广东省佛山市三水中学2019-2020高一数学下学期第二次统考试卷（Word版含答案）

三水中学高一级 2019-2020 学年度下学期第二次统考 数学科试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人： 审题人： 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，1~10 题只有一项是符合题意的；11~12 题有多项是符合题意的，请把你认为正确的答案填写在答 题框内。） 1．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知数列 2、 6、 10、 14、3 2……那么7 2是这个数列的第（ ）项 A．23 B．24 C．19 D．25 3．满足 的 的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶 统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ） A．85， B．86， C．85，3 D．86，3 5．设 为等差数列 的前 n 项和， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．在 中，内角 的对边是 ，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 7．设 中，三个角 对应的三边分别是 ，且 成等比数列，则角 的 取值范围是（ ） 23 7 6 0x x − ≥+ 23, 3  −   2( , 3] ,3  −∞ − ∪ +∞  2, [3, )3  −∞ − ∪ +∞   2 ,33  −   ,3A π= 2 3,BC = 4AC = ABC∆ 5 3 5 3 nS { }na 3 6 1 3 S S = 6 9 S S 1 2 1 3 2 3 1 4 ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin 2sin C A = 2 2 3 2b a ac− = cos B 1 2 1 3 1 4 1 5 ABC∆ , ,A B C , ,a b c , ,a b c B A． B． C． D． 8．在∆ABC中，角 的对边分别为 ，向量푚 = (푎,cosB)，푛 = (cosA, - 푏)， 若푚 ⊥ 푛，则∆ABC一定是（ ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 9．已知数列 为等差数列，首项 ，若 ，则使得 的 的最大值为 （ ） A．2007 B．2008 C．2009 D．2010 10．已知∆ABC是边长为 1 的等边三角形，若对任意实数 ，不等式|kAB + 푡BC| > 1 恒成立， 则实数 的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 11．已知 是边长为 2 的等边三角形， ， 分别是 、 上的两点，且AE = EB，AD=2DC， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ） A．AB ∙ CE = - 1 B．OE + OC = 0 C．|OA + OB + OC| = 3 2 D．ED在BC方向上的投影为 12．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐 波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足： ， ， .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的 边长为 1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇 形面积为 ，则下列结论正确的是（ ） (0, ]6 π [ , )6 π π (0, ]3 π [ , )3 π π A B C， ， a b c， ， { }na 1 0a > 1004 1005 1a a < − 0nS > n k t 3 3, ,3 3    −∞ − ∪ +∞          2 3 2 3, ,3 3    −∞ − ∪ +∞          2 3 ,3  +∞    3 ,3  +∞    ABC∆ D E AC AB BD CE O 7 6 { }na 1 1a = 2 1a = ( )* 1 2 3,n n na a a n n N− −= + ≥ ∈ n nS nc A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．某学校高一年级举行选课培训活动，共有 1024 名学生、家长、老师参加，其中家长 256 人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取 64 人，进行某问卷调查，则抽到的家长 有______人 14．已知向量 、 满足 ， ，且 ( )，则 _____． 15．数列 中， ，其前 项和为 ，且对任意正整数 都有 ， 则Sn = _______． 16．已知 且 ,则 a+b 的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17、18 题满分 10 分，第 22 题满分 14 分，其余小题满分 12 分，共 70.0 分） 17．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)若AB→ ＝a，BC→ ＝b，求△ABC 的面积． 18．已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求 的前 项和 . 19．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 软件层出不穷，现从某市使用 和 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计， 得到频率分布直方图如下： (1)使用 订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家有多少个？ (2)试估计该市使用 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 和 两款订餐软件中选择一款订餐， 你会选择哪款？ 2n ≥ 2 2 1n n n n a a S S =− 2 1 1 1n n n nS a a a+ + += + ⋅ 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = − 1 3 5 2 1 2 1n na a a a a−+ + + + = − ( )1 2 14 n n n nc c a aπ− − +− = ⋅ a b 1=a (2,1)=b 0λ + =a b Rλ ∈ λ = { }na 1 1a = n nS , ,a b R+∈ 1 1 5a b a b + + + = { }na 1 1a = 2a 1a 3 1a − { }na { }nb ( )*2n nb n a n N= + ∈ { }nb n nS APP A B A A A B (第 19 题图) (第 21 题图) 20．在 中，已知 ，其中角 所对的边分别为 ．求 （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 的值． 21．如图，某自行车手从 O 点出发，沿折线 O﹣A﹣B﹣O 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南 偏东 45°且与点 O 相距 20 千米．该车手于上午 8 点整到达点 A，8 点 20 分骑至点 C， 其中点 C 位于点 O 南偏东（45°﹣α）（其中 sinα= ，0°＜α＜90°）且与点 O 相距 5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． （1）求该自行车手的骑行速度； （2）若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内 有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由． 22．已知数列 的前 项和 ，函数 对任意的 都有 ，数列 满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若数列 满足 ， 是数列 的前 项和，是否存在正实数 ，使不等 式 对于一切的 恒成立？若存在请求出 的取值范围；若不 存在请说明理由． 三水中学高一级 2019-2020 学年度下学期第二次统考 ABC∆ ( )3 sin 2 cos 0a C c A− + = 、 、A B C a b c、 、 A 6a = ABC∆ 3 2 sin sinB C+ 2 1 26 13 { }na n ( )2 *2 4n nS n N+= − ∈ ( )f x x R∈ ( ) ( )1 1f x f x+ − = { }nb ( ) ( )1 2 10 1n nb f f f f fn n n −     = + + +…+ +           { }na { }nb { }nc n n nc a b= ⋅ nT { }nc n k ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > *n N∈ k 数学科试题答案 一、 选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D B D A C C D B B BCD ABD 二、 填空题 13. 16 14. 5 15. 2 n + 1 16. 三、解答题 17．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61…………..1 分 又|a|＝4，|b|＝3， 所以 64－4a·b－27＝61，所以 a·b＝－6，…………..2 分 所以 cos θ＝ a·b |a||b|＝ －6 4 × 3＝－1 2.…………..4 分 又 0≤θ≤π，所以 θ＝2π 3 .…………..6 分 (2)因为AB→ 与BC→ 的夹角 θ＝2π 3 ， 所以∠ABC＝π－2π 3 ＝ π 3 .…………..8 分 又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3， 所以 S△ABC＝1 2×4×3× 3 2 ＝3 3.…………..10 分 18．解:（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ， ， 由于 是 和 的等差中项，即 ，…………..2 分 即 ，解得 .…………..3 分 因此，数列 的通项公式为 ；.…………..5 分 （2） ， . .…………..10 分 [1,4] { }na q 0q ≠ 2 1a a q q= = 2 2 3 1a a q q= = 2a 1a 3 1a − 2 1 32 1a a a= + − 22q q= 2q = { }na 1 1 1 1 1 2 2n n n na a q − − −= = × = 12 2 2n n nb n a n −= + = + ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 1 2 3 2 2 4 2 6 2 2 2n n nS b b b b n −∴ = + + + + = + + + + + + + +  ( ) ( ) ( )2 1 22 2 1 22 4 6 2 1 2 2 2 2 12 1 2 n n nn nn n n− + −= + + + + + + + + + = + = + + −−  19.解:（1）使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家共有 个。…………..3 分 （2）依题意可得，使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55，…………..4 分 设中位数为 x，则（x-30） 0.012=0.1，解得 x= 。