2019 学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学试卷
参考公式：
球的表面积公式 ； 球的体积公式 ，其中 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列 满足 ， ，则
A．2 B． C． D．
4．如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图
都是矩形，则该几何体的体积为
A． B． C．24 D．36
5．若函数 的图象上存在点 ，满足约束条件 ，则实数 的
取值范围为
A． B． C． D．
6．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记
， ，则
A． B． C． D．
7. 甲箱子里装有 个白球和 个红球，乙箱子里装有 个白球和 个红球．从这两个箱子里
24S Rπ= 34
3V Rπ= R
{ }2 2,A x x x x R= = − ∈ }2,1{=B =BA
}2,1,1{− }2,1{ }1{ }2{
x∈R 1 1x
< 1x >
{ }na 82 =a 144 453 −= aaa =3a
2± 4 4±
39 312
xy alog= ),( yx
≥
≥+−
≤−+
1
022
03
y
yx
yx
a
(1,2] [2, )+∞ (0,1) (1,2] )1,0( [2, )+∞
R 2( ) 2 1x mf x −= − m 0.5(log 3),a f=
2(log 5)b f= ( 2)c f m= +
a b c< < c b a< < c a b< < a c b< <
3 2 2 2分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为 ，摸出的红球的个数为 ，则
A． ，且 B． ，且
C. ，且 D． ，且
8．双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，若
抛物线 的焦点恰为 的内心，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
9．如图，在正方体 中，点 是棱 的中点， （非端点 ）是
棱 上的动点.过点 作截面四边形交棱 于 （非端点 ）.设二面角
的大小为 ，二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ，则
A． B．
C． D．
10.已知两函数 和 都是定义在 上的函数，且方程 有实数解，则
有可能是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.
11．复数 ， 是虚数单位．若 ，则 ；
若 ，则 ．
X Y
( ) 11 2P X = > )()( YDXD < ( ) 11 2P X = > )()( YDXD =
( ) 11 2P X = = )()( YDXD < ( ) 11 2P X = = )()( YDXD =
)0,0(1: 2
2
2
2
1 >>=− bab
y
a
xC )0(2: 2
2 >= ppyxC BOA ,,
2C AOB∆ 1C
2
3 3 4
22
2
21+
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC M ,B C
BC , ,A M E 1DD N ,D 1D
N AM D− − α - -M AN D β A NE D− − γ
γ β α> > β γ α> >
β α γ> > γ α β> >
( )f x ( )g x R ( ( )) 0x f g x− = ( ( ))g f x
2 1x + 2 1x x+ + 2 1x x− − 22 1x x− +
( )(1 )z a i i= + − )( Ra∈ i 2=a =|| z
iz 31+−= =a12．若 ，则 ； ．
13．已知函数 ，则 =_______；设函数 存在 3 个零点，则
实数 的取值范围是_______.
14．已知圆 ，直线 与 轴交于点 ．若 ，则直线
截圆 所得弦的长度为 ； 若过 上一点 作圆 的切线，切点为 ，且
，则实数 的取值范围是 ．
15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调 5 名机关工作人员去某街道 3 所不同的学校
开展驻点服务，每个学校至少去 1 人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种
数为 ．
16．在 中 点 是 的外心，则 ．
17．已知 中，角 , , 所对的边分别是 ，且 ，则 的面积的
最大值是 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分 14 分）设函数 ，其中 ，且 .
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求函数 的最大值．
19．（本题满分 15 分）如图，在 中， ， ， 分别是 的中
点.将 沿 折成大小是 的二面角 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值.
20．（本题满分 15 分）已知数列 的各项均为正数，其前 n 项和为 ，对于任意的 ，总
有 成等差数列.
8
810
88 )1()1( xaxaaxx +⋅⋅⋅++=−++ =0a =+++ 8642 aaaa
, 0( )
ln , 0
xe xf x
x x
− ≤= >
( (0))f f ( ) 0f x kx− =
k
1)1()(: 22 =+−+− ayaxC 2: +−= xyl x A 1=a l
C l P C Q
||2|| PQPA = a
ABC∆ , 2, 3,AB AC= = 2BE EC= ， O ABC∆ AO AE⋅ =
ABC∆ A B C , ,a b c 2 2 23 2 1a b c+ + = ABC∆
π π( ) sin( ) sin( )6 2f x x xω ω= − + − 0 3ω< < π( ) 06f =
ω ]3,12[
ππ−∈x 1)()()( 2 +−= xfxfxg
Rt ABC∆ 090B∠ = 2BC AB= ,D E ,AC BC
CED∆ DE 060 'A DE C− −
'C DA ⊥ 'ABC
BE 'AC D
{ }na nS n N ∗∈
2, ,n n na S a
1
,
3
,
5（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
21．（本题满分 15 分）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为 ， 点 是椭圆上异于 的任意一点， 轴，
为垂足， 为线段 中点，直线 交直线
于点 , 为线段 的中点，若四边形
的面积为 ，求直线 的方程．
22．（本题满分 15 分）已知函数 ，
， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 在 上的单调区间；
（Ⅱ）若函数 对任意的 恒成立，求正整数 的最大值.
{ }na
{ }nb 1)1(3
)(2 2
+−⋅
⋅= n
n
a
n
ab
n
{ }nb n2 nT2
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> >
2
3 )2
3,1(
BA, P ,A B ⊥PQ y Q
M PQ AM
: 1l y = − C N BC
MOBN 2 AM
( ) 2 sinf x x a x= −
( ) cosg x x x= x R∈
4a = )(xf (0,2 )π
( ) ( ) ( ) 0F x f x g x= + > 0x > a2019 学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学参考答案（2020.6）
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分.
1-10
二、填空题：多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.
