天津市滨海新区四校2020届高三数学下学期联考试题（Word版含答案）

滨海新区 2020 届高三下学期联谊四校联考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟． 第Ⅰ卷 选择题 (共 45 分) 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置 上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件 、 互斥，那么 柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高. 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分． 1. 设集合 ，则 A． B． C． D． 2. 若直线 ， ，平面 满足 ， 则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成 6 组，绘成频率 分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取 100 位 同学进行学习方法座谈，则成绩为 组应抽取的人数为 A． B． C． D． 4. 已知正方体 的表面积为 ，若圆锥的底面圆周经过 四个顶 点，圆锥的顶点在棱 上，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 5. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 单调递增，若 ， ， ，则 的大小关系为 A． B． C． D． A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B= + ShV = S h { | 1}, {1,3,5,7}, { | 5}U x x A B x x= ≥ − = = > UA C B = { }1,3,5 { }3,5 { }1,3 { }1,3,5,7 a l α a α⊂ l α⊄ l a⊥ l α⊥ [70,80) 60 50 40 20 1 1 1 1ABCD A B C D− 24 1 1A A C C， ， ， 1BB 3 2π 2 3 π 2π 2 2 π ( )f x R [0 + ∞， ） 1 5 (log 2)a f= − 5(lo 1 2g )b f= 1 2(5 )c f= , ,a b c a b c= < a b c< < c b a< < b a c< < 0.005 0.01 0.02 a6. 已知双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，过 作与 一条渐近线平行的直线 ，交另一条渐近线于点 ，交抛线线 的准线于点 ，若三 角形 （ 为原点）的面积 ，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 7. 已知函数 的最小正周期为 ，若将 的 图象上所有的点向右平移 个单位所得图象对应的函数 为奇函数，则 A． B． C． D． 8. 已知 ，数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，若 对于 恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 9. 在平面四边形 中， ， 为 中点，若 ， ，则 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 (共 105 分) 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 10. 为虚数单位，若 为纯虚数，则实数 的值为 ． 11. 的展开式中的常数项为 ． 12. 已知等差数列 的前 项为 ，若 ，则 ． 13. 已知直线 与圆 交于 两点，直线 垂直平 分弦 ，则 的值为 ，弦 的长为 ． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F 2 8y x= F l A 2 8y x= B AOB O 3 3 2 2 112 4 x y− = 2 2 14 12 x y− = 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = 2 3 1( ) cos sin 22 2f x x xω ω= + − ( 0)ω > π ( )y f x= ϕ (0 )2 πϕ< < ( )g x ( )f ϕ = 1 2 2 2 3 2 1 Rb∈ { }na 1 2 3 11, 4a a a= + = − { }na n nS 2 22 n bb S− ≤ *Nn∀ ∈ b 1[ ,1]2 − 1] [12 ∞ + ∞（- ，- ， ） 1 17 1 17[ , ]4 4 − + 1 17[ ,1]4 − ABCD 6, 2, 2AB CD AD= = = P BC 1 ) 03AC AD AB⋅ − =  （ 15AC AB⋅ =  AP AD⋅ =  8 6 4 2 i 1 2 a i i − − a 61)x x −（ { }na n nS 4 53 4S S= =， 9a = 2 1y x= + 2 2 2 1 0x y ax y+ + + + = ,A B 2 0mx y+ + = AB m AB14. 设 ， ，则 的最小值为 ． 15. 已知 ，函数 （1）若 在 上单调递增，则 的取值范围为 ； （2）若对于任意实数 ，方程 有且只有一个实数根，且 ，函数 的 图象与函数 的图象有三个不同的交点，则 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤． 16. （ 本 小 题 14 分 ） 在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ． 已 知 ， ， ． （Ⅰ）求角 和 的值； （Ⅱ）求 的值． 17. （本小题 15 分） 全民参与是打赢新型冠状病毒防疫战的根本方法。在防控疫情的过程中， 某小区的“卡口”工作人员由“社区工作者”“下沉干部”“志愿者”三种身份的人员构成， 其中社区工作者 3 人，下沉干部 2 人，志愿者 1 人．