2020年中考数学一模试卷（解析版）

2020 年中考数学一模试卷 一、选择题 1．计算 9×（﹣5）的结果等于（  ） A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14 2．cos45°的值等于（  ） A． B． C． D． 3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 4．据北京市通信管理局披露，截至 3 月 30 日，北京市已建设了 5G 基站数量超过 17000 个．将 17000 用科学记数法表示为（  ） A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17 ×106 5．如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（  ） A． B． C． D． 6．估计 在（  ） A．2～3 之间 B．3～4 之间 C．4～5 之间 D．5～6 之间 7．计算 ﹣1 的结果为（  ） A． B．x C．1 D． 8．直线 y＝2x 与直线 y＝﹣3x+15 的交点为（  ） A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3） 9．若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝ 的图象上，则 y1， y2，y3 的大小关系是（  ） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 10．如图，平行四边形 ABCO 中的顶点 O，A，C 的坐标分别为（0，0），（2，3），（ m，0），则顶点 B 的坐标为（  ） A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3） 11．如图，△ABC 中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC 沿直线 BC 折叠，得到点 A 的对称点 A'，连接 BA'，过点 A 作 AH⊥BA'于 H，AH 与 BC 交于点 E．下列结论一定 正确的是（  ） A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H 12．已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a，b 为常数，a≠0，且 b＝a+3，其对称轴在 y 轴右侧． 有下列结论： ①﹣3＜a＜0； ②方程 ax2+bx+3＝2 有两个不相等的实数根； ③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）得分 13．计算：a5÷a3＝   ． 14．计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于   ． 15．九年一班共 35 名同学，其中女生有 17 人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰 好抽中女同学的概率为   ． 16．若一次函数 y＝kx+b（b 为常数）的图象过点（3，4），且与 y＝x 的图象平行，这 个一次函数的解析式为   ． 17．如图，已知正方形 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线 EF 与直线 GH 分别交 AD，BC，AB，CD 于点 E，F，G，H．若 EF⊥GH，OC 与 FH 相交于点 M， 当 CF＝4，AG＝2 时，则 OM 的长为   ． 18．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，C 均在格点上． （Ⅰ）△ABC 的面积为   ； （Ⅱ）若有一个边长为 6 的正方形，且满足点 A 为该正方形的一个顶点，且点 B，点 C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方 形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）   ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．解不等式组 ． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得   ； （Ⅱ）解不等式②，得   ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为   ． 20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）． 绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）图①中 a 的值为   ； （Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定 10 人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为 1.65m 的运动员能否进入复赛． 21．已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，∠ABC＝52°，BC 交⊙O 于点 D，E 是 AB 上一点，延长 DE 交⊙O 于点 F． （Ⅰ）如图①，连接 BF，求∠C 和∠DFB 的大小； （Ⅱ）如图②，当 DB＝DE 时，求∠OFD 的大小． 22．小明上学途中要经过 A，B 两地，由于 A，B 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 AC ，CB，如图，在△ABC 中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求 AC，CB 的长．（结 果保留小数点后一位） 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 取 1.414． 23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为 15 万元/辆，经销一段 时间后发现：当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每周多售出 1 辆． （1）当售价为 22 万元/辆时，求平均每周的销售利润． （2）若该店计划平均每周的销售利润是 90 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售 价． 24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（ ，0），点 B（0，1），点 E 是边 AB 中 点，把△ABO 绕点 A 顺时针旋转，得△ADC，点 O，B 旋转后的对应点分别为 D，C． 