2a b c= + =
3A
π∴ =
2 2 2 22 cos ( ) 3 1a b c bc A b c bc= + − = + − =
1bc =∴
1 1 3 3sin 12 2 2 4S bc A∴ = = × × =
( )2 2 0y px p= > 1y x= + p =
2
( )2 2 0y px p= >
2
px = −
1y x= + ( )1,0-
12
p− = − 2p =故答案为：2
14．将容量为 的样本数据分成 组，绘制频率分布直方图，若第 至第 个矩形的面
积之比为 ，且最后两组数据的频数之和等于 ，则 的值等于______.
【答案】
【解析】解：由题意可知第 至第 组的频数之比为 ，
不妨设第 至第 组的频数为 ，
则 ，即
则 ，
故答案为： .
15．关于函数 ，有下列命题：
①由 可得 必是 的整数倍；
② 在区间 上单调递增；
③ 的图象关于点 对称；
④ 的图象关于直线 对称.
其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】②③
【解析】解：对于①，令 ，即 ，则 ，则
，即 必是 的整数倍，即①错误；
对于②，令 ，得 ，又
n 5 1 5
2: 4:6: 2:1 20 n
100
1 5 2: 4:6: 2:1
1 5 2 ,4 ,6 ,2 ,t t t t t
2 20t t+ = 3 20t =
n 2 4 6 2 15 100t t t t t t= + + + + = =
100
( ) ( )4sin 2 3f x x x R
π = + ∈
( ) ( )1 2 0f x f x= = 1 2x x− π
( )y f x= 5 ,13 13
π π −
( )y f x= ,06
π −
( )y f x=
6x
π= −
( ) 0f x = 2 3x k
π π+ = 1
2 6x k
ππ= −
1 2
1 2 ,2 2
k k mx x m Zπ π−− = = ∈ 1 2x x−
2
π
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + 5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈，即 在区间 上单调递增，即②
正确；
对于③，令 ，解得 ，当 时， ，即 的
图象关于点 对称，即③正确；
对于④，令 ，解得 ，解 ， 无整数解，
即④错误，
综上可得正确的命题的序号是②③，
故答案为：②③.
16．在几何体 中， 是正三角形，平面 平面 ，且
， ，则 的外接球的表面积等于__________．
【答案】
【解析】
由题意，取 的中点 ，连接 ，且 ，则点 为正三
角形 的中点， ，易证 平面 ，取 中点 ，连接
，
作 ∥ ， ∥ ，连接 ，则 为外接球的半径，又 ，
，则 ，
所以外接球的表面积为 ，从而问题可得解.
5 ,13 13
π π −
5 ,12 12k k
π ππ π − +
( )y f x= 5 ,13 13
π π −
2 3x k
π π+ =
2 6
kx
ππ= − 0k =
6x
π= − ( )y f x=
,06
π −
2 3 2x k
π ππ+ = +
2 12
kx
ππ= +
2 12 6
k π ππ + = − k
P ABC− PAB∆ PAB ⊥ ABC
2AB BC= = AB BC⊥ P ABC−
28π
3
,AB PB E F， ,AF PE AF PE M∩ = M
PAB 1 3
3 3ME PE= = PE ⊥ ABC AC D
ED
OD PE OM ED OA OA 3
3OD ME= =
1 22AD AC= = 2 2 21
3OA OD AD= + =
2
21 284 3 3S
ππ = = 三、解答题：（本大题满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学
模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 名学
生的数学成绩进行统计，得到如下的茎叶图：
（1）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程
度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）若规定分数在 的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分
层抽样法抽出 位同学参加座谈会，要再从这 位同学中任意选出 人发言，求这 人
来自不同班的概率.
【答案】（1）甲班抽出同学数学分数的中位数： ；乙班抽出同学数学分数的中位数：
；乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班
学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度（2）
【解析】解：（1）根据茎叶图得：
20
[ )90,110
4 4 2 2
118
128
1
2甲班抽出同学数学分数的中位数： ，
乙班抽出同学数学分数的中位数： .
乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；
甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度.
（2）根据茎叶图可知：
甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为 、 ，
若用分层抽样法抽出 人，则应从甲、乙两班各抽出 人、 人.
设“ 位同学任意选出 人发言，这 人是来自不同班的同学”为事件 .
将甲班选出的 人记为： 、 、 ，乙班选出的 人记为： .则共有“ 、 、
、 、 、 ” 种选法，事件 包含“ 、 、 ” 种.
故 .
故选出的 人是来自不同班的同学的概率等于 .
【点睛】
本题考查了茎叶图,重点考查了古典概型概率公式,属基础题.
18．已知正项数列 的前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析；
【解析】
【分析】
122 114 1182
+ =
128 128 1282
+ =
6 2
4 3 1
4 2 2 A
3 a b c 1 d ab ac
ad bc bd cd 6 A ad bd cd 3
( ) 3 1
6 2P A = =
2 1
2
{ }na n nS 24 2n n nS a a= +
{ }na
( )2
1
1n
n
b
a
=
+ { }nb n nT 1
2nT <
2na n=（1）根据所给条件式，利用递推法可得 ，两式相减即可证明数列
为等差数列，结合首项与公差即可得数列 的通项公式；
（2）将（1）中所得数列 的通项公式代入，可得数列 ，利用放缩法及裂项求
和，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）已知 ，①
所以 ，②
②－①得， ，即 ；
因为 ，所以， .
由 及 得 ，
故 为等差数列，公差 .
所以 .
（2）证明：因为
所以
.
不等式得证.
19．如图所示，平面 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，
， 分别是 的中点.
2
1 1 14 2n n nS a a+ + += +
{ }na { }na
{ }na { }nb
24 2n n nS a a= +
2
1 1 14 2n n nS a a+ + += +
2 2
1 1 14 2 2n n n n na a a a a+ + += − + − ( )( )1 1 2 0n n n na a a a+ ++ − − =
1 0n na a+ + > 1 2n na a+ − =
2
1 1 14 2S a a= + 1 0a > 1 2a =
{ }na 2d =
( )2 1 2 2na n n= + − × =
( ) ( )( )2
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 12 1nb n n n nn
= < = − − + − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1nT n n
< − + − + − + + − − +
1 1 1
2 4 2 2n
= − A ,B C
2 8a = 2 3c = 4a = 2b =所以，点 的轨迹方程为 .
设 ， .由 得， ，又 .
故，点 的轨迹 的方程为 ，即 .
（2）由题意可知，当直线 的斜率不存在时，易求得 ， ，
， .这时，四边形 的面积为 ，不符合要求.
当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为
由 消去 得 ，
设 ， ，则 ， .
故， ，
又，两条平行直线 ， 间的距离 .
由椭圆的对称性知：四边形 为平行四边形，其面积
，
解得， 或 .
A ( )2 2
1 016 4
x y y+ = ≠
( ),M x y ( )0 0,A x y 2OA OM= 0
0
2
2
x x
y y
=
=
2 2
0 0 116 4
x y+ =
M E ( ) ( )2 22 2 116 4
x y+ = ( )2
2 1 04
x y y+ = ≠
l 13, 2P −
13, 2Q − −
13, 2R −
13, 2S
PQRS 2 3
l l ( )3y k x= +
l′ ( )3y k x= −
( )
2
2
3 ,
1,4
y k x
x y
= +
+ =
y ( )2 2 2 21 4 8 3 12 4 0k x k x k+ + + − =
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
2
1 2 2
8 3
1 4
kx x k
−+ = +
2
1 2 2
12 4
1 4
kx x k
−⋅ = +
( ) ( )2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
4 1
1 1 4 1 4
k
PQ k x x k x x x x k
+
= + − = + + − = +
l l′
2
2 3
1
kd
k
=
+
PQRS
2
2
8 3 1 8 6
1 4 5
k kS PQ d k
+= ⋅ = =+
1k = ± 14
7k = ±故，直线 的方程为 或 .
21．已知函数 ， .
（1）求函数 在 上的最值；
（2）若对 ，总有 成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1） ，则 ，令 ，解得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即
.
又 ， ，所以， .
因此， ， ；
（2）因为， ，等价于
，
令 ，
l ( )3y x= ± + ( )14 37y x= ± +
( ) lnf x x x= ( ) 21
2g x x=
( )f x 2
1 ,ee
0b a> > ( ) ( ) ( ) ( )m g b g a f b f a− > − m
( )min
1f x e
= − ( )maxf x e= [ )1,+∞
( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + ( ) 0f x′ = 1x e
=
2
1 1xe e
< < ( ) 0f x′ < 1 x ee
< < ( ) 0f x′ >
( )y f x= 2
1 1,e e
1 ,ee
( )y f x= 1x e
=
( )min
1 1f x f e e
= = −
2 2
1 2f e e
= −
( )f e e= ( ) ( )maxf x f e e= =
( )min
1 1f x f e e
= = −
( ) ( )maxf x f e e= =
( ) ( ) ( ) ( )m g b g a f b f a− > −
( ) ( ) ( ) ( )mg b f b mg a f a− > −
( ) ( ) ( ) 2 ln2
mh x mg x f x x x x= − = −因为 ，总有 成立，
所以，函数 在 上单调递增.
问题化为 对 恒成立，即 对
恒成立.
令 ，则 .
由 得， .
当 时， ，函数 递增，当 时， ，函数
递减.
所以， ， .
因此，实数 的取值范围是： .
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以
坐标原点 为极点、以 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
，若直线 与曲线 交于 、 两点.
（1）求线段 的中点 的直角坐标；
（2）设点 是曲线 上任意一点，求 面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）将曲线 的极坐标方程可化为 ，化为直角坐标方程得
，
0b a> > ( ) ( ) ( ) ( )m g b g a f b f a− > −
( )y h x= ( )0, ∞+
( ) ln 1 0h x mx x′ = − − ≥ ( )0,x∈ +∞ ln 1xm x
+≥ ( )0,x∈ +∞
( ) ln 1xx x
ϕ += ( ) 2
ln xx x
ϕ −′ =
( ) 2
ln 0xx x
ϕ −′ = = 1x =
( )0,1x∈ ( ) 0xϕ′ > ( )y xϕ= ( )1,x∈ +∞ ( ) 0xϕ′ <
( )y xϕ=
( ) ( )max 1 1xϕ ϕ= = 1m∴ ≥
m [ )1,+∞
xOy l
33 2
1
2
x t
y t
= +
=
t
O x C
4cosρ θ= l C A B
AB P
M C MAB△
9 3,4 4P
−
5 15
4
C 2 4 cosρ ρ θ=
( )2 22 4x y− + =将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得： ，化
简得 ，
设 、 的参数分别为 、 ，由韦达定理得： ，于是
.
设 ，则 ，
故点 的直角坐标为 ；
（2）由（1）知： ， ，
所以， ，
又直线 的普通方程为 ，圆心 到直线 的距离为
，圆的半径 .
所以，点 到直线 的距离的最大值为 .
因此， 面积的最大值为： .
23．已知不等式 对于任意的 恒成立.
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 的最大值为 ，且正实数 、 、 满足 ，求证：
l C
2 23 13 2 42 2t t
+ − + =
2 3 3 0t t+ − =
A B 1t 2t 1 2 3t t+ = −
1 2 3
2 2P
t tt
+= = −
( )0 0,P x y
0
0
3 3 93 2 2 4
1 3 3
2 2 4
x
y
= + × − = = × − = −
P
9 3,4 4P
−
1 2 3t t+ = − 1 2 3t t⋅ = −
( )2
1 2 1 2 1 24 15AB t t t t t t= − = + − =
l 3 3 0x y− − = ( )2,0C l
( )22
2 3 1
21 3
d
−= =
+ 2r =
M l max
5
2h d r= + =
MAB△ max
1 1 5 5 15152 2 2 4S AB h= ⋅ = × =
2 1 2 1 1x x m+ + − ≥ + x∈R
m
m M a b c a b c M+ + =.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由绝对值三角不等式可得 ，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（2）因为， ，所以， ， ，
所以，
.
即 .
1 3 2 32 2a b b c
+ ≥ ++ +
[ ]3,1−
( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x+ + − ≥ + − − =
1 2m + ≤ 3 1m− ≤ ≤
m [ ]3,1−
1M = 1a b c+ + = ( ) ( )2 2 2a b b c∴ + + + =
( ) ( )1 3 1 1 32 22 2 2 2 2a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + +
( ) ( )3 2 3 21 2 1 24 4 2 2 32 2 2 2 2 2
a b a bb c b c
b c a b b c a b
+ + + += + + ≥ × + ⋅ = + + + + +
1 3 2 32 2a b b c
+ ≥ ++ +
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