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2020 届广东省理科数学高考 4 月模拟试题
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设全集 U＝{x∈N*|x≤8}，集合 A＝{1，3，7}，B＝{2，3，8}，则（∁UA）∩B＝
（ ）
A．{2，3，4，5，6，8} B．{2，8}
C．{1，7} D．{3}
2．（5 分）设 α 是平面，m，l 是空间两条不重合的直线，且 l⊥α 则“m⊥l”是“m∥α”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行
动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对
预防禽流感有效果的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5 分）欧拉公式 eix＝cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它
将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论
里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”， 表示的复数位于复平面内（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第 2 页（共 6 页）
5．（5 分）平面向量 与 的夹角为 60°，且| |＝3， 为单位向量，则| +2 |＝（ ）
A． B． C．19 D．2
6．（5 分）已知圆 C：x2+y2﹣10y+21＝0 与双曲线 的渐近线相
切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）函数 f（x）＝ 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5 分）已知 x，y 满足 且目标函数 z＝2x+y 的最大值为 7，最小值为 1，
则 ＝（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
9．（5 分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗
活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，
其中的 4 个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一
点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）第 3 页（共 6 页）
A． B． C． D．
10．（5 分）已知函数 f（x）＝sinxcosx+ cos2x，且函数 y＝f（ωx）在[﹣ ， ]上单
调递增，则正数 ω 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
11．（5 分）已知点 M（﹣1，0），N（1，0），动点 P（x，y）满足：|PM|•|PN|＝
，直线 y＝kx 与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，则直线 PA，PB 的斜率之积 kPA•kPB＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．不确定
12．（5 分）已知正四面体 A﹣BCD 的棱长为 6 ，M，N 分别是 AC，AD 上的点，过 MN
作平面 α，使得 AB，CD 均与 α 平行，且 AB，CD 到 α 的距离分别为 2，4，则正四面体
A﹣BCD 的外接球被 α 所截得的圆的面积为（ ）
A．11π B．18π C．26π D．27π
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）已知一组鞋码与身高的数据（x 表示鞋码，y（cm）表示身高），其中 m+n＝360
．
x 40 41 42 43 44
y 172 175 m n 183
若用此数据计算得到回归直线 ＝2.25x+a，则由此估计当鞋码为 40 时身高约为 cm
．
14．（5 分）已知 m＝3 sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m 的展开式中 ab2cm﹣3 的系数为
．
15．（5 分）△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 2sin2A＝3cosA，a＝
，b＝ ，则 B＝ ．第 4 页（共 6 页）
16．（5 分）若不等式 x（e2x﹣a）≥x+lnx+1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知递增等差数列{an}满足 a1+a5＝10，a2•a4＝21，数列{bn}满足 2log2bn＝an
﹣1，n∈N*．
（Ⅰ）求{bn}的前 n 项和 Sn；
（Ⅱ）若 Tn＝nb1+（n﹣1）b2+……+bn，求数列{Tn}的通项公式．
18．（12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝ ，AB＝BC＝1，AD＝2
，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将△ABE 沿 BE 折起到图 2 中△A1BE 的位置
，使得 A1C＝1，得到四棱锥 A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：平面 A1BE⊥平面 BCDE；
（Ⅱ）若直线 A1D 与平面 A1BC 所成角为 θ．求 sinθ．
19．（12 分）已知动圆 M 与定圆 C1：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，又与定直线 l1：x＝﹣1 相
切，
（Ⅰ）求动圆的圆心 M 的轨迹 C2 的方程．
（Ⅱ）过点 C1（2，0）的直线 l 交曲线 C2 于 A，B 两点，直线 l2：x＝2 分别交直线 OA，
OB 于点 E 和点 F．求证：以 EF 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点．
20．（12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直
方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如
图（乙）所示．第 5 页（共 6 页）
（Ⅰ）以此频率作为概率，试估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率；
（Ⅱ）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1
级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元．现此企业有如下三
种应对方案：（如表）．试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方
案？说明理由．
方案 防控等级 费用（单位：万元）
方案一 无措施 0
方案二 防控 1 级灾害 40
方案三 防控 2 级灾害 100
21．（12 分）已知函数 f（x）＝ex（sinx﹣cosx）﹣ax（ ）有两个不同的极值点
x1，x2．
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）设 g（x）＝f'（x），求证：0＜g′（ ）＜a．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐
标系与参数方程]
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），直
线 l 与曲线 C：（y﹣2）2﹣x2＝1 交于 A，B 两点
（1）求|AB|的长；
（ 2 ） 在 以 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 点 P 的 极 坐 标 为
，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|﹣|1﹣x|的最大值为 M，第 6 页（共 6 页）
（Ⅰ）求 M 的值；
（Ⅱ）已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c＝M，证明： • • ≥8．
2020 届广东省理科数学高考 4 月模拟试题答案
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．B； 2．B； 3．D； 4．A； 5．B； 6．C； 7．A； 8．D； 9．A； 10．D； 11．A
； 12．C；
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．173.5； 14．﹣6480； 15． ； 16．（﹣∞，1]；
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． ； 18． ； 19． ； 20． ； 21． ；
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐
标系与参数方程]
22． ；
[选修 4-5：不等式选讲]
23． ；
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