、实验中学等七校2020届高三数学（文）6月联考（三诊）试题（Word版含答案）

七校高 2020 级第三次诊断性考试 数 学 （文科）试 题 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．（长寿）已知全集为 R,集合 ， ，则 （ ） A．{0,1} B．{-1,0,1} C．{-1,0,3} D．{-1,1,2,3} 2．（铜梁）已知复数 ， 是实数，那么复数 的实部与虚部满足的关 系式为（ ） A． B． C． D． 3．（合川）某胸科医院感染科有 名男医生和 名女医生,现需要从这 名医生中抽取 名医 生成立一个临时新冠状病毒诊治小组,恰好抽到的 名医生都是男医生的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（铜梁）函数 的图像（ ） A．关于直线 对称 B．关于点（1,0）对称 C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称 { 0 2}M x x= < ≤ { 1,0,1,2,3}N = − ( )RC M N∩ = ),( Rbabiaz ∈+= 1+i z z 0=+ ba 0=−ba 02 =− ba 02 =+ ba sin(1 )y x= − 1=x5．（綦江）过双曲线 的左焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，则 （ 为坐标原点）的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（实验）函数 在 上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．（合川）2019 年 10 月 1 日上午,庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆 重举行,这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异,去 年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵,他们是由军事科学院,国防大学,国防 科技大学联合组建,若已知甲,乙,丙三人来自上述三所学校,学位分别有学士、硕士、博士学 位,现知道:①甲不是军事科学院的,②来自军事科学院的均不是博士,③乙不是军事科学院 的,④乙不是博士学位,⑤来自国防科技大学的是硕士,则甲是来自哪个院校的,学位是什么 （ ） A．国防大学,博士 B．国防科技大学,硕士 C．国防大学,学士 D．军事科学院,学士 8．（长寿）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点的 的纵坐标 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（实验）在△ABC 中，角 A､B､C 的对边分别为 a，b，c， 2 22 3 1x y− = F M MFO∆ O 6 6 2 6 6 6 12 1( ) cos1 x x ef x xe −= + [ ],π π− 2 2y x= F M 0y 0 1y > | | 1MF >若( b﹣c) ，则 =（ ） A． B． C． D． 10．（江津）执行如右图所示的程序框图，则输出的 的值 为（ ） A． B． C． D． 11．（实验）已知定义在 上的奇函数 的图像是一条连续不断的曲线， 时， 单调递增，则满足： 的实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．（大足）在 中， ，点 是 所在平面内一点, ，且满足 ，若 ，则 的最小值是 （ ） A． B． C． 1 D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（铜梁）若 满足约束条件 则 的最小值为__________． 14．（大足） ________． 15．（合川）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 ,最 高销售限价 以及常数 )确定实际销售价格 ,这里, 被 3 CaA coscos = Acos 1 2 3 2 3 3 2 2 n 8 7 6 5 R ( )f x 0x > ( )f x ( ) ( )21 1 0f x f x+ + − > x ( )1,1− ( )1,2− ( )2,1− ( )1 2,1 2− + ABC∆ 1,3, ==⊥ ACABABAC P ABC∆ || 2 || AC AC AB ABAP += 2PM = AM xAB yAC= +   3x y+ 3 2 2+ 2 3 2 2− yx, 2 2 0, 2, 2, x y x y + − ≥  ≤  ≤ 2z x y= − ( ) ( )1 tan19 1 tan 26° °+ ⋅ + =称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数 恰好使得 是 和 的等比中 项,据此可得最佳乐观系数 的值等于__________. 16．（江津）底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为 的球，则该棱柱体 积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：每小题 12 分，共 60 分． 17．（实验）已知等差数列 的公差 ，且 . （1）求 及 ； （2）若等比数列 满足 ，求数列 的前 项的和 . 18．