2020届北京市丰台区高考数学二模试题及答案

第 1 页（共 6 页） 2020 届北京市丰台区数学高考二模试题 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1．（4 分）集合 A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（4 分）函数 f（x）＝ 的定义域为（　　） A．（0，2） B．[0，2] C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0]∪[2，+∞） 3．（4 分）下列函数中，最小正周期为 π 的是（　　） A． B． C． D． 4．（4 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2﹣n，则 a2+a3＝（　　） A．3 B．6 C．7 D．8 5．（4 分）设 ， 为非零向量，则“ ⊥ ”是“| + |＝| ﹣ |”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（4 分）已知抛物线 M：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线 N： ﹣x2＝1 的一个焦点重 合，则 p＝（　　） A． B．2 C．2 D．4 7．（4 分）已知函数 f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则 f（x）（　　） A．是奇函数，且在定义域上是增函数 B．是奇函数，且在定义域上是减函数 C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数 D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数 8．（4 分）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角 三角形，则该棱锥的体积为（　　）第 2 页（共 6 页） A． B． C． D． 9．（4 分）在△ABC 中，AC＝3， ，AB＝2，则 AB 边上的高等于（　　） A． B． C． D． 10．（4 分）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后 角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a，b，c（ a＞b＞c，且 a，b，c∈N*）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分 为 16 分，乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确 的是（　　） A．每场比赛的第一名得分 a 为 4 B．甲至少有一场比赛获得第二名 C．乙在四场比赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一场比赛获得第三名 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．（5 分）已知复数 z＝2﹣i，则|z|＝　 　． 12．（5 分）已知直线 x+y+1＝0 的倾斜角为 α，则 cosα＝　 　． 13．（5 分）双曲线 M： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为　 　 ． 14．（5 分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年 方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即： 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的 规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 …第 3 页（共 6 页） 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支 纪年 甲子 年 乙丑 年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 … 2049 年是新中国成立 100 周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干 支纪年法，2049 年是己巳年，则 2059 年是　 　年；使用干支纪年法可以得到　 　 种不同的干支纪年． 15．（5 分）已知集合 P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合 P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出 下列结论： ①“水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1）； ②在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3； ③阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则 ； ④白色“水滴”图形的面积是 ． 其中正确的有　 　． 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（14 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，MA∥PB，MA⊥BC，AB⊥PB，MA＝1，AB＝ PB＝2． （Ⅰ）求证：PB⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值．第 4 页（共 6 页） 17．（14 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，S5＝20． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若等比数列{bn}满足 a4+b4＝9，且公比为 q，从①q＝2；② ；③q＝﹣1 这三 个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{an﹣bn}的前 n 项和 Tn． 18．（14 分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展 了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况， 在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学校，10 所学校的参与人数如下： （Ⅰ）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查．求选出的 2 所学校参与越野滑轮 人数都超过 40 人的概率； （Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练 选中参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进 行技术指导．规定：这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”．在 指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作达到“优”的概率为 0.1．在指导后的考核中， 甲同学总考核成绩为“优”．能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了 变化？请说明理由． 19．（15 分）已知函数 ． （Ⅰ）求函数 f（x）的极值； （Ⅱ）求证：当 x∈（0，+∞）时， ； （Ⅲ）当 x＞0 时，若曲线 y＝f（x）在曲线 y＝ax2+1 的上方，求实数 a 的取值范围．第 5 页（共 6 页） 20．（14 分）已知椭圆 经过 A（1，0），B（0，b）两点．O 为 坐标原点，且△AOB 的面积为 ．过点 P（0，1）且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N，且直线 AM，AN 分别与 y 轴交于点 S，T． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （Ⅲ）设 ，求 λ+μ 的取值范围． 21．（14 分）已知无穷集合 A，B，且 A⊆N，B⊆N，记 A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，定义：满 足 N*⊆（A+B）时，则称集合 A，B 互为“完美加法补集”． （Ⅰ）已知集合 A＝{a|a＝2m+1，m∈N}，B＝{b|b＝2n，n∈N}．判断 2019 和 2020 是否 属于集合 A+B，并说明理由； （Ⅱ）设集合 A＝{x|x＝ε0+ε2×22+ε4×24+…+ε2i×22i+…+ε2s×22s，ε2i＝0，1；i＝ 0，1，…，s，s∈N}，B＝{x|x＝ε1×21+ε3×23+…+ε2i﹣1×22i﹣1+…+ε2s﹣1×22s﹣1，ε 2i﹣1＝0，1；i＝1，…，s，s∈N*}． （ⅰ）求证：集合 A，B 互为“完美加法补集”； （ⅱ）记 A（n）和 B（n）分别表示集合 A，B 中不大于 n（n∈N*）的元素个数，写出满 足 A（n）B（n）＝n+1 的元素 n 的集合．（只需写出结果，不需要证明） 2020 届北京市丰台区数学高考二模试题答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1．D； 2．C； 3．D； 4．B； 5．C； 6．D； 7．B； 8．A； 9．B； 10．C； 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11． ； 12．﹣ ； 13．y＝± x； 14．己卯；60； 15．②③④；第 6 页（共 6 页） 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．　　　； 17．　　　； 18．　　　； 19．　　　； 20．　　　； 21．　　　；