2020届安徽示范高中皖北协作区第22届高考理科数学4月模拟试题及答案

第 1 页（共 6 页） 2020 届安徽省示范高中皖北协作区第 22 届高考理科数学 4 月 模拟试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知复数 z 满足 z＝ ，则在复平面内 z 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5 分）已知集合 ，则 A∩B＝（　　） A．{x|x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＜1 或 x＞3} 3．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S5＝5，a6＝10，则 a8＝（　　） A．15 B．16 C．19 D．20 4．（5 分）已知 ，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 5．（5 分）函数 y＝f（x）在（﹣π，π）上的图象如图所示，则其解析式可能为（　　） A．f（x）＝xsinx B．f（x）＝xcosx C． D． 6．（5 分）如图是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时绘制的“赵爽弦图”，该图是由 四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国用数形结 合的方法对勾股定理的最早证明．记直角三角形中较小的锐角为 θ，且 ．若 在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（　　）第 2 页（共 6 页） A． B． C． D． 7．（5 分）已知 （其中 n∈N*，且 n≥2），且 a0，a1 ，a2 成等差数列，则 n＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．5． 8．（5 分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） A．4 B． C． D． 9．（5 分）已知向量 满足 ，且对任意 t∈R 都有 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D．π 10．（5 分）已知函数 f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若 f（x）在（﹣π，π）上有且只有 3 个零点，则 ω 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，点 O 为 坐标原点，则下列命题中正确的个数为（　　） ①△AOB 面积的最小值为 4； ②以 AF 为直径的圆与 x 轴相切； ③记 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1+k2＝k3； ④过焦点 F 作 y 轴的垂线与直线 OA，OB 分别交于点 M，N，则以 MN 为直径的圆恒过 定点． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（5 分）在三梭锥 A﹣BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，AC＝ ，且二面角 B﹣AC ﹣D 为 120°，则三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积为（　　） A．4π B．5π C．6π D．7π第 3 页（共 6 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（5 分）已知双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 60°， 则 C 的离心率为　 　． 14．（5 分）已知数列{an}中， ，记 Sn 为{an}的前 n 项和， 则 S2n＝　 　． 15．（5 分）某学生社会实践小组调查发现，某商品的供应量与商品的销售价格有如下关系 ：当商品供应的增加量不超过原供应量时，商品的销售价格的降低量与商品供应的增加 量的算术平方根成正比．假设商品的原供应量为 1 个单位，当商品供应量增加一倍时， 销售价格降为原来的一半．若商品的销售价格不高于原来的 80%，则供应量至少增加为 原来的　 　倍． 16．（5 分）已知函数 若方程 f（x）+f（﹣x）＝0 有且只有五个根， 分别为 x1，x2，x3，x4，x5（设 x1＜x2＜x3＜x4＜x5），则下列命题正确的是　 　（填 写所有正确命题的序号）． ①x1+x2+x3+x4+x5＝0； ②存在 k 使得 x1，x2，x3，x4，x5 成等差数列； ③当 k＜0 时， ； ④当 k＞0 时，x5＝tanx5． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17．（12 分）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且满足 ． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若 ，求 b+2c 的取值范围． 18．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，M 为 CD 上的一点，以 AM 为折痕 把△AMD 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 AMP⊥平面 ABCD．连接 PB，PC， 点 N 为 PB 的中点，且 CN∥平面 AMP．第 4 页（共 6 页） （Ⅰ）求线段 CM 的长； （Ⅱ）求平面 AMP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值． 19．（12 分）为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情 向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频 道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对其数学网 课授课方式的满意度，从经济不发达的 A 城市和经济发达的 B 城市分别随机调查了 20 个 用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图： 若评分不低于 80 分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对 此教育机构授课方式“不认可”． （Ⅰ）请根据此样本完成下列 2×2 列联表，并据此列联表分析，能否有 95%的把握认为 城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？ 认可 不认可 合计 A 城市 　 　 　 　 　 　 B 城市 　 　 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 　 　 （Ⅱ）以该样本中 A，B 城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为 A， B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率．现从 A 城市和 B 城市的所有用户中第 5 页（共 6 页） 分别随机抽取 2 个用户，用 X 表示这 4 个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户 个数，求 x 的分布列． 参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d． 参考数据： P（K2≥K） 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 20．（12 分）已知 为椭圆 上的一点，F 为椭圆的 右焦点，且 PF 垂直于 x 轴，不过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 OP 上 （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）当△ABP 的面积最大时，求直线 l 的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝ax2﹣2lnx（a∈R）． （Ⅰ）当 a＝1 时，证明：f（x）≥x﹣lnx （Ⅱ）是否存在不相等的正实数 m，n 满足 m＝n2，且 f（m）＝f（n）？若存在，求 a 的 取值范围；若不存在，请说明理由． 选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。[选修 4-4；坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （λ 为参数，且 λ≠﹣1）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρ2+12ρcosθ+32＝0． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 P 的极坐标为 ，Q 为曲线 C2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到 曲线 C1 的距离的最大值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知函数 f（x）＝|5﹣x|﹣|x+m|（m＞0）的最大值为 8． （Ⅰ）求 m 的值；第 6 页（共 6 页） （Ⅱ）若实数 a 满足 f（a﹣1）+f（a）＞0，求 a 的取值范围． 2020 届安徽省示范高中皖北协作区第 22 届高考理科数学 4 月 模拟试题答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．A； 2．C； 3．B； 4．D； 5．D； 6．C； 7．A； 8．B； 9．D； 10．A； 11．C ； 12．D； 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．2； 14．3（2n﹣1）； 15．1.16； 16．①④； 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17．　　　； 18．　　　； 19．5；15；20；10；10；20；15；25；40； 20．　　　； 21 ．　　　； 选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。[选修 4-4；坐标系与参数方程]（10 分） 22．　　　； [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．　　　；