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2020 届江西省九江市文科数学高考二模试题
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）已知集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{0}
2．（5 分）已知复数 z 满足 z（3﹣i）＝10，则 z＝（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，S4＝6，则 S7＝（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
4．（5 分）已知 ，则 tanα＝（ ）
A．﹣ B． C． D．2
5．（5 分）已知 0＜a＜b＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．ba＜bb B．ab＜bb C．aa＜ab D．ba＜aa
6．（5 分）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 f（x），则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．第 2 页（共 6 页）
D．
7．（5 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直
的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
＝
A．1 B． C．2 D．
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A．8 B． C． D．13
9．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 E： 的右焦
点 F，若存在平行于 x 轴的直线 l，与双曲线 E 相交于 A，B 两点，使得四边形 ABOF 为
菱形，则该双曲线 E 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5 分）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，
档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，
梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则
表示数字 65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各
拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）第 3 页（共 6 页）
A． B． C． D．
11．（5 分）已知函数 f（x）＝x﹣alnx+a（a∈R）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C．（e2，e3） D．（e2，2e2）
12．（5 分）现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水
平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 l1，l2，l3，l4，则（ ）
A．l1＜l2＜l3＜l4 B．l1＜l2＜l3＝l4
C．l1＝l2＝l3＝l4 D．l1＝l2＝l3＜l4
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．（5 分）已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝2， ⊥（ + ），则向量 ， 夹角的大小为
．
14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z＝3x﹣2y 的最大值是 ．
15．（5 分）△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则△
ABC 的面积为 ．
16．（5 分）如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 P﹣ABCD 中，大球 O1
内切于该四棱锥，小球 O2 与大球 O1 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2 的体积为
．第 4 页（共 6 页）
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．（12 分）已知数列{an}满足 ．
（Ⅰ）求证：{an+1﹣an}为等比数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
18．（12 分）BMI 指数（身体质量指数，英文为 BodyMassIndex，简称 BMI）是衡量人体胖
瘦程度的一个标准，BMI＝体重（kg）/身高（m）的平方．根据中国肥胖问题工作组标准
，当 BMI≥28 时为肥胖．某地区随机调查了 1200 名 35 岁以上成人的身体健康状况，其
中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 μ；
（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖
有关．
肥胖 不肥胖 合计
高血压
非高血压
合计
P（K2≥k） 0.05 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828第 5 页（共 6 页）
附： ，其中 n＝a+b+c+d．
19．（12 分）如图所示的几何体 ABC﹣A1B1C1 中，四边形 ABB1A1 是正方形，四边形 BCC1B1
是梯形，B1C1∥BC，且 ，平面 ABB1A1⊥平面 ABC．
（Ⅰ）求证：平面 A1CC1⊥平面 BCC1B1；
（Ⅱ）若 AB＝2，∠BAC＝90°，求几何体 ABC﹣A1B1C1 的体积．
20．（12 分）过点 A（1，0）的动直线 l 与 y 轴交于点 T（0，t），过点 T 且垂直于 l 的直
线 l'与直线 y＝2t 相交于点 M．
（Ⅰ）求 M 的轨迹方程；
（Ⅱ）设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆 O′与 y 轴相交于点 N，且∠NMA＝30°，
求|AM|的值．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x﹣1）lnx．
（Ⅰ）求 f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式 exf（x）≥x+aex 在（0，+∞）上恒成立，求实数 a 的取值范围．
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4--4：坐标
系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 （φ 为参数），
以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1，l2 的极坐标方程分别为 θ＝θ0
，θ＝θ0+ ，l1 交曲线 E 于点 A，B，l2 交曲线 E 于点 C，D．
（Ⅰ）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求|BC|2+|AD|2 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 的最大值为 m．
（Ⅰ）求 m 的值；第 6 页（共 6 页）
（Ⅱ）若 a，b，c 为正数，且 a+b+c＝m，求证： ．
2020 届吉林省长春市文科数学高考二模试题答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．C； 2．A； 3．C； 4．A； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B； 9．C； 10．D； 11．B
； 12．C；
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.
13．4； 14．1； 15． ； 16． ； ；
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17． ； 18． ； 19． ； 20． ； 21． ；
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22． ；
[选修 4-5：不等式选讲]
23． ；
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