2020届北京市海淀区高考数学二模试题及答案

第 1 页（共 5 页） 2020 届北京市海淀区数学高考二模试题 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（4 分）若全集 U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁UA D．∁UA⊆B 2．（4 分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝|x﹣1| C．y＝cosx D．y＝lnx 3．（4 分）若抛物线 y2＝12x 的焦点为 F，点 P 在此抛物线上且横坐标为 3，则|PF|等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（4 分）已知三条不同的直线 l，m，n 和两个不同的平面 α，β，下列四个命题中正确的为（　　） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 l∥m，m⊂α，则 l∥α C．若 l∥α，l∥β，则 α∥β D．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β 5．（4 分）在△ABC 中，若 a＝7，b＝8，cosB＝ ，则∠A 的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（4 分）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（ x）＝（　　） A． B． C．cos2x D．﹣cos2x 7．（4 分）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥的体积为（　　） A． B． C．2 D．4 8．（4 分）对于非零向量 ， ，“（ + ）• ＝2 2”是“ ＝ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件第 2 页（共 5 页） 9．（4 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动．若 D1O⊥OP，则△D1C1P 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．（4 分）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有 四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会 时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就 座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．（5 分）若复数（2﹣i）（a+i）为纯虚数，则实数 a＝　 　． 12．（5 分）已知双曲线 E 的一条渐近线方程为 y＝x，且焦距大于 4，则双曲线 E 的标准方程可以为　 　． （写出一个即可） 13．（5 分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an，n∈N*．若其前 k 项和为 126，则 k＝　 　． 14．（5 分）已知点 A（2，0），B（1，2），C（2，2）， ，O 为坐标原点，则 ＝　 　 ， 与 夹角的取值范围是　 　． 15．（5 分）已知函数 ，给出下列三个结论： ①当 a＝﹣2 时，函数 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）； ②若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+∞）；第 3 页（共 5 页） ③若 a＜1 且 a≠0，则∃b∈R，使得函数 y＝f（x）﹣b 恰有 3 个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3＝﹣1． 其中，所有正确结论的序号是　 　． 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（14 分）已知{an}是公差为 d 的无穷等差数列，其前 n 项和为 Sn．又___，且 S5＝40，是否存在大于 1 的正整数 k，使得 Sk＝S1？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 从①a1＝4，②d＝﹣2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 17．（14 分）在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝ AD ＝1，E 为线段 AD 的中点，PE⊥底面 ABCD，点 F 是棱 PC 的中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G． （Ⅰ）求证：BE∥FG； （Ⅱ）若 PC 与 AB 所成的角为 ，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值． 18．（14 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地 区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为 2000 万，从 1 岁到 101 岁的居民年龄 结构的频率分布直方图如图 1 所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所示． （Ⅰ）估计该地区年龄在 71～80 岁且已签约家庭医生的居民人数；第 4 页（共 5 页） （Ⅱ）若以图 2 中年龄在 71～80 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则 从该地区年龄在 71～80 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率； （Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%．为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以 上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释． 19．（15 分）已知椭圆 w： （a＞b＞0）过 A（0，1），B（0，﹣1）两点，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 w 的方程； （Ⅱ）过点 A 的直线 l 与椭圆 w 的另一个交点为 C，直线 l 交直线 y＝2 于点 M，记直线 BC，BM 的斜 率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值． 20．（14 分）已知函数 f（x）＝ex（sinx+cosx）． （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）求证：曲线 y＝f（x）在区间（0， ）上有且只有一条斜率为 2 的切线． 21．（14 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．对任意的点 P（x，y），定义|OP|＝|x|+|y|．任取点 A（ x1，y1），B（x2，y2），记 A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2 成立，则称 点 A，B 相关． （Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）． （Ⅱ）给定 n∈N*，n≥3，点集 Ωn＝{（x，y）|﹣n≤x≤n，﹣n≤y≤n，x，y∈Z}． （i）求集合 Ωn 中与点 A（1，1）相关的点的个数； （ii）若 S⊆Ωn，且对于任意的 A，B∈S，点 A，B 相关，求 S 中元素个数的最大值． 2020 届北京市海淀区数学高考二模试题答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．D； 2．A； 3．B； 4．D； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B； 9．C； 10．C； 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．第 5 页（共 5 页） 11．﹣ ； 12． ﹣ ＝1； 13．6； 14．1；[0， ]； 15．②③； 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．　　　； 17．　　　； 18．　　　； 19．　　　； 20．　　　； 21．　　　；