（长寿）2020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交 叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病 毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了 100 位成年人，记录了 他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图： （1）求 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 （同一组中的数据用该组区间的 中点值代表）； （2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长： 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m（单位：分钟） 10 15 12 20 30 25 35 （Ⅰ）根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程； （Ⅱ）若 （ 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅” x 3 { }na 2d = 1 2 6a a+ = 1a na }{ nb 2211 , abab == }{ nn ba + n nS a x 4≥− xm x家第 8 天是否是“有效运动日”？ 附；线性回归方程 ,其中， ， ． 19．（江津）在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， ， ， 分别是线段 ， 的中点， ． （1）求证： ； （2）求点 到平面 的距离． 20．（大足）已知椭圆 C： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半 轴长为半径的圆与直线 相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A(-4,0)，过点 R(3,0)作与 轴不重合的直线 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 AP，AQ 分别交直线 于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 ，试问： 是否为 定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．（合川）已知函数 ( 为常数). （1）若 是定义域上的单调函数,求 的取值范围; （2）若 存在两个极值点 , ,且 ,求 的取值范围. （二）选考题：共 10 分． 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，作答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（綦江）已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 ∧∧∧ += axby 2 1 1 )( ))(( xx yyxxb i n i ii n i −∑ −−∑= = = ∧ −∧−∧ −= xbya ABCD ABCDPA 平面⊥ E F AD PB 2== ABPA PDCEF 平面// E PDC 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 7 5 12 0x y− + = x l 16 3x = 1 2k k、 1 2k k C 2 ( )3cos πρ θ= + x l（ 是参数），设点 ． （1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 的参数方程化为普通方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值． 23．（綦江）已知定义在 上的函数 ，且 恒成立 （1）求实数 的值; （2）若 ，且 ，求证： 1 , 2 3 x t y t = − − = + t ( 1,2)P − C l l C ,M N PM PN⋅ R *( ) | | | |,f x x m x m N= − − ∈ ( ) 2f x < m (0,1), (0,1)α β∈ ∈ ( ) ( ) 1f fα β+ = 4 1 18α β+ ≥七校高 2020 级第三次诊断性考试 数 学（文科）答案 一、 1—6 CBCBDB 7—12 AACCBD 二、13． -6 14．2 15． 16． 三、 17．（1）由 ，得 ， 又 ， ， ；…………………………………………6 分 （2）由题意 ，即 ， ， 于是 ， 故 .…………………………12 分 18．（1）∵ ，∴ . ....4 分 （2）（Ⅰ）∵ ， ∴ ， ∴m 关于 n 的线性回归方程为 …………………… 9 分 （Ⅱ）当 n＝8 时， ．∵ ， 2 15 − 33 1 2 6a a+ = 12 6a d+ = 2d = 1 2a∴ = 2 2( 1) 2na n n= + − =∴ 1 22, 2 4b b q= = = 2q = 2n nb∴ = 2 2n n na b n+ = + ( )2 2 1(2 4 2 ) 2 2 2 2 2n n nS n n n += + + + + + + + = + + −  (0.005 0.012 0.035 0.015 0.003) 10 1a+ + + + + × = 0.03a = 5 0.005 10 15 0.012 10 25 0.03 10 35 0.035 10 45 0.015 10 55 0.003 10 30.2 x − = × × + × × + × × + × × + × × + × × = 1 2 3 4 5 6 7 47n − + + + + + += = _ 10 15 12 20 25 30 35 217m + + + + + += = 7 1 ( )( ) (1 4) (10 21) (2 4) (15 21) (3 4) (12 21) (4 4) (20 21) (5 4) (30 21) (6 4) (25 21) (7 4) (35 21) 113 i i in n m m − − =∑ − − = − × − + − × − + − × − + − × − + − × − + − × − + − × − = 113 28b ∧ = 113 3421 428 7a ∧ = − × = 113 34 28 7m n ∧ = + 113 34 260828 7 7m = × + = 260 30.2 47 − >∴估计小张“宅”家第 8 天是“有效运动日”…………………………12 分 19．