记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，当点 D 恰好在 AB 上时，求点 D 的坐标； （Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形 OECD 是平行四边形； （Ⅲ）连接 OC，在旋转的过程中，求△OEC 面积的最大值（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线 C：y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关 于直线 x＝1 对称，点 A 的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线 C 的解析式和顶点坐标； （Ⅱ）将抛物线 C 绕点 O 顺时针旋转 180°得抛物线 C′，且有点 P（m，t）既在抛物线 C 上，也在抛物线 C′上，求 m 的值； （Ⅲ）当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值． 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．计算 9×（﹣5）的结果等于（  ） A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 解：原式＝﹣9×5＝﹣45， 故选：B． 2．cos45°的值等于（  ） A． B． C． D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 解：cos45°＝ ． 故选：D． 3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形． 解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不合题意； 故选：C． 4．据北京市通信管理局披露，截至 3 月 30 日，北京市已建设了 5G 基站数量超过 17000 个．将 17000 用科学记数法表示为（  ） A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17 ×106 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，据此判断即可． 解：将 17000 用科学记数法可表示为 1.7×104． 故选：A． 5．如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（  ） A． B． C． D． 【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图． 解：从正面看，共有 3 列，每列的小正方形的个数从左到右依次为 1、1、2． 故选：B． 6．估计 在（  ） A．2～3 之间 B．3～4 之间 C．4～5 之间 D．5～6 之间 【分析】确定出被开方数 23 的范围，即可估算出原数的范围． 解：∵16＜23＜25， ∴4＜ ＜5， 故选：C． 7．计算 ﹣1 的结果为（  ） A． B．x C．1 D． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 解：原式＝ ＝ ， 故选：A． 8．直线 y＝2x 与直线 y＝﹣3x+15 的交点为（  ） A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3） 【分析】联立两函数解析式解关于 x、y 的二元一次方程组即可得解． 解：解析式联立 ， 解得 ， 所以，交点坐标为（3，6）． 故选：A． 9．若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝ 的图象上，则 y1， y2，y3 的大小关系是（  ） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3 的值，比较后即可得出结 论． 解：∵点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴y1＝ ＝﹣6，y2＝ ＝3，y3＝ ＝2， 又∵﹣6＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 10．如图，平行四边形 ABCO 中的顶点 O，A，C 的坐标分别为（0，0），（2，3），（ m，0），则顶点 B 的坐标为（  ） A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3） 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 B 的纵坐标与点 A 的纵坐 标相等，且 BA＝OC 即可得到结论． 解：如图，在▱OABC 中，O（0，0），C（m，0）， ∴OC＝BA＝m， 又∵BA∥CO， ∴点 B 的纵坐标与点 A 的纵坐标相等， ∴B（2+m，3）， 故选：D． 11．如图，△ABC 中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC 沿直线 BC 折叠，得到点 A 的对称点 A'，连接 BA'，过点 A 作 AH⊥BA'于 H，AH 与 BC 交于点 E．下列结论一定 正确的是（  ） A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H 【分析】由折叠的性质可得 AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90° ，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得 BE＝AA'＝2AC． 解：∵将△ABC 沿直线 BC 折叠， ∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°， ∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC， ∵AH⊥A'B， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°， ∴∠A'BC＝∠HAA'， 又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°， ∴△BHE≌△AHA'（AAS）， ∴BE＝AA'， ∴BE＝2AC， 故选：B． 12．已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a，b 为常数，a≠0，且 b＝a+3，其对称轴在 y 轴右侧． 有下列结论： ①﹣3＜a＜0； ②方程 ax2+bx+3＝2 有两个不相等的实数根； ③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为 x＝﹣ ＝﹣ ，分 a＞0、a＜0 分别 求解即可； ②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解； ③当 x＝﹣1 时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0） ，当 x＝0 时，y＝3，即可求解． 