2019—2020 学年度下学期第二次月考
高二数学(文)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分)
1．已知全集 ．集合 ， ．则 =
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
3．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
4．若 ，则下列不等式中一定成立的是
A . B. C. D.
5．“ ”是“函数 为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
6．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
7．下列命题错误的是
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题
C．在 中，若“ ”，则“ ”
D．若等比数列 公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件
8．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是
A．2 B． C．1 D．
1
2
loga m= 1
2
m
b =
1
2c m=
a b c< < a c b< < b a c< < b c a< <
( )f x (1, (1))f 2 2 0x y+ − = (1) (1)f f ′+ =
3
2 1 1
2 0
sin sin 0α β> >
sin 2 sin 2α β> sin 2 sin 2α β< cos2 cos2α β> cos2 cos2α β<
2=a )21lg()( 2 axxxf −+=
cos2 2
2sin( )4
θ
πθ
= −
+ 2log (sin cos )θ θ−
1
2
− 1
2
2− 2
2x = 2 4 4 0x x− + =
1
4m ≥ − 2 0x x m+ − =
ABC△ A B> sin sinA B>
{ }na q 1q > { }na
3 7
{ }4,3,2,1,0,1−=U { }3,1,1−=A { }4,2=B ( ) ( )BCAC UU { }4,3,2,1,0,1− { }4,3,2,1,1− { }0 φ
1m >9 ．已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时， ．则使不等式
成立的 取值范围是
A． B．
C． D．
10．函数 在 的图形大致是
A ． B ． C ．
D．
11．已知三棱锥 中， ， ，
， ，且平面 平面 ，则该三棱锥的外
接球的表面积为
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，对于函数 有下述四个结论：
①函数 在其定义域上为增函数；
②对于任意的 ，都有 成立；
③ 有且仅有两个零点；
④若 在点 处的切线也是 的切线，则 必是 零点．
其中所有正确的结论序号是
A. ①②③ B．①② C．②③④ D．②③
二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)
( )f x 0x ≥ 1( ) ( ) 22
xf x = +
9( 1) 4f x − < x
( , 1) (3, )−∞ − +∞ ( 1,3)−
(0,2) ( ,0) (2, )−∞ +∞
1( ) ( ) cos1
x
x
ef x xe
+= ⋅− [ 5,5]−
P ABC− 2π
3APB∠ = 3PA PB= =
5AC = 4BC = PAB ⊥ ABC
16π 28π
24π 32π
1( ) 1
x xf x e x
+= − − ( )f x
( )f x
0a < ( ) 1f a > −
( )f x
xy e= 0
0 0( , )( 1)xx e x ≠ lny x= 0x ( )f x13．已知函数 在 处的导数为-2，则 ________.
14 ． 已 知 函 数 ， 若 存 在 ， R ， 且 ， 使 得
，则实数 a 的取值范围为 ．
15．在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点，
则平面 截该正方体所得截面面积为 ．
16．已知 ，则 .
三、解答题(共 70 分)
17．(10 分)已知 .
（1）化简 ；
（2）已知 ，求 的值．
18.(12 分)已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 时，有 .
（1）求 在 上的解析式；
（2）若 ，求实数 的值.
19.(12 分)已知 且 ,命题 函数 在 上为减函数，命题 关于
的不等式 有实数解.
（1）如果 为真且 为假,求实数 的取值范围;
（2）命题 函数 的值域包含区间 ，若命题 为真
命题，求实数 的取值范围.
( )y f x= 0x x= 0 0
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x∆ →
+ ∆ − =∆
2 , 2( )
2 5, 2
x ax xf x
ax x
− + ≤= − > 1x 2x ∈ 1 2x x≠
1 2( ) ( )f x f x=
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD
1A EC
sin( ) 3sin( )2( ) 112cos( ) cos(5 )2
f
π α π α
α π α π α
+ + − −
=
− − −
( )f α
tan 3α = ( )f α
( )f x ( )1,1− ( 1,0)x∈ − 2( )f x x x= −
( )f x ( )0,1
3( ) 4f x = x
0a > 1a ≠ :P ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ :Q
x ( )2 2 3 1 0x a x+ − + ≤
P Q∨ P Q∧ a
:R ( )2 2 3 1y lg x a x = + − + [ ]1,3− R
a
βγα 2sin3)](2sin[ =+ =+−
++
)tan(
)tan(
γβα
γβα20. (12 分)设函数 .
（1）讨论函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上的最小值是 4，求 的值.
