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房山区 2020 年高考第二次模拟检测
高三数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）在△ 中，若 ， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）函数 的最小正周期为
（A） （B）
（C） （D）
（4）若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（5）函数 的零点个数为
（A） （B）
（C） （D）
（6）“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
U = R 2{ | 0}A x x x= − > U A =
( ,0] [1, )−∞ +∞ ( ,0) (1, )−∞ +∞
(0,1) [0,1]
ABC π
4A = π
3B = 2 3a = b =
2 3 3 2
2 6 3 3
( ) sin π cos πf x x x=
1 2
π 2π
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > (1, 3)
2 3
2 5
2( ) exf x x= −
0 1
2 3
sin sinα β≠ α β≠第 2 页
2
2 22
俯视图
左视图主视图
（7）已知函数 ，则
（A）是奇函数，且在 上是增函数
（B）是奇函数，且在 上是减函数
（C）是偶函数，且在 上是增函数
（D）是偶函数，且在 上是减函数
（8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为
（9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的
温度 可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于
的常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却， 分钟以后物体的温度是 ，则 约等
于（参考数据： ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家
超市分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次．已知 月 日李明分别去了这四家超市配
送，那么整个 月他不用去配送的天数是
（A） （B）
（C） （D）
（A） （B）
（C） （D）
( ) lg |1 | lg |1 |f x x x= + + − ( )f x
(1, )+∞
(1, )+∞
(1, )+∞
(1, )+∞
1 Cθ
0 Cθ t
Cθ
0 1 0( )e ktθ θ θ θ −= + − k
0 80 C 20 C 4 40 C k
ln3 1.099≈
0.6 0.5
0.4 0.3
2 3 5 6 5 1
5
12 13
14 15
2 2 2
2 3 4第 3 页
E A1
B1
C1C
A
B
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）若 （ ），则 ．
（12）若直线 与圆 相切，则 ．
（13）已知抛物线 : 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，则点 的横坐标是
，△ （ 为坐标原点）的面积为 ．
（14）已知正方形 的边长为 ，若 ，则 的值为 ．
（15）对任意两实数 ， ，定义运算“ ”： 给出下列三个结论：
①存在实数 ， ， 使得 成立；
②函数 的值域为 ；
③不等式 的解集是 ．
其中正确结论的序号是 ．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其他得 3
分。
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正方形，平面 平面 ，
， ，点 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
0
( i)(1 i) 1 3im + + = + m∈R m =
3x = 2 2 2 0x y x a+ − − = a =
C 2 2y x= F M C | | 1MF = M
MOF O
ABCD 2 3BP PD= PA PB⋅
a b ∗ 2 2 , ,
2 2 , .
a b a ba b b a a b
−∗ = − 1 2, ,k ka a S +
k
1 2 0n na a+ − = 1 ( 2)n nS S n n−= + ≥ 2
nS n=
10 12
14 16 10 1 7
1 2 3 4 5 6 7
10 11526 18005 19682 8284 13830 10101 6663
12 26518 37089 42931 16845 34017 23168 14800
14 37322 38045 40631 20711 36558 24706 15125
16 27306 29687 30638 16181 20821 16169 10866
40% 8
10 1 7 1 14
10 1 7 4 X
X
10 1 7 12 12
C ( 2,0)A − (2,0)B x 1
2
C
O P C Q P x AP BQ M
P M 4 OM第 5 页
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域；
（Ⅱ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅲ）求证：当 时， ．
（21）（本小题 14 分）
已知集合 的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合 分成元素个数相同且两两
没有公共元素的三个集合 ， ， ，即 ， ， ， ，其
中 ， ， ，且满足 ， ，
，则称集合 为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合 ， ，判断集合 和集合 是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合 为“完美集合”，求正整数 的值；
（Ⅲ）设集合 ，证明：集合 为“完美集合”的一个必要条件是 或
．
cos( ) e1 sin
xxf x x
= ++
( )f x
( )f x (0 (0))f，
π π( , )2 2x∈ − ( ) 2f x ≥