11． ， ； 12． 2， 254； 13． 0 ， ； 14． ，
； 15． 114 ； 16． ； 17． ．
9．解析：分别延长 ，显然三线交
于一点 ，则只需比较 与 的
距离大小.或者作出截面 分别在底面、
左
侧面、后侧面的投影面，然后比较投影面的大小.
10．解析：因为 ，则 ，故 ，即 ，
这说明方程 有实数解.于是逐一代入检验得： 正确.
另解：特殊法，不妨令 ，则 ，逐一代入检验得：只有 才有解，
于是 正确.
17．解析：如图建立坐标系，设 ，点 ，则由 可得：
，这说明点 在以 为圆心，
为半径的圆上（不含 轴上两点），于是
.
（当且仅当 ， ， 取到等号）.
DBBAC DDDBC
10 2− ( , e)−∞ − 2
3 3 3 3[ , ]2 2
− + 11
3
11
44
, ,NE DC AM
O C , ,OE EM OM
AMEN
( ( )) 0x f g x− = ( ( ))x f g x= ( ) [ ( ( ))]g x g f g x= ( ( ))x g f x=
( ( ))x g f x− C
( )g x x= ( ( )) ( ( ))x f g x g f x= = C
C
2 (m 0)a m= > ( , )A x y 2 2 23 2 1a b c+ + =
2
2 2 1 44( )3 3 9
m mx y− + = − A ( ,0)3
m
21 44
3 9
m− x
2
max
1 1 44( ) 22 3 9ABC
mS m∆ = ⋅ ⋅ −
2 29 44 1 44
44 9 3 9
m m= ⋅ ⋅ −
1
9 113
44 2 44
≤ ⋅ =
2 3
22a = 2 2
11b = 2 5
22c =三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分 14 分）（Ⅰ）
------------------4 分
∵ ，∴ ， ，∴ ， ， ----------------6 分
∵ ，∴ ． ------------------8 分
（Ⅱ）得 ，当 时， ，
∴ ， ------------------11 分
∴ ． ∴当 时， ．---------------14 分
19．(本题满分 15 分) 解：（Ⅰ）不妨设 ，则由题意可知： 且
. ------------------2 分
于是 ，所以 .
取 的中点 ，连 ，则 .
易 得 ： ， 在 中 ，
.
显然， ， ，即 .--------------6 分
又因为 ， ，而 ，所以 .
------------------9 分
（Ⅱ）取 之中点 ，连 ，则由平几知识知：四边形 为矩形， 与平面
所成的角就是 与平面 所成的角. ------------------12 分
π π( ) sin( ) sin( )6 2f x x xω ω= − + −
)3sin(3cos2
3sin2
3 πωωω −=−= xxx
0)6( =π
f ππωπ
k=−
36 Zk ∈ 26 += kω Zk ∈
30 + − ≥ ≥
' ( ) 0g x ≤ min ( ) ( ) 22 2g x g
π π≥ = − ( ) (0) 0F x F> =
( , ]2x
π π∈ a ( ) (2 cos ) sinF x x x a x= + −
(2 cos ) 2sinx x x> + − ' ( ) cos 0g x x x= − > ( ) ( ) 2 02g x g
π π> = − >
( ) ( ) 02F x F a
π π> = − >
+x π∈ ∞（ ， ） ( ) 0F x aπ> − >
2 3a< ≤ (0, ]x π∈ a ( ) (2 cos ) 3sin ( )F x x x x g x≥ + − =
( ) sin 2cos 2g x x x x= − − + ' ( ) sin cosg x x x x= − cos (tan )x x x−显然， 时， ； ， ，故 ，于是
；
②当 时， . ------------------13 分
3、若 ，则令 ， ，显然 .
综上所述，正整数 的最大值为 3. ------------------15 分
另法一（必要性优选）分别令 、 ，得 ， ，
解得： ，为此猜想：正整数 的最大值为 3. ------------------9 分
此时 .以下给出证明：此时， ，
=
显然， 时， ； ， ，故 ，于是
； ------------------13 分
当 时， .
综上所述，正整数 的最大值为 3. ------------------15 分
另法二（优函数）：由 知 ，
------------------8 分
令 ，则 ，当 即
时， ，于是 . ------------------13 分
另一方面，当 ，则令 ， ，显然 .
综上所述，正整数 的最大值为 3. ------------------15 分
(0, )2x
π∈ ' ( ) 0g x > ( ]2x
π π∈ ， ' ( ) 0g x > ( ) (0) 0g x g> =
( ) (0) 0F x F> =
+x π∈ ∞（ ， ） ( ) 0F x aπ> − >
3a >
2x
π= ( )2F a
π π= − 3a ≤
a
2x
π= 3
2
π ( ) 02F
π > 3( ) 02F
π >
0 a π< < a
( ) (2 cos ) 3sinF x x x x= + − '( ) ( ) sin 2cos 2g x F x x x x= = − − +
' ( ) sin cosg x x x x= − cos (tan )x x x−
(0, )2x
π∈ ' ( ) 0g x > ( ]2x
π π∈ ， ' ( ) 0g x > ( ) (0) 0g x g> =
( ) (0) 0F x F> =
+x π∈ ∞（ ， ） ( ) 3sin 0F x xπ> − >
a
( ) (2 cos ) sin 0F x x x a x= + − > sin 02 cos
a xx x
− >+
( )g x = sin
2 cos
a xx x
− +
2 2
'
2
[cos ( 2)] 3( ) (2 cos )
x a a ag x x
− − + −= +
23 0a a− ≥
0 3a< ≤ ' ( ) 0g x ≥ ( ) (0) 0g x g> =
3a >
2x
π= ( )2F a
π π= − 3a ≤
a
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