21．(12 分)如图 1，在平行四边形 中， ， ， ， 为
边 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，得到图 2 几何体
．
（1）证明： ；
（2）当 平面 时，求三棱锥 的体积．
22．(12 分)设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，当 ，且 时， ，求 的取值范
围．
( ) 3( )xf x e ax a R= − + ∈
( )f x
( )f x [1,2] a
ABCD 4AD = 2 2AB = 45DAB∠ = ° E
AD BE ABE△ A P
P EBCD−
PD BE⊥
BC ⊥ PEB C PBD−
2( ) ( ) xf x x m e= +
( )f x
( ) 2 1 ( )xg x e nx f x= − − − 1m = 0x ≥ ( ) 0g x ≤ n高二第二次月考数学(文)试卷参考答案
1．【答案】 C
【解析】∵
2．【答案】A
【解析】当 时，由对应函数的单调性可知，
， 且 ， ，
排序得 ，故选 A．
3．【答案】D
【解析】切点 在切线 上，∴ ，得 ，
又切线斜率 ，∴ ，故选 D．
4.D
5.A
6．C
【 解 析 】 C ， ∴
．
于是，
7．【答案】D
【解析】由 ，∴A 正确；
命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为命题“若方程 有实
根，则 ”，
∵方程 有实根 ，∴B 正确；
在 中，若 (根据正弦定理)，∴C 正确，
故选 D．
1m >
1 1
2 2
log log 1 0a m= < =
11 1
2 2
1
2
m
b =
1
2 1c m= >
a b c< <
(1, (1))f 2 2 0x y+ − = 1 2 (1) 2 0f+ − = 1(1) 2f =
1(1) 2k f ′= = − (1) (1) 0f f ′+ =
2 2cos2 cos sin
2sin( ) (sin cos )4 2
θ θ θ
πθ θ θ
−=
+ +
22(cos sin ) 2
θ θ= − = −
1sin cos 2
θ θ− =
2 2
1log (sin cos ) log 22
θ θ− = = −
2 24 4 0 ( 2) 2 0 2x x x x x− + = ⇔ − ⇔ − = ⇔ =
1
4m ≥ − 2 0x x m+ − = 2 0x x m+ − =
1
4m ≥ −
2 0x x m+ − = 11 4 0 4Δ m m⇒ = + ≥ ⇒ ≥ −
ABC△ sin sinA B a b A B> ⇒ > ⇒ >
}{ }{ }{ CBCACBCAC UUUU 故选,0)()(4,2,3,1,0,1)(,4,2,0)( =∴−== 8. D
9．【答案】A
【解析】∵ ，由 ，得 ，
又∵ 为偶函数，∴ ，
易知 在 上为单调递减，∴ ，
∴ 或 ，即 或 ，故选 A．
10．【答案】A
【解析】易知 ，即函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 D；
在 轴右侧第一个零点为 ，
当 时， ， ， ，∴ ，排除 B；
当 时， ， ， ，且 ，∴ ．
故选 A．
(当 时， ．
，排除 C)
11．【答案】B
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
又 ，∴ 为直角三角形， ，
又平面 平面 且交于 ，
∴ 平面 ，∴几何体的外接球的球心到平面 的距离为 ，
设 的外接圆半径为 ，则 ，∴ ，
设几何体的外接球半径为 ，则 ，
所求外接球的表面积 ，故选 B．
9(2) 4f = 9( 1) 4f x − < ( 1) (2)f x f− <
( )f x (| 1|) (2)f x f− <
( )f x (0, )+∞ | 1| 2x − >
1 2x − > 1 2x − < − 3x > 1x < −
( ) ( )f x f x− = − ( )f x
( )f x y π
2x =
π0 2x< < 1 0xe+ > 1 0xe− < cos 0x > ( ) 0f x <
0x +→ 1 2xe+ → 1 0xe− → cos 1x → 1 0xe− < y → −∞
π0 2x< < 1 2cos( ) ( ) cos cos1 1
x
x x
e xf x x xe e
+= ⋅ = −− −
2 2
2( cos sin sin ) 2( sin sin )( ) sin sin 0(1 ) (1 )
x x x
x x
e x e x x e x xf x x xe e
+ − −′ = + > + >− −
PAB△ 3AB =
2 2 2AC AB BC= + ABC△ CB AB⊥