P 3n ( )n∈ *N P
A B C P A B C= A B = ∅ A C = ∅ B C = ∅
1 2{ , , , }nA a a a= 1 2{ , , , }nB b b b= 1 2{ , , , }nC c c c= 1 2 nc c c< < = = =
×
1 2 0n na a+ − = 1 2n na a+ = 1 2n
n
a
a
+ =
1 1a = { }na
1 1
1 2n n
na a q − −= =
12k
ka −=
2 2
21
2
(1 ) 1 2 2 11 1 2
k k
k
k
a qS q
+ +
+
+
− −= = = −− −
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka a S += ⋅
1 2(2 )k− 22 1k+ −
2(2 ) 16 2 4 0k k⋅ + =－
2 8 2 15k = ±
k 1k > k
12 n n nn a S S n−≥ = − =时，
1 1a = na n=
{ }na
ka k=
1 2
2
( )( 2) (1 2)( 2) ( 3)( 2)
2 2 2
k
k
a a k k k k kS +
+
+ + + + + + += = =第 8 页
若 成等比数列，则
即
因为 为正整数且 ，所以解得
选择③
当 ，
因为 符合上式，所以 ．
是以 1 为首项，2 为公差的等差数列．
所以 ，
若 成等比数列，则
即
因为 为正整数且 ，所以解得
（18）（本小题 14 分）
（Ⅰ）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于 万，
所以 月 日至 日中下午 时舒适度为“舒适”的天数为 天，
因此甲同学从 月 日至 日中随机选 天的下午 时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为
．
（Ⅱ）这记这两天中这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为 ，则 的可能取值为
月 日至 日中这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的有 天，则
的分布列为
所以 的期望
（Ⅲ）从 月 日开始连续三天的在园人数的方差最大．
（19）（本小题 14 分）
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka a S += ⋅
2 ( 3)( 2)
2
k kk
+ +=
k 1k > 6k =
2 2
12 ( 1) 2 1n n nn a S S n n n−≥ = − = − − = −时，
1 1a = 2 1na n= −
{ }na
2 1ka k= − 2 2( 2) 1 2 3ka k k+ = + − = +
21 2
2
( )( 2) (1 2 3)( 2) ( 2)2 2
k
k
a a k k kS k+
+
+ + + + += = = +
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka a S += ⋅
2 2(2 1) ( 2)k k− = +
k 1k > 3k =
408 3.2100
× =
10 1 7 14 3
10 1 7 1 14
3
7
4 X X 0,1,2
10 1 7 4 3
2
4
2
7
2( 0) 7
CP X C
= = =
1 1
4 3
2
7
4( 1) 7
C CP X C
= = =
2
3
2
7
1( 2) 7
CP X C
= = =
X
X 0 1 2
P 2
7
4
7
1
7
X 2 4 1 60 1 27 7 7 7EX = × + × + × =
10 2第 9 页
解：
（Ⅰ）
设椭圆 的方程为 .
依题意， ， .
得 ， .
所以，椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）依题意，可设 （ 且 ），则 .
点 在椭圆 上，则 ，
的斜率为 ，直线 方程为 ，
的斜率为 ，直线 的方程为 .
设 ，由
得 ，所以 的坐标为 .
所以 ， 的横坐标之积等于 .
，
由 ，
所以， 的取值范围是 .
（20）（本小题 15 分）
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2a = 1
2
c
a
=
1c = 2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
( , )P m n 2 2m− < < 0m ≠ ( , )Q m n−
P C
2 2
14 3
m n+ =
AP 1 2
nk m
= + AP ( 2)2
ny xm
= ++
BQ 1 2
nk m
−= − BQ ( 2)2
ny xm
−= −−
( , )M x y
( 2)2
( 2)2
ny xm
ny xm
= + + − = − −
4
2
x m
ny m
=
=
M 4 2( , )n
m m
P M 4 4m m
⋅ =
2 2 2 2
2 2 2
4 2 16 4 28 3 28 3n n mOM m m m m m
+ − = + = = = −
20 4m< <
OM ( )2,+∞第 10 页
解：（Ⅰ）由 ，得
所以 的定义域为
（Ⅱ）
（ ）
所以，曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅲ）法一：由 ，
令 ，则
当 时， ，则 在 上单调递增，且
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
的极小值为
所以，当 时，
法二：
当 时， ；
当 时，
，所以当 时， ， 单调递减，
当 时，
，所以当 时， ， 单调递增，
的极小值为
所以，当 时，
（21）（本小题 14 分）
sin 1x ≠ − π 2 π( )2x k k≠ − + ∈Z
( )f x π{ | 2 π( )}2x x k k≠ − + ∈Z
0cos0(0) e 21 sin 0f = + =+
2
2
sin (1 sin ) cos 1( ) e e(1 sin ) 1 sin
x xx x xf x x x
− + −′ = + = − ++ +
π 2 π( )2x k k≠ − + ∈Z
(0) 0f ′ = ( )f x (0 (0))f， 2y =
1( ) e1 sin
xf x x
′ = − ++
1( ) e1 sin
xg x x
= − ++ 2
cos( ) e(1 sin )
xxg x x
′ = ++
π π( , )2 2x∈ − ( