七校高 2020 级第三次诊断性考试
数 学 （理科）试 题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（綦江）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（铜梁）设 ,则在复平面内 z 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（实验）命题“ ”的否定是（ ）
A．不存在 B．
C． D．
4．（綦江）设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5．（实验）已知直线 和两个不同的平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
{ }02| 2 R ，
{ }na n nS 463 4 aaa +=+ 9S
18 24 48 36
l βα，
//l α l β⊥ βα ⊥
αβα ⊥⊥ l， β⊥lC．若 ， ，则
D．若 ，则
6．（长寿）如图所示,给出的是求： 的值的
一个程序框图, 判断框内应填入的条件是（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给
出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际上是将
圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 相当于将圆锥体积
公式中的 近似取为（ ）
A． B． C． D．
8．（綦江）函数 在 上的大致图象是（ ）
9．（实验）已知直线 与双曲线 交于 两点，以
为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ．若 的面积为 ，则双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
10．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。
高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这
六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
//l α //l β βα //
αβα //l，⊥ β⊥l
99
1
5
1
3
11 +…+++
?99≤i
?99i
L h V hLV 2
36
1≈
π hLV 2
112
3≈
π
7
22
8
52
9
82
27
82
xxxxf cos)sin3()( −= [ ]ππ,−
)0( ≠= kkxy
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > BA, AB
F ABF∆ 24a
3 2 5 2M
P
A
B
D
C
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
11．（大足）已知 ，设函数 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（实验）函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A． ，使 B． ，使
C． ，使 D． ，使
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（合川）已知向量 =(1，1)， ，且 ，则 的值等于 .
14．（实验） 展开式的常数项是 ．
15．（长寿）已知圆 的方程为 ，过直线 ： （ ）
上任意一点作圆 的切线，若切线长的最小值为 ，则直线 的斜率为 ．
16．（綦江）已知数列 中， ， ，设 +
… ，若对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（实验）在 中，角 的对边分别为 ，且满足
．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
18．（綦江）如图，在四棱锥 中
( ) 2b m= − ， ( )2a b+
240 120 188 156
Rk ∈
>+−−
≤+−=
1,)1(
1,22)( 3
2
xeekx
xkkxxxf x x
0)( ≥xf Rx ∈ k
xxxf 2cos)2sin()( ++= θ )(xf ( )G θ )(θg
R∈∃ 0θ 0 0( ) ( ) πG gθ θ+ = R∈∃ 0θ π)()( 00 =− θθ gG
R∈∃ 0θ π)()( 00 =⋅ θθ gG R∈∃ 0θ π)(
)(
0
0 =θ
θ
g
G
a a // m
( ) 5
2 12 1x x
− −
C 1)4()3( 22 =−+− yx l 053 =−+ ayx 0a >
C 15 l
{ }na 1 1a = 1 ( 2, )n na a n n n N +
−− = ≥ ∈
21
11
++
+=
nn
n aab
3
1
+na
+
na2
1 n [1,2]m∈ 2 1
3 nm mt b− + >
t
ABC∆ A B C， ， a b c， ，
(2 )cos cosb c A a C− =
A
13a = ABC∆ 3 3 ABC∆
ABCDP −， , ,
， ,点 是棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
19．（江津）某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.
该市生态环境局统计了某月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气
质量等级与空气质量指数对照如下表：
空气质量指数 (0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300 以上
空气质量等级
一级
(优)
二级
(良)
三级
(轻度污染)
四级
(中度污染)
五级
(重度污染)
六级
(严重污染)
（1）根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，
空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量
指数高于 90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当
空气质量指数高于 70 时，市民乙不宜进行户外体育
运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).
①从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外
体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为 ，求
的分布列和数学期望；
②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天
空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人后面分别随机选择 3
天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进行户外体育运动的概率.
20．（铜梁）已知中心在原点 的椭圆 的左焦点为 ， 与 轴正半轴交点为 ，且
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率为 ， （ ）的两条直线分别交 于异于点 的两点 .证
明：当 时，直线 过定点.
21．（大足）已知函数 ， ，其中 .
ABCDPA 底面⊥ ADBC// 3
2π=∠BAD
2=== BCABPA 4=AD M PD
//CM PAB
M AC D− −
O C ( )1 1,0F − C y A
1
π
3AFO∠ =
C
A 1k 2k 1 2 0k k ≠ C A ,M N
1
2
1 1
kk k
= − MN
axxaxf +−= ln)( bxxg −−= ln)( Rkba ∈,,（1）求函数 的单调区间；
（2）若对 ，不等式 恒成立时最大的 记为 ，
当 时， 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（长寿）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 的参
数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐
标系中，过极点 的射线与曲线 相交于不同于极点的点 ，且点 的极坐标为 ，
其中 .
（1）求 的值；
（2）若射线 与直线 相交于点 ，求 的值.
23．（长寿）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，若关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围.