（1）证明： 20．（1）由题意得 解得 ,故椭圆 C 的方程为 ………………4 分 （2）设 ， ，直线 PQ 的方程为 ，由 得 ． ∴ ………………………………………………6 分 由 A,P,M，三点共线可知， ，所以 ； 同理可得 …………………………………………………………………8 分 所以 ． 2 2 2 1 ,2 12 , 7 5 , ce a b a b c  = =  = +  + = 4 2 3 2 a b c =  =  = 2 2 116 12 x y+ = 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 3x my= + 2 2 1,16 12 3 x y x my  + =  = + 2 2(3 4) 18 21 0m y my+ + − = 1 2 1 22 2 18 21, ,3 4 3 4 my y y ym m − −+ = =+ + 443 16 1 1 += + x yyM 43 28 1 1 +⋅= x yyM 43 28 2 2 +⋅= x yyN 1 2 1 2 1 2 9 16 16 16 49 ( 4)( 4)3 33 3 N M NM y y yy y yk k x x = × = = + +− − ……………………………………12 分 ( ) ( ) .2 2 2 2 3 2223 1 3 1,222222 1 22,32,2,3 1 3 22222 1 3 1 //, ,,,2 1 //2 // // //2 1//,2 1//,,118. 的距离为到平面故点 中，在 的距离为到平面点平面故正方形 为四边形平面 的距离，设为又点到平面的距离等于到平面点平面 平面 平面，平面又为平行四边形四边形 且，连接中点证明：取 PCDE dddSVS PDPCCDPCDVV ABPADCADBCPADABADAB ABCDABPAABCDPAVVVV PCDFPCDEDCPEF DCPEF DCPDGDCPEFDGEFEFDG EGDFEGDFBCEGBCDFEGDGGPC PCDPCDFPCD PCDFPADC PADCPCDAPCDAPCDF =∴=××=××==××=∴ ===∆=∴=××××= ∴⊥⊥∴ ⊥∴⊥== ∴ ∴ ⊂⊄∴∴ =∴ −∆ −− −−−−      EFGD ……………………………………6 分 (2)∵ PCDEV − PCDEV − PCDEV − 3 4 3 2因为 ，……………10 分 所以 …12 分 21．（1）∵ , ,∴ . 设 , , ∵ 是定义域上的单调函数,函数 的图象为开口向上的抛物线, ∴ 在定义域上恒成立,即 在 上恒成立. 又二次函数图象的对称轴为 ,且图象过定点 , ∴ 或 ,解得 . ∴实数 的取值范围为 . …………………………………………………………4 分 （2）由（1）知 的两个极值点 , 满足 , 所以 , , 不妨设 ,则 在 上是减函数,∴ , ∴ 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) ( 7)( 7) 7 ( ) 49x x my my m y y m y y+ + = + + = + + + 2 1 2 1 2 2 21 2 1 2 2 2 211616 123 4 21 187 ( ) 49 77 493 4 3 4 y y mk k mm y y m y y m mm m −× += = = −− −+ + + × + × ++ +. …………………………………………………………… …8 分 令 ,则 ,又 ,即 , 解得 ,∴ . 设 , 则 ,∴ 在 上单调递增, ∵ , ,∴ , 即 . 所以 的取值范围为 ………………………………………12 分 22．（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为： ，即 ； 直线 的参数方程化为普通方程为： ． ………………………………5 分 （2）直线 的参数方程化为标准形式为 ，① 将①式代入 ，得： ，② 由题意得方程②有两个不同的根，设 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何 意义知： ． …………………………………………………………10 分 23．（1）因为 ，所以 C 2 2 3x y x y+ = − 2 21 3( ) ( ) 12 2x y− + + = l 3 3 2 0x y+ + − = l 11 ,2 ( ) 32 2 x m m y m  = − −  = + 是参数 2 2 3x y x y+ = − 2 (2 3 3) 6 2 3 0m m+ + + + = 1 2,m m 1 2PM PN m m⋅ = ⋅ = 6 2 3+ ( ) | | | | | | | |f x x m x x m x m= − − ≤ − − = max( ) | |f x m=在 上恒成立 解得 ， ……………………………………………………5 分 （2） ，即 ， 所以 …………10 分 ( ) 2f x