2020届吉林省长春市高考文科数学二模试题及答案

第 1 页（共 6 页） 2020 届吉林省长春市文科数学高考二模试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．（5 分）已知集合 A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则 A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，2，3} 2．（5 分）若 z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝ ，则 a＝（　　） A．0 或 2 B．0 C．1 或 2 D．1 3．（5 分）下列与函数 y＝ 定义域和单调性都相同的函数是（　　） A．y＝2 B．y＝log2（ ）x C．y＝log2 D．y＝x 4．（5 分）已知等差数列{an}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为 0 的是（　　） A．a1 B．a3 C．a8 D．a10 5．（5 分）若单位向量 ， 夹角为 60°， ＝2 ﹣ ，则| |＝（　　） A．4 B．2 C． D．1 6．（5 分）《高中数学课程标准》（2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养， 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了 测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优）， 则下面叙述正确的是（　　）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛 网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析） A．甲的数据分析素养高于乙 B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养第 2 页（共 6 页） C．乙的六大素养中逻辑推理最差 D．乙的六大素养整体水平优于甲 7．（5 分）命题 p：存在实数 x0，对任意实数 x，使得 sin（x+x0）＝﹣sinx 恒成立：q：∀a＞ 0，f（x）＝ln 为奇函数，则下列命题是真命题的是（　　） A．p∧q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧（￢q） D．（￢p）∧q 8．（5 分）已知函数 ，则函数 y＝f（x）﹣3 的零点个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（5 分）已知 α 为锐角，且 ，则角 α＝（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）若双曲线 的一条渐近线被圆 x2+y2﹣4y＝0 截得的弦 长为 2，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝2， ，则 Sn＝ （　　） A．2n﹣1+1 B．n•2n C．3n﹣1 D．2n•3n﹣1 12．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E，F，G 分别为棱 A1D1，D1D，A1B1 的中 点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面 BGC1；④EF 和 BB1 成角 为 ．正确命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）若 x，y 满足约条条件 ，则 z＝x+y 的最大值为　 　． 14．（5 分）曲线 f（x）＝2sinx 在 处的切线与直线 ax+y﹣1＝0 垂直，则 a＝　 　．第 3 页（共 6 页） 15．（5 分）在半径为 2 的圆上有 A，B 两点，且 AB＝2，在该圆上任取一点 P，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为　 　． 16．（5 分）三棱锥 A﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD＝2 ， 三棱锥 A﹣BCD 体积的最大值为　 　；三棱锥 A﹣BCD 体积最大时，平面 ABC 截球 所得的截面圆的面积为　 　． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17．（12 分）已知在△ABC 的三个内角分别为 A，B，C，sinBsin2A＝ cosA，cosB＝ ． （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 AC＝2，求 AB 长． 18．（12 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积 极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对 他们的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长 冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 2×2 列联 表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性 别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50第 4 页（共 6 页） 合计 100 P（K2≥x） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：K2＝ ，n＝a+b+c+d． 19．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB⊥BC， AA1＝2AB＝4，M，N 分别为 CC1，BB1 的中点，G 为棱 AA1 上一点，若 A1B⊥NG． （Ⅰ）求证：A1B⊥GM； （Ⅱ）求点 A1 到平面 MNG 的距离． 20．（12 分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2， 点 P 为椭圆上异于 A，B 的点，且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 ． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，过坐标原点 O 作 OM∥AP 交椭圆于点 M，试证明 为定值，并求出该定值． 21．（12 分）已知函数 ． （Ⅰ）若 x1 为 f（x）的极值点，且 f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求 2x1+x2 的值； （Ⅱ）求证：当 m＞0 时，f（x）有唯一的零点． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），曲线 C2 的参数方程第 5 页（共 6 页） 为 （t 为参数）． （Ⅰ）求 C1 和 C2 的普通方程； （Ⅱ）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1 于点 M（M 异于 O），交曲线 C2 于点 N，求 的最小值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|． （Ⅰ）若 a＝2，解关于 x 的不等式 f（x）＜9； （Ⅱ）若当 x＞0 时，f（x）＞1 恒成立，求实数 a 的取值范围． 2020 届吉林省长春市文科数学高考二模试题答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．C； 2．A； 3．C； 4．A； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B； 9．C； 10．D； 11．B ； 12．C； 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13．4； 14．1； 15． ； 16． ； ； 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.第 6 页（共 6 页） 17．　　　； 18．　　　； 19．　　　； 20．　　　； 21．　　　； （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．　　　； [选修 4-5：不等式选讲] 23．　　　；