)(xf
],1[],,1[ exea ∈∈ 任意任意 )()( xgxf ≥ k c
],1[ eb∈ cb +
xOy C
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α l
33 2
13 2
x t
y t
= −
= +
t O x
O C A A (2 3, )θ
( , )2
πθ π∈
θ
OA l B AB
|2
3||2
12|)( −++= xaxxf
1−=a xxf 3)( ≤
2=a x |1|2)(4 bxf −< b七校高 2020 级第三次诊断性考试
数学（理科）答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1-12 AACDA ACDCB DD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．—2 14． 15． 16． 【解析】
∵ ， （ ， ），当 时， ，
，…， ，并项相加，得： ，
∴ ，又∵当 时， 也满足上式，
∴数列 的通项公式为 ，∴
，令 （ ），
则 ，∵当 时， 恒成立，∴ 在 上是增函
数，
故当 时， ，即当 时， ，对任意的正整数 ，
当 时，不等式 恒成立，则须使 ，即
对 恒成立，即 的最小值，可得 ，∴实数 的取值范围为
，故答案为 .
三、解答题：
17．（12 分）解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
8−
4
3− ）（ 1,∞−
1 1a = 1n na a n−− = 2n ≥ n N∈ 2n ≥ 1n na a n−− =
1 2 1n na a n− −− = − 2 1 2a a− = 1 1 3 2na a n n− = + − +…+ +（ ）
11 2 3 12na n n n= + + +…+ = +（ ） 1n = 1
1 1 1 1 12a = × × + =（ ）
{ }na 1 12na n n= +（ ）
1 2 3 2
1 1 1 1
n
n n n n
b a a a a+ + +
= + + +…+
( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2 1 1 1 1 1 121 2 2 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1n n n n n n n n n n n n
= + +…+ = − + − +…+ −+ + + + + + + + + +（ ）
2
1 1 2 22 11 2 1 2 3 1 2 3
n
n n n n n n
= − = =+ + + + + +
（ ） ( ) 12f x x x
= + 1x ≥
( ) 2
12f x x
′ = − 1x ≥ ( ) 0f x¢ > ( )f x [1x∈ + ∞， ）
1x = ( ) ( )1 3minf x f= = 1n = ( ) 1
3n maxb = n
[1 2]m∈ ，
2 1
3 nm mt b− + > ( )2 1 1
3 3n maxm mt b− + > =
2 0m mt− > [1 2]m∀ ∈ ， t m< 1t < t
( ),1−∞ ( ),1−∞
(2 )cos cosb c A a C− =
(2sin sin )cos sin cosB C A A C− = ………………………………………2 分
即 ……………………4 分
由 ，得 ，
得 ， ………………………6 分
（Ⅱ）由余弦定理： ，得 ．
得 …………………………8 分
得 ………………………………10 分
所以 ，得
所以 周长为
……………………………12 分
18．（本小题 12 分）
（綦江中学改编）如图，在四棱锥
, ,
,点 M 是棱 的中点。
（1）求证：CM∥平面 PAB；
（2）求二面角 的大小。
解：（1）如图，取 AP 的中点 E，连接 BE、EM．
∵M 是 PD 的中点，∴ ，EM∥
AD，………………………………2 分
又 ，BC∥AD，所以 EM=BC，EM∥BC，
∴四边形 BCME 为平行四边形，
∴CM∥BE，………………………………4 分
又 平面 PAB， 平面 PAB，
∴CM∥平面 PAB． ……………………5 分
（2）在平面 ABCD 内过点 A 作 AD 的垂线 Ax，由题意知 PA，Ax，AD 两两垂直，以 A 为坐
标原点，Ax，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，由题意知 ， ， ，
可得 ，∴ ， ，………7 分
2sin cos sin cos sin cos sin( )B A A C C A A C= + = +
πA B C+ + = 2sin cos sinB A B=
1cos 2A = π0 π 3A A< < ∴ =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅ 2 2 113 2 2b c bc= + − ⋅
( )2 3 13b c bc+ − =
1 3sin 3 32 4S bc A bc= ⋅ = = 12bc =
( )2 36 13b c+ − = 7b c+ =
ABC△ 7 13a b c+ + = +
ABCDP −
ABCDPA 底面⊥ ADBC// 3
2π=∠BAD
4,2 ==== ADBCABPA PD
M AC D− −
1
2EM AD=
1
2BC AD=
BE ⊂ CM ⊄
2PA AB BC= = = 4AD= 2
3BAD
π∠ =
(0,0,0), ( 3,1,0), (0,2,1)A C M ( 3,1,0)AC= (0,2,1)AM =
E
z
y
x
M
D
CB
A
P
E M
D
CB
A
P设平面 MAC 的法向量为 ，
则由 ，即 ，令 ，则 ，
∴ 为平面 MAC 的一个法向量．…………………………………9 分
∵PA⊥底面 ABCD，∴可取平面 ACD 的一个法向量为 ，……………10 分
∴ ，
∵二面角 为锐二面角
∴ 二面角 的大小为 ………………………………………………12 分
注：使用几何法求二面角大小同样给分．
19．（ 12 分）
解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为 2 天，所以估计空气