PAB ⊥ ABC AB
CB ⊥ PAB PAB 1 22 BC =
PAB△ r 32 2 32πsin 3
r = = 3r =
R 2 2 22 ( 3) 7R = + =
24π 28πS R= =12．【答案】C
【解析】依题意 定义域为 ，且 ，
∴ 在区间 和 上是增函数，①错；
∵当 时，则 ，因此 成立，②对；
∵ 在区间 上单调递增，且 ， ，
∴ ，即 在区间 上有且仅有 个零点．
∵ 在区间 上单调递增，且 ， ，
∴ ，(也可以利用当 时， ， )
得 在区间 上有且仅有 个零点．因此， 有且仅有两个零点，③对；
∵ 在点 处的切线方程 为 ．
又 也是 的切线，设其切点为 ，则 的斜率 ，
从而直线 的斜率 ，∴ ，即切点为 ，
又点 在 上，∴ ，
即 必是 零点，④对．
13．-2
14．【答案】
15．【答案】
【解析】如图，在正方体 中，
∵平面 平面 ，
∴平面 与平面 的交线必过 且平行于 ，
( )f x ( ,1) (1, )−∞ +∞ 2
2( ) ( 1)
xf x e x
′ = + −
( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
0a < 2 01
ae a
− >−
1 2( ) 1 11 1
a aaf a e ea a
+= − = − + − > −− −
( )f x ( ,1)−∞ 2
2
1 1 1( 2) 03 3f e e
−− = − = − < (0) 2 0f = >
( 2) (0) 0f f− ⋅ < ( )f x ( ,1)−∞ 1
( )f x (1, )+∞ 5 5
24 45( ) 9 3 3 04f e= − < − < 2(2) 3 0f e= − >
5( ) (2) 04f f⋅ < 1x +→ ( )f x → −∞ 2(2) 3 0f e= − >
( )f x (1, )+∞ 1 ( )f x
xy e= 0
0 0( , )( 1)xx e x ≠ l 0 0
0( )x xy e e x x− = −
l lny x= 1 1( ,ln )A x x l
1
1k x
=
l 0
1
1 xk ex
= = 0
1
xx e−= 0
0( , )xA e x− −
A l 0 0 0 0 0
0 0 0
0
1( ) 0( 1)1
x x x x xx e e e x e xx
− +− − = − ⇒ − = ≠−
0x ( )f x
2 6
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1A D DA∥ 1 1B C CB
1A EC 1 1B C CB C 1A E
)4,(−∞故平面 经过 的中点 ，连接 ，得截面 ，
易知截面 是边长为 的菱形，
其对角线 ， ，
截面面积 ．
16． 2
【解析】
17．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）
18.【解析】(1)设 ,则 , ∴ ,由函数是奇函
数 得 , 即 在 上 函 数 的 解 析 式 为 :
;
(2)当 时,由 解得 或 (舍);
当 时,由 得无解,
所以当 时,实数 .
19.解析：（1） 或 ，
1A EC 1B B F 1A F 1A ECF
1A ECF 5
2 2EF BD= = 1 2 3AC =
1
1 1 2 2 2 3 2 62 2S AC EF= × = × × =
cos 3sin( ) 2sin cosf
α αα α α
+= − + 2−
( )
( )
cos 3sin cos 3sin( ) 3 2sin cos2cos cos2
f
α π α α αα α απ α π α
− + += = − + − − −
1 3tan 10( ) 22tan 1 5f
αα α
+= = = −− + −
( )0,1x∈ ( )1,0x− ∈ − ( ) ( ) ( )2 2f x x x x x− = − − − = +
( ) ( ) 2f x f x x x= − − = − − ( )0,1 ( )f x
( ) ( )2 , 0,1f x x x x= − − ∈
( )1,0x∈ − 2 3
4x x− = 1
2x = − 3
2x =
( )0,1x∈ 2 3
4x x− − =
( ) 3
4f x = 1
2x = −
1 12 a< < 5
2a ≥
2tan
tan),sin(3)sin(
2
1
212121 =∴−=++−=++= θ
θθθθθγβαθγβαθ ，则有，令（2）
（1）因为函数 在 上为减函数，所以 真： .
因为关于 的不等式 有实数解，
真： ，解得 或 .
因为 为真且 为假，所以 ， 一真一假.
当 真 假时， .
当 假 真时， . 综上 或 .
（2）设 ，
因为函数 的值域包含区间 ，
等价于 ，即 ，
，解得 或 .