…………..7 分 （3）使用款 订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 .…………..9 分 使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ………11 分 所以选 款订餐软件．…………..12 分 20.解：（1） 由正弦定理，得 ，…………..2 分 ∵ ， ∴ . 即 ，而 …………..4 分 ∴ ， 则 …………..6 分 （2）由 ，得 ，…………..8 分 由 及余弦定理得 ， 即 ，…………..10 分 所以 ．…………..12 分 21、 解: （1）由题意知：OA=2 ，OC ， ∠AOC=α，sinα= ． 由于 0°＜α＜90°， 所以 ．…………..1 分 在△AOC 中，由余弦定理得 A 4010)034.0006.0(100 =×+× A × 3 138 A 15 0.06 25 0.34 350.12 45 0.04 55 0.4 65 0.04 40× + × + + × + × + × = B 15 0.04 25 0.2 35 0.56 45 0.14 55 0.04 65 0.02 35 40× + × + × + × + × + × = < B ( )3sin sin sin 2 cos 0A C C A− + = sin 0C ≠ 3sin cos 2A A− = sin 16A π − =   ( )0,A π∈ 6 2A π π− = 2 3A π= 1 3sinA2 2S bc= = 2bc = a 6= ( ) ( )2 22 2 2 26 2 cosA cb c bc b bc b c bc= + − = + + = + − 2 2b c+ = ( )sinsinB sin 1AC b ca + = + = 0 2 5 13= 1 26 21 5 26cos 1 ( ) 2626 α = − = ，所以 ，…………..3 分 所以该自行车手的行驶速度为 （千米/小时）．…………..4 分 （2）如图， 设直线 OE 与 AB 相交于点 M． 在△AOC 中，由余弦定理得 cos∠OAC …………..6 分 从而 sin∠OAC ． …………..7 分 在△AOM 中，由正弦定理得 ， 所以 ，…………..9 分 由于 OE=27.5＞40=OM， 所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 ME=OE﹣OM=7.5．…………..10 分 过点 E 作 EH AB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离． 在 Rt△EHM 中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC） ． 所以该自行车手会进入降雨区．…………..12 分 22.解：（1） 2 2 2 2 2 5 262 cos (20 2) (5 13) 2 20 2 5 13 26AC OC OA OC OA AOC= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × 125= 5 5AC = 5 5 15 51 3 = 2 2 2 2 2 2(20 2) (5 5) (5 13) 3 10 2 102 20 2 5 5 OA AC OC OC AC + − + −= = =⋅ × × 23 10 101 ( )10 10 = − = sin sin OA OM OMA OAM =∠ ∠ 1020 2sin 10 20sin(45 ) 2 3 10 10( )2 10 10 OA OAMOM OAM ×⋅ ∠= = =°− ∠ ⋅ − 5 3 57.5 3.55 2 = × = < 1 2 1 11, 2 4 4n a S += = = − = ( ) ( )2 1 1 12, 2 4 2 4 2n n n n n nn a S S + + + −≥ = − = − − − = 时满足上式，故 …………..3 分 ∵ =1∴ ∵     ① ∴    ② ∴①+②，得 . …………..6 分 （2）∵ ，∴ ∴     ① ， ② ①－②得 即 …………..10 分 要使得不等式 恒成立， 恒成立 对于一切的 恒成立， 即 ，令 ，则 当且仅当 时等号成立，故 所以 为所求. …………..14 分 1n = ( )1 *2n na n N+= ∈ ( ) ( )1f x f x+ − 1 1 1nf fn n −   + =       ( ) 1 20nb f f fn n    = + + +        ( )1 1nf fn − + +   ( ) 1 21n n nb f f fn n − −   = + + +        ( ) ( )1 0f f+ + 12 1 2n n nb n b += + ∴ = n n nc a b= ⋅ ( )1 2n nc n= + ⋅ ( )1 2 32 2 3 2 4 2 1 2n nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ + ⋅ ， ( )2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 2 1 2n n nT n n += ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ + + ⋅ ( )2 3 14 2 2 2 1 2n n nT n +− = + + +…+ − + ⋅ 12n nT n += ⋅ ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > ( )2 9 26 0nn n T− + > ( )2 4 9 26 n n nck n n T ∴ > − + *n N∈ ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 236 361 11 1 36 1 11 2 1 111 1 ng n n n n nn n += = ≤ = + − + + + − + + ⋅ −+ + 5n = ( )max 2g n = 2k >