解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为 x＝﹣ ＝﹣ ， 当 a＞0 时，x＝﹣ ＞0，解得：a＜﹣3，无解； 当 a＜0 时，x＝﹣ ＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0； 故①正确，符合题意； ②ax2+bx+3＝2，即 ax2+bx+1＝0， △＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0， 故方程 ax2+bx+3＝2 有两个不相等的实数根，正确，符合题意； ③抛物线 y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3， 当 x＝﹣1 时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0）， 当 x＝0 时，y＝3， 故③正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）得分 13．计算：a5÷a3＝ a2 ． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2． 故填 a2． 14．计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于 2 ． 【分析】利用平方差公式计算． 解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为 2． 15．九年一班共 35 名同学，其中女生有 17 人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰 好抽中女同学的概率为   ． 【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率． 解：∵九年一班共 35 名同学，其中女生有 17 人， ∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝ ， 故答案为： ． 16．若一次函数 y＝kx+b（b 为常数）的图象过点（3，4），且与 y＝x 的图象平行，这 个一次函数的解析式为 y＝x+1 ． 【分析】根据两平行直线的解析式的 k 值相等求出 k，然后把经过的点的坐标代入解析 式计算求出 b 值，即可得解． 解：∵一次函数 y＝kx+b 的图象平行于 y＝x， ∴k＝1， ∴这个一次函数的解析式为 y＝x+b． 把点（3，4）代入得，4＝3+b， 解得 b＝1， 所以这个一次函数的解析式为 y＝x+1， 故答案为 y＝x+1． 17．如图，已知正方形 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线 EF 与直线 GH 分别交 AD，BC，AB，CD 于点 E，F，G，H．若 EF⊥GH，OC 与 FH 相交于点 M， 当 CF＝4，AG＝2 时，则 OM 的长为   ． 【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形 EGFH 为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得 AC、GF 的长，从而得出 OC 、OH 的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性 质得出比例式，计算即可求得 OM 的长． 解：∵四边形 ABCD 是正方形，AC，BD 为对角线， ∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°， ∴AC⊥BD， 又∵EF⊥GH， ∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°， ∴∠AOG＝∠BOF， 在△AOG 和△BOF 中， ， ∴△AOG≌△BOF（ASA）． ∴BF＝AG＝2，OG＝OF， 同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG． ∴OF＝OH＝OE＝OG， 又∵EF⊥GH， 四边形 EGFH 为正方形， ∵BF＝AG＝2，FC＝4， ∴BC＝6，即正方形 ABCD 的边长为 6， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝ ＝6 ， ∴OC＝3 ， ∵AG＝2， ∴BG＝6﹣2＝4， 在 Rt△BFG 中，由勾股定理得：GF＝ ＝2 ， ∴小正方形的边长为 2 ． ∵GH 为小正方形的对角线， ∴GH＝ ×2 ＝2 ， ∴OH＝ ， 在△OHM 和△OCH 中， ∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°， ∴△OHM∽△OCH， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴OM＝ ． 故答案为： ． 18．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，C 均在格点上． （Ⅰ）△ABC 的面积为 15 ； （Ⅱ）若有一个边长为 6 的正方形，且满足点 A 为该正方形的一个顶点，且点 B，点 C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方 形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点 O，L，连接 OB 交于直线 AL 于 D，同样地，取格点 M，T，连接 CM，AT，交于点 F；作射线 DB 和 FC ，交于点 E，则四边形 ADEF 即为所求 ． 【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可． （Ⅱ）取格点 O，L，连接 OB 交于直线 AL 于 D，同样地，取格点 M，T，连接 CM， AT，交于点 F；作射线 DB 和 FC，交于点 E，则四边形 ADEF 即为所求． 解：（Ⅰ）S△ABC＝ ×5×6＝15， 故答案为 15． （Ⅱ）如图，正方形 ADEF 即为所求． 故答案为：取格点 O，L，连接 OB 交于直线 AL 于 D，同样地，取格点 M，T，连接 CM ，AT，交于点 F；作射线 DB 和 FC，交于点 E，则四边形 ADEF 即为所求． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．解不等式组 ． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x≤﹣3 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x＜1 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 x≤﹣3 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：（Ⅰ）解不等式①，得 x≤﹣3； （Ⅱ）解不等式②，得 x＜1； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ， （Ⅳ）原不等式组的解集为 x≤﹣3． 20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）． 绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）图①中 a 的值为 25 ； （Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定 10 人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为 1.65m 的运动员能否进入复赛． 【分析】（Ⅰ）用整体 1 减去其它所占的百分比，即可求出 a 的值； （Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可； （Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛． 解：（1）根据题意得： 1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%； 则 a 的值是 25； 故答案为：25； （Ⅱ）观察条形统计图， ∵ ＝1.61， ∴这组数据的平均数是 1.61． ∵在这组数据中，1.65 出现了 6 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为 1.65， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 1.60， 有 ∴这组数据的中位数为 1.60， （Ⅲ）能． ∵共有 20 个人，中位数是第 10、11 个数的平均数， ∴根据中位数可以判断出能否进入前 10 名； ∵1.65m＞1.60m， ∴能进入复赛． 21．已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，∠ABC＝52°，BC 交⊙O 于点 D，E 是 AB 上一点，延长 DE 交⊙O 于点 F． （Ⅰ）如图①，连接 BF，求∠C 和∠DFB 的大小； （Ⅱ）如图②，当 DB＝DE 时，求∠OFD 的大小． 【分析】（Ⅰ）如图①，连接 AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C 的度 数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB 的度数； （Ⅱ）如图②，连接 OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52 °，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案． 解：（Ⅰ）如图①，连接 AD． ∵AC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°． ∵∠ABC＝52°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵ ＝ ， ∴∠DFB＝∠DAB＝38°． （Ⅱ）如图②，连接 OD． 在△BDE 中，DB＝DE，∠B＝52°， ∴∠BED＝∠B＝52°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°． 又在△BOD 中，OB＝OD， ∴∠BDO＝∠B＝52°， ∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°． ∵OD＝OF， ∴∠F＝∠ODF＝24°． 22．小明上学途中要经过 A，B 两地，由于 A，B 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 AC ，CB，如图，在△ABC 中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求 AC，CB 的长．（结 果保留小数点后一位） 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 取 1.414． 【分析】根据锐角三角函数，可用 CD 表示 AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可 得关于 CD 的方程，根据解方程，可得 CD 的长，根据 AC＝ CD，CB＝ ，可得 答案． 解：过点 C 作 CD⊥AB 垂足为 D ， 在 Rt△ACD 中，tanA＝tan45°＝ ＝1，CD＝AD， sinA＝sin45°＝ ＝ ，AC＝ CD． 在 Rt△BCD 中，tanB＝tan37°＝ ≈0.75，BD＝ ； sinB＝sin37°＝ ≈0.60，CB＝ ． ∵AD+BD＝AB＝63， ∴CD+ ＝63， 解得 CD≈27， AC＝ CD≈1.414×27＝38.178≈38.2， CB＝ ≈ ＝45.0， 答：AC 的长约为 38.2m，CB 的长约等于 45.0m． 23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为 15 万元/辆，经销一段 时间后发现：当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每周多售出 1 辆． （1）当售价为 22 万元/辆时，求平均每周的销售利润． （2）若该店计划平均每周的销售利润是 90 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售 价． 【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每 降低 0.5 万元，平均每周多售出 1 辆，即可求出当售价为 22 万元/辆时，平均每周的销 售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价 x 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90 万元，列方程求出 x 的值，进而得到每辆汽车的售价． 解：（1）由题意，可得当售价为 22 万元/辆时，平均每周的销售量是： ×1+8＝ 14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价 x 万元，根据题意得： （25﹣x﹣15）（8+2x）＝90， 解得 x1＝1，x2＝5， 当 x＝1 时，销售数量为 8+2×1＝10（辆）； 当 x＝5 时，销售数量为 8+2×5＝18（辆）， 为了尽快减少库存，则 x＝5，此时每辆汽车的售价为 25﹣5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为 20 万元． 24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（ ，0），点 B（0，1），点 E 是边 AB 中 点，把△ABO 绕点 A 顺时针旋转，得△ADC，点 O，B 旋转后的对应点分别为 D，C． 记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，当点 D 恰好在 AB 上时，求点 D 的坐标； （Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形 OECD 是平行四边形； （Ⅲ）连接 OC，在旋转的过程中，求△OEC 面积的最大值（直接写出结果即可）． 【分析】（Ⅰ）由题意得 OA＝ ，OB＝1，求出∠BAO＝30°． 得出 AB＝2OB＝2， 由旋转性质得，DA＝OA＝ ，过 D 作 DM⊥OA 于 M，求出 DM＝ ，AM＝ DM ＝ ，进而得出答案； （Ⅱ）延长 OE 交 AC 于 F，证△BOE 是等边三角形，得出 OE＝OB，由旋转性质得 DC ＝OB，得出 OE＝DC．证出 OE∥DC． 即可得出结论； （III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点 C 在以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆上 ，过点 A 作 AG⊥OE 交 OE 的延长线于 G，当 G、A、C 三点共线时，△OEC 面积最大， 证△OBE 是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出 AG＝ ，得出 CG＝ +2，进而得 出答案． 解：（Ⅰ）∵A（ ，0），点 B（0，1）， ∴OA＝ ，OB＝1， 在△AOB 中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝ ＝ ， ∴∠BAO＝30°． ∴AB＝2OB＝2， 由旋转性质得，DA＝OA＝ ， 过 D 作 DM⊥OA 于 M，如图①所示： 则在 Rt△DAM 中，DM＝ AD＝ ，AM＝ DM＝ ， ∴OM＝AO﹣OM＝ ﹣ ， ∴D（ ﹣ ， ）． （Ⅱ）延长 OE 交 AC 于 F，如图②所示： 在 Rt△AOB 中，点 E 为 AB 的中点，∠BAO＝30°， ∴OE＝BE＝AE． 又∠ABO＝60°， ∴△BOE 是等边三角形， ∴OE＝OB， ∴∠BOE＝60°， ∴∠EOA＝30°， 由旋转性质，DC＝OB， ∴OE＝DC． ∵α＝60°， ∴∠OAD＝60°， 由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°， ∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°， ∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DCA＝∠OFA， ∴OE∥DC． ∴四边形 OECD 是平行四边形． （III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点 C 在以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆上 ，如图③所示： 过点 A 作 AG⊥OE 交 OE 的延长线于 G， 当 G、A、C 三点共线时，△OEC 面积最大， ∵点 E 是边 AB 中点，∠AOB＝90°，AB＝2， ∴OE＝BE＝AE＝ AB＝1＝OB， ∴△OBE 是等边三角形， ∴∠OEB＝60°， ∴∠AEG＝∠OEB＝60°， 在 Rt△AEG 中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝ ， ∴AG＝AE×sin∠AEG＝1× ＝ ， ∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝ +2， ∴△OEC 面积的最大值＝ OE×CG＝ ×1×（ +2）＝ +1． 25．已知抛物线 C：y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关 于直线 x＝1 对称，点 A 的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线 C 的解析式和顶点坐标； （Ⅱ）将抛物线 C 绕点 O 顺时针旋转 180°得抛物线 C′，且有点 P（m，t）既在抛物线 C 上，也在抛物线 C′上，求 m 的值； （Ⅲ）当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值． 【分析】（Ⅰ）点 A（﹣1，0）与点 B 关于直线 x＝1 对称，则点 B 的坐标为（3，0）， 则 y＝（x+1）（x﹣3），即可求解； （Ⅱ）点 P（m，t）在抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上，有 t＝m2﹣2m﹣3，由点 P 也在抛物 线 C′上，有 t＝﹣m2﹣2m+3，则 m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解； （III）分 a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1 三种情况，分别求解即可． 解：（Ⅰ）∵点 A（﹣1，0）与点 B 关于直线 x＝1 对称， ∴点 B 的坐标为（3，0）， 则 y＝（x+1）（x﹣3）， 即抛物线 C 的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4； ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （Ⅱ）由抛物线 C 解析式知 B（3，0），点 A 的坐标为（﹣1，0）， 所以点 A 点 B 关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线 C′上， 且抛物线 C′开口向下，形状与由抛物线 C 相同， 于是可得抛物线 C′的解析式为 y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3； 由点 P（m，t）在抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上，有 t＝m2﹣2m﹣3， 由点 P 也在抛物线 C′上，有 t＝﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3， 解得：m＝ ； （III）①当 a+1＜1 时，即 a＜0， 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得 a＝1﹣ （正值舍去）； ②当 a＜1≤a+1 时，即 0≤a＜1， 则函数的最小值为 1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； ③当 a≥1 时， 则函数的最小值为 a2﹣2a﹣3＝2a，解得 a＝2+ （负值舍去）； 综上，a 的值为 1﹣ 或 2+ ．