2020届北京市西城区高考数学二模试题及答案

第 1 页（共 6 页） 2020 届北京市西城区数学高考二模试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1．（4 分）设全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁UA）∪B＝（　　） A．（﹣∞，2） B．[2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪[2，+∞） 2．（4 分）设复数 z＝1+i，则 2＝（　　） A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i 3．（4 分）焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（　　） A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x 4．（4 分）在锐角△ABC 中，若 a＝2，b＝3，A＝ ，则 cosB＝（　　） A． B． C． D． 5．（4 分）函数 f（x）＝x﹣ 是（　　） A．奇函数，且值域为（0，+∞） B．奇函数，且值域为 R C．偶函数，且值域为（0，+∞） D．偶函数，且值域为 R 6．（4 分）圆 x2+y2+4x﹣2y+1＝0 截 x 轴所得弦的长度等于（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 7．（4 分）设 a，b，c 为非零实数，且 a＞b＞c，则（　　） A．a﹣b＞b﹣c B． ＜ ＜ C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对 8．（4 分）设向量 ， 满足| |＝| |＝1， • ＝ ，则| +x |（x∈R）的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 9．（4 分）设{an}为等比数列，则“对于任意的 m∈N*，am+2＞am”是“{an}为递增数列” 的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件第 2 页（共 6 页） C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（4 分）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、 开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑 夺目．图 1 的▱ABCD 由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体 形状的香囊．那么在图 2 这个六面体中，棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为（　　） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）在（1+5x）6 的展开式中，x 的系数为　 　． 12．（5 分）在等差数列{an}中，若 a1+a2＝16，a5＝1，则 a1＝　 　；使得数列{an}前 n 项的和 Sn 取到最大值的 n＝　 　． 13．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　 　． 14．（5 分）能说明“若 m（n+2）≠0，则方程 + ＝1 表示的曲线为椭圆或双曲线” 是错误的一组 m，n 的值是　 　． 15．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+2）＝2f（x），且当 x∈（0，2]时， f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论： ①f（﹣1）＝﹣ ；第 3 页（共 6 页） ②当 a∈（ ， ]时，方程 f（x）＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数 f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点 b∈Z． 其中，所有正确结论的序号是　 　． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16．（14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥底面 ABC，AC⊥BC，D 是 A1C1 的 中点，且 AC＝BC＝AA1＝2． （Ⅰ）求证：BC1∥平面 AB1D； （Ⅱ）求直线 BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值． 17．（14 分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）同时满足下列 四个条件中的三个： ①最小正周期为 π； ②最大值为 2； ③f（0）＝﹣1； ④f（﹣ ）＝0． （Ⅰ）给出函数 f（x）的解析式，并说明理由； （Ⅱ）求函数 f（x）的单调递增区间． 18．（14 分）随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件 格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A，B，C，D， E，F．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频 会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这 6 款软件的下载量 W（单位：人次）与使用 量 U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：第 4 页（共 6 页） 定义软件的使用率 t＝ ，当 t≥0.9 时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调 查得到的使用率 t 作为实际中该款软件的使用率． （Ⅰ）在这 6 款软件中任取 1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率； （Ⅱ）从这 6 款软件中随机抽取 4 款，记其中“有效下载软件”的数量为 X，求 X 的分 布列与数学期望； （Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为 x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软 件中大约有 x%的软件为“有效下载软件”？说明理由． 19．（15 分）设函数 f（x）＝axlnx，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切 线经过点（3，2）． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求函数 f（x）的极值； （Ⅲ）证明：f（x）＞ ﹣ ． 20．（14 分）已知椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）经过点 C（0，1），离心率为 ．O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上），直 线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且 • ＝4，求证：C，B，Q 三点共线． 21．（14 分）如图，表 1 是一个由 40×20 个非负实数组成的 40 行 20 列的数表，其中 am， n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第 m 行第 n 列的数．将表 1 中每一 列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表 2 （即 bi，j≥bi+1，j，其中 i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）． 表 1第 5 页（共 6 页） a1，1 a1，2 … a1，20 a2，1 a2，2 … a2，20 … … … … a40，1 a40，2 … a40，20 表 2 b1，1 b1，2 … b1，20 b2，1 b2，2 … b2，20 … … … … b40，1 b40，2 … b40，20 （Ⅰ）判断是否存在表 1，使得表 2 中的 bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等 于 100﹣i﹣j？等于 i+2﹣j 呢？（结论不需要证明） （Ⅱ）如果 b40，20＝1，且对于任意的 i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有 bi，j﹣ bi+1，j≥1 成立，对于任意的 m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有 bm，n﹣bm，n+1≥ 2 成立，证明：b1，1≥78； （Ⅲ）若 ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数 k，使得任给 i ≥k，都有 bi，1+bi，2+…+bi，20≤19 成立． 2020 届北京市西城区数学高考二模试题答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1．D； 2．A； 3．D； 4．C； 5．B； 6．B； 7．C； 8．B； 9．C； 10．B； 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．30； 12．9；5； 13．4+4 ； 14．答案不唯一，m＝4，n＝2； 15．①②； 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 6 页（共 6 页） . 16．　　　； 17．　　　； 18．　　　； 19．　　　； 20．　　　； 21．　　　；