2018 级高二第二学期期中考试试题
数学（理科）
说明：1.本试题分 I，II 卷，第 I 卷的答案按照 A,B 卷的要求涂到答题卡上，第 I 不交；2.
全卷共三大题 22 小题，满分 150 分，120 分钟完卷.
第 I 卷(共 60 分)
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 ，则 ( )
. . . .
2.已知 ，则 =( )
. 11 . 9 C. 10 . 12
3.点 M 的直角坐标是 ，则点 M 的一个极坐标为( )
. . . .
4.极坐标方程 表示的曲线是( )
. 直线 . 圆 . 椭圆 . 抛物线
5.若 ，那么下列不等式成立的是（ ）
. . . .
6.若点 在以点 F 为焦点的抛物线 上，则 等于( ).
. 2 . 3 . 4 . 5
7.若不等式 的解集为 ，则实数 等于( )
. 8 . 2 . .
8.从装有除颜色外没有区别的 3 个黄球,3 个红球,3 个蓝球的袋中摸 3 个球,设摸出的 3 个球的
颜色种数为随机变量 X,则 P(X=2)=( )
. . . .
9.若 ,则 a2+a4+…+a12=( )
.256 .364 .296 .513
{ } { }2 2 3 0 , 2A x x x B x x= + − < = ≤ A B∩ =
A ( 2,1)− B [ )2,1− C ( 3,1)− D [ ]2,2−
1 2 3 *1023( )n
n n n nC C C C n N+ + + + = ∈ n
A B D
(1, 3)−
A (2, )3
π
B (2, )3
π− C 2(2, )3
π
D (2,2 ),3k k Z
ππ + ∈
sin cosρ θ θ= +
A B C D
0, 1 0a b> − < <
A 2a ab ab< < B 2ab a ab< < C 2ab ab a< < D 2ab a ab< <
(3, )P m
24 (
4
x t t
y t
=
=
为参数） PF
A B C D
2 6ax + < ( 1,2)− a
A B C 8− D 4−
A 1
28
B 9
28
C 1
14
D 9
14
2 6 1 2 3 12
0 1 2 3 12(1 )x x a a x a x a x a x+ + = + + + + + +
A B C D10.曲线 的焦点坐标为（ ）
. .
. .
11.将三颗骰子各掷一次，设事件 = “三个点数都不相同”， = “至少出现一个 6 点”，
则概率 等于（ ）
. . . .
12.已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大
值为（ ）
. 6 . 5 36 . 25
第 II 卷 （非选择题共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.曲线 的离心率为
14.在极坐标系中，点 在圆 上，点 P 的坐标为 ，则
的最小值为______．
15.若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
16.已知 之间的一组数据如下表：
2 3 4 5 6
3 4 6 8 9
有如下拟合直线：① ；② ；③ ；④ ，根据最小二乘
法的思想，拟合程度最好的直线是 （填序号）
三、解答题（共 70 分，写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本题 8 分)已知 均为正数，求证： ；
18. (本题 12 分)新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病
毒对我国公民的感染程度，选了某小区的 100 位居民调查结果统计如下：
感染 不感染 合计
年 龄 不 大 于 50
岁 80
sin (2cos
x
y
α αα
=
=
为参数）
A (0, 3) (0, 3)−或 B ( 3,0) ( 3,0)−或
C (0, 5) (0, 5)−或 D ( 5,0) ( 5,0)−或
A B
( )P A B
A 5
18 B 1
2 C 60
91 D 91
216
( , )P x y 2 sin (cos
x
y
α αα
= +
=
为参数） 2 2( 5) ( 4)x y− + +
A B C D
2( )
t t
t t
x e e t
y e e
−
−
= − = +
（ 为参数）
A 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (1,0) AP
x R∈ 1 1x x m− + + ≥ m
,x y
x
y
1+= xy 12 −= xy 5
2
5
8 −= xy xy 2
3=
,a b 3 3 2 2a b a b ab+ ≥ +年龄大于 50 岁 10
合计 70 100
(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；
(2)能否在犯错误的概率不超过 5％的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？
(3)已知在被调查的年龄大于 50 岁的感染者中有 5 名女性，其中 2 位是女教师，现从这 5 名
女性中随机抽取 3 人，求至多有 1 位教师的概率．
附： ， ，
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
19.(本题 12 分)如图， 地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，
所用时间在各时间段内的的频率如下表：
现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用 表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求 的
分布列和数学期望.