某电视台某天上午随机抽取 2 人进行访 谈，某报社在该天下午随机抽取 1 人进行访谈． （Ⅰ）设 表示上午抽到的社区工作者的人数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“全天抽到的 名工作人员的身份互不相同”，求事件 发生的概 率． 18. （本小题 15 分） 如图，四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ， ， ， 分 别为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成角 0b > 2 1a b− = 21 8 a a b + Rm∈ 2 2 6 8, 1,( ) , 1. x m xf x x mx m x + − ≥= − + + > (2 2 2， ） A B | | 2 | |OA OB= A 1l M B 2l N 1l 2l 1 4 − M N， y 1l ( ) ln( 1)f x x= + ( ) 1xg x e= − ( )g x 1x = ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) f x x x g x ≥ 2− 15 7 5 1 2 8 5 5 1 2 3m≤ ≤ 2 5 2 4m− < = =  N CD A− − 2 5 5 1( ,2 ,0)2BQ BCλ λ λ= = −  1( 1,2 ,0)2Q λ λ− + 1 1( ,2 , 1)2 2NQ λ λ= − + − PEF (1,0,0)p = 2 2 1 1| | 142 2cos , 141 1( ) (2 ) 12 2 NQ p λ λ λ − + < >= = − + + +   1 3 λ = 9λ = − 17 6BQ = | | 2 | |OA OB= 2a b= 2 2 2（ ， ） 2 2 4 8 14b b + = 6, 3a b= = 2 2 136 9 x y+ = 1l ( 6)y k x= − 2 2 1,36 9 ( 6), x y y k x  + =  = − 2 2 2 2(1 4 ) 48 144 36 0k x k x k+ − + − =解得 ，所以 .-----------------9 分 因为直线 的斜率乘积为 ,所以直线 的方程为 , 同理可得 ．-----------------11 分 因为 M，N 关于 y 轴对称，所以 ，-----------------13 分 即 ，解得 . 所以直线 的斜率为 -----------------15 分 20.解：（Ⅰ） ， ， ----------------1 分 ，------------------2 分 所以 的图象在 处的切线方程为 .-----------------3 分 （Ⅱ）设 ，定义域为 ，-----------------4 分 ，-----------------5 分 设 ， 因为 ，所以 ，因此 在 上单调递减，--------------6 分 又 ，所以 时， ， 在 上单调递增，--------------7 分 时， ， 在 上单调递减， 因此 ，--------------8 分 取 ，所以 在 上有一个零点，--------------9 分 取 ， 所 以 在 上 有 一 个 零 点 ， 故 方 程 有两个实数根. --------------10 分 （Ⅲ）设 ，则 ，--------------11 分 1 6,x = 2 2 2 24 6 1 4 kx k −= + 2 2 2 24 6 12( , )1 4 1 4 k kM k k − −+ + 1 2,l l 1 4 − 2l 1 34y xk = − − 2 2 2 24 3 12(- , )1 4 1 4 k kN k k − + + 2 2 2 24 6 24 01 4 1 4 k k k k − − =+ + 24 4 1 0k k− − = 1 2 2k ±= 1l 1 2 2 ± ( ) xg x e′ = (1)k g e′= = (1) 1g e= − ( )g x 1x = 1y ex= − ( ) ( ) ( ) ln( 1) 1xh x f x g x x e= − = + − + 1 + ∞（- ， ） 1 1 ( 1)( ) 1 1 x x x eh x ex x − +′ = − =+ + ( ) 1 ( 1) , ( ) ( 2)x xp x x e p x x e′= − + = − + 1x∈ + ∞（- ， ） ( ) 0p x′ < ( )p x 1 + ∞（- ， ） (0) 0p = 1 0x∈（- ，） ( ) 0p x > ( )h x 10（- ，） 0x∈ + ∞（ ， ） ( ) 0p x < ( )h x 0 + ∞（ ， ） max( ) (0) 1 0h x h= = > 22, (2) ln3 1 0x h e= = + − < ( )h x 0 + ∞（ ， ） 1 11 11 0, ( 1) 1 1 0ex h ee e −= − < − = − + − < ( )h x 10（- ，） ( ) ( ) 1 0f x g x− + = ln( 1)( ) ( 1)xq x xx += > −， ( 1) 1 x x xq e e − = −不等式 ，即为 ，--------------12 分 因为 恒成立，所以只需证 为单调递减函数. --------------13 分 ,--------------14 分 因为 恒成立，--------------15 分 所以 ，即 ，所以 为单调递减函数， 因此 .--------------16 分 ( ) ( ) f x x x g x ≥ ( ) ( 1)xq x q e≥ − 1xx e≤ − ( )q x 2 2 2 1 1 1ln( 1) 1 ln( 1) 1 ln1 1 1 1( ) x x xx x x xq x x x x − + − − + − ++ + + +′ = = = ln 1x x≤ − 1 11 ln 01 1x x − + ≤+ + ( ) 0q x′ ≤ ( )q x ( ) ( ) f x x x g x ≥