质量指数在(90，100]的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28
天.……………………3 分
（2）①在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6
天，
∴ ， ， ，
∴ 的分布列为
∴ . …………………………………8 分
②甲不宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ，
∴ . ………………………………12 分
20．解：（1） ·······3 分
（2）由题不妨设 联立 方程组解
消去 化简得 ，
0 1 2
( , , )x y z=n
0
0
AC
AM
⋅ =
⋅ =
n
n
3 0
2 0
x y
y z
+ = + =
3y = − 3, 6x z= =
( 3, 3,6)= −n
(0,0,1)=m
6 3cos , | | | | 248
n mn m n m
⋅= = =⋅
M AC D− −
M AC D− −
6
π
2 2
14 3
x y+ =
:MN y kx m= +
2 2
14 3
x y
y kx m
+ =
= +
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
y 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =且 ·········5 分
·······8 分
········10 分
直线 ， .·········12 分
2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
1 2 1 2k k k k= + 1 2 1 2
1 2 1 2
3 3 3 3y y y y
x x x x
− − − −∴ × = +
,i iy kx m∴ = +代入 化简得
( ) ( )( )( )2 2
1 2 1 22 1 3 2 3 3 0k k x x k m x x m m− + − − + + − + =
28 3 ( 3) 3( 3)k m m− = − 3,8 3 3( 3)m k m≠ = −
8 3 33
km∴ = +
8 3: + 33
kMN y kx= + 8 3 33MN过定点( - ， )22．解：（1）曲线 的普通方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 .
化简，得 .
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
分综上所述，
上递增。，在令
此时
），当
时则当使得存在唯一的实数
）上递增；，在（时，当
分所以
上递减；在即所以时时，即当
所以
上递增；在即
时所以又时，即当
）上递增，在（令
令
分
原不等式
分），减区间为（），的增区间为（时，当
），没有增区间。，的减区间为（时，当
）、解析：（
12................................................................................12,2
)1,2(),1()1,1(
1)(011-1)(ln)(
ln1ln1ln
1lnlnln1)()(
0)(0()(
0)(),1(,0)(),,1(
1ln-)(0)()1(
9..........................12,122)()(
,1)(,0)(0)(,,1,10)(
22)1()(
,1)(,0)(0)(,,1
1,,1.10)1(
1ln)(11)(ln)(
ln)(lnln1)(
6......................................................lnln1ln)ln1(
,1,,1ln)ln1()2(
4...........................................,0)(0
0)(0
,01)(),0(ln)(121
0
00
0
000
0
0
0
0
0
0000
0min
0
000
min
min
2
++∈+
+∈+∴∈⇒−∈
⇒>−==′⇒−=
−=+=−++=+∴
+=++−+===
>′⇒>⇒⇒∈
−=−=′∴∈>−−=
eecb
eecbexeb
exhx
x
xxhxxxh
xxbxxxxxxcb
xxx
bxxxxxgxgc
xgxpexx
xpxxxpex
bxxxpepp
eeeebe
bcbe
begxgc
exgxgxPexeebeP
bcbbgxgc
exgxgxPex
bebbP
bxxxPxxPbxxxP
x
bxxxgx
bxxxxxg
x
bxxxx
x
bxxxxa
exeax
bxxxxaK
aaxfa
xfa
Raxx
xa
x
axfRaxaxxaxf
C 2 2( 2) 4x y+ − =
C 2 2( cos ) ( sin 2) 4ρ θ ρ θ+ − =
4sinρ θ=由 ，得
∵ ，
∴ . ..............5 分
（2）射线 的极坐标方程为 ，
直线 的普通方程为 .
∴直线 的极坐标方程为 .
联立 ，解得 .
∴ . ..............10 分
23．（1）当 时，不等式可化为
或 或
故不等式 的解集为 ..........5 分
（2）当 时，
( 时取等号），则不等式
的解集为空集等价于 , 解得
故实数 b 的取值范围是 ..............10 分
2 3ρ = 3sin 2
θ =
( , )2
πθ π∈
2
3
πθ =
OA 2
3
πθ =
l 3 4 3 0x y+ − =
l cos 3 sin 4 3 0ρ θ ρ θ+ − =
2
3
cos 3 sin 4 3 0
πθ
ρ θ ρ θ
=
+ − =
4 3ρ =
4 3 2 3 2 3B AAB ρ ρ= − = − =
1a = − ( ) 3f x x≤
1
4
1 3(2 ) ( ) 32 2
x
x x x
< −
− + + − ≤
3
2
1 3(2 ) ( ) 32 2
x
x x x
≥
+ − − ≤
1 3
4 2
1 3(2 ) ( ) 32 2
x
x x x
− ≤
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