20.(本题 12 分）将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 ，得曲线
C．
(1)求出 C 的参数方程;
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 是曲线 C 上的一个动点，求点
到直线 距离的最小值．
21.(本题 13 分)已知直线 ,坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 ．
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 的直角坐标为 ，直线 l 与曲线 C 的交点为 ，求 的值．
2( )P K k>
k
A
X X
2 2 4x y+ = 1
2
P
P : 2 3 2 0l x y+ − =
35 2:
13 2
x t
l t
y t
= +
= +
（ 为参数）
2cosρ θ=
M (5, 3) ,A B AB22.( 本题 13 分) 已知函数 ，不等式 的解集为
．
(1)求 的值；
(2)若存在正实数 ，且 ，使不等式 成立，求
实数 x 的取值范围．
2018 级高二第二学期期中考试参考答案
数学（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 卷 C B C C C
二、填空题
13. 14. 1 15. 16. ④
三、解答题
17. 因为 ，
．（当且仅当 时，等号成立）
而 均为正数，
成立.（当且仅当 时，等号成立）
18. 解：（1）
(2)
20. 感染 不感染 合计
年 龄 不 大 于 50
岁 20 60 80
年龄大于 50 岁 10 10 20
合计 30 70 100
( ) 2 ( )f x x m x m R= − − + ∈ ( 2) 0f x − ≥
( ],4−∞
m
0, 0a b> > 12 6a b m+ = 2 11 2 3x x a b
− + − ≥ +
B B D D B A C
5
2
( ],2−∞
2 2 2( ) 2 0a b a ab b− = − + ≥
2 2a ab b ab∴ − + ≥ a b=
,a b 0a b∴ + >
2 2 2 2( )( )a b a ab b a b ab∴ + − + ≥ +
3 3 2 2a b a b ab∴ + ≥ + a b=
2 2
2 ( ) 100(200 600) 4.762 3.81( )( )( )( ) 80 20 30 70
n ad bck a b c d a c b d
− −= = ≈ >+ + + + × × ×所以能在犯错误的概率不超过 5％的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关
（3）从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是：共 =10 个，
其中至多 1 位教师有 =7 个基本事件：
所以所求概率是 ．
19.解：(1) 表示事件“甲选择路径 时,40 分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙
选择路径 时,50 分钟内赶到火车站”，
用频率估计相应的概率，则有：
,
,所以甲应选择路径 ；
,
,所以乙应选择路径 ；
(2)用 分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，
由（1）知 ， ，且 相互独立.
的取值是 0,1,2，
所以 的分布列为：
20. 解：（1）设 为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点 ，
依题意得：圆 的参数方程为 ，
所以 C 的参数方程是 ．
3
5C
3 1 2
3 2 3C C C+
7
10
iA iL iB
iL 1,2i =
1( ) 0.1 0.2 0.3 0.6P A = + + = 2( ) 0.1 0.4 0.5P A = + =
1 2( ) ( )P A P A> 1L
1( ) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.8P B = + + + = 2( ) 0.1 0.4 0.4 0.9P B = + + =
1 2( ) ( )P B P B< 2L
,A B
( ) 0.6P A = ( ) 0.9P B = ,A B
X
( 0) ( ) 0.1 04 0.04P X P AB= = = × =
( 1) ( ) 0.4 0.9 0.6 0.1 0.42P X P AB AB= = + = × + × =
( 2) ( ) 0.9 0.6 0.54P X P AB= = + = × =
X
0 0.04 1 0.42 2 0.54 1.5EX = × + × + × =
1 1( , )x y ( , )x y
2 2 4x y+ = 2cos (2sin
x
y
θ θθ
=
=
为参数）
2cos (sin
x
y
θ θθ
=
=
为参数）（2）因为 C 的普通方程是 ．
与直线 联立解得 ．
因为 ，方程无解.
所以直线与 C 相离.
则 点 到 直 线 距 离 为
21. 解： ， ，
将 代入可得 ，
故曲线 C 的直角坐标方程为 ；
(2)直线 ，显然 M 在直线 l 上，
把 l 的参数方程代入 ，整理可得
， ，
设 A，B 对应的参数为 ，
，
故
22. 解：(1) ,
2
2 14
x y+ =
: 2 3 2 0l x y+ − = 24 6 2 7 0y y− + =
2(6 2) 4 4 7 0∆ = − × × <
(2cos ,sin )P t t l
min
2 2sin( ) 3 22cos 2sin 3 2 2(cos sin ) 3 2 4
5 5 5
1 sin( ) 1 5 2 2 2sin( ) 3 2 2 04 4
2 10
55
tt t t t
d
t t
d
π
π π
+ −+ − + −
= = =
− ≤ + ≤ ≤ + − ≤− <
= =
因为 ，所以-
35 2:
13 2
x t
l t
y t
= +
= +
（ 为参数）
2
1 2 1 2 1 2( ) 4 3AB t t t t t t= − = + − =
( ) 2f x x m x= − − +的解集为 ,
的解集为 ,
（2） ， ．
又 ， ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 8
由题意可知即解不等式 .
① ,
② ,无解
④ ，
综上，
( 2) 2 0f x x m x∴ − = − − − ≥ ( ],4−∞
2x m x− − ≥ ( ],4−∞
2 8, 6m m∴ + = =
6m = 2 1a b+ =
2 1 2 1 4 4( )( 2 ) 4 2 4 8b a b aa ba b a b a b a b
∴ + = + + = + + ≥ ⋅ + =
2a b= 2 1
a b
∴ +
1 2 3 8x x− + − ≥
1
1 3 2 8
x
x x
≤
− + − ≥
4
3x∴ ≤ −
31 2
1 3 2 8
x
x x
< ≤
− + − ≥
3
2
1 2 3 8
x
x x
>
− + − ≥
4x∴ ≥
[ )4( , 4,3x ∈ −∞ − +∞
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