故:
20.【解析】（I） . 当 时， ， 在 上单调递增；无极值
当 时， 解得 ，由 解得 .函数 在 上单
调递减，函数 在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值
综上所述：当 时，函数 在 上无极值；
当 时， 的极小值为 ，无极大值
（II）由（I）知，当 时，函数 在 上单调递增，
( ) logaf x x= ( )0, ∞+ P 0 1a< <
x ( )2 2 3 1 0x a x+ − + ≤
Q 2(2 3) 4 0a∆ = − − ≥ 5
2a ≥ 10 2a< ≤
P Q∨ P Q∧ P Q
P Q
0 1 1 11 5 21 12 2
a
a
a a
< a '( ) 0>f x ln>x a '( ) 0a e
0>a ln=x a ( )f x R
ln 1a ≤ o a e< ≤ ( )f x [1,2]
( )f x (1) 3 4f e a= − + = 1a e= −
ln 2a ≥ 2a e≥ ( )f x [1,2]
( )f x 2(2) 2 3 4f e a= − + =
2
21
2
ea e
−= <
1 ln 2a< < 2e a e< < ( )f x [1,ln ]a ( )f x [ln ,2]a
( )f x ln(ln ) ln 3 4af a e a a= − + = ln 1 0a a a− − =
( ) ln 1h a a a a= − − 2e a e< < '( ) ln 0h a a= − < ( )h a 2( , )e e
( ) 1h e = − ( )h a 2( , )e e 2e a e< < ln 1 0a a a− − =
a 1e −
8
3
ABE△ 2AE = 2 2AB = 45EAB∠ = °
2 2 2 2 cos45EB AB AE AB AE= + − ⋅ ⋅ ° 28 4 2 2 2 2 42
= + − × × × =
2 2 2AB AE EB= +
ABCD EB AD⊥
BE ABE△
P EBCD− EB PE⊥ EB ED⊥
ED PE E= BE ⊥ PED
BE ⊂ PEB PD BE⊥
BC ⊥ PEB PE ⊂ PEB BC PE⊥
EB PE⊥ PE ⊥ BCE
PE ⊥ BCD PE P CBD−
45DCB DAB∠ = ∠ = ° 4BC AD= = 2 2CD AB= = 2PE AE= =∴ ，
，
因此，三棱锥 的体积为 ．
22．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）依题得， 定义域为 ， ， ，
令 ， ，
①若 ，即 ，则 恒成立，
从而 恒成立，当且仅当 ， 时， ，
所以 在 上单调递增；
②若 ，即 ，令 ，得 或 ．
当 时， ；
当 时， ，
综合上述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增．
（2）依题意可知： ，
令 ，可得 ，
，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
1 1 2sin 45 4 2 2 42 2 2CBDS BC CD= × × × ° = × × × =△
1 1 84 23 3 3C PBD P CBD BCDV V S PE− −= = × = × × =△
C PBD− 8
3
[1, )+∞
( )f x R 2( ) ( 2 ) xf x x x m e′ = + + 0xe >
2( ) 2h x x x m= + + 4 4Δ m= −
0Δ ≤ 1m ≥ ( ) 0h x ≥
( ) 0f x′ ≥ 1m = 1x = − ( ) 0f x′ =
( )f x R
0Δ > 1m < ( ) 0h x = 1 1x m= − − − 1 1x m= − + −
( 1 1 , 1 1 )x m m∈ − − − − + − ( ) 0f x′ <
( , 1 1 ) ( 1 1 , )x m m∈ −∞ − − − − + − +∞ ( ) 0f x′ >
1m ≥ ( )f x R
1m < ( )f x ( 1 1 , 1 1 )m m− − − − + −
( )f x ( , 1 1 ),( 1 1 , )m m−∞ − − − − + − +∞
2( ) 2 1 ( ) 1x x xg x e nx f x e x e nx= − − − = − − −
0x = (0) 0g =
2( ) (1 2 ) ( )xg x x x e n x′ = − − − ∈R
2( ) (1 2 ) xh x x x e n= − − − 2( ) ( 4 1) xh x x x e′ = − + +
0x ≥ ( ) 0h x′ < ( )g x′故 ，
要使 在 时恒成立，需要 在 上单调递减，
所以需要 ，
即 ，此时 ，故 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
( ) (0) 1g x g n′ ′≤ = −
( ) 0g x ≤ 0x ≥ ( )g x [0, )+∞
( ) 1 0g x n′ ≤ − ≤
1n ≥ ( ) (0) 0g x g≤ = 1n ≥
n [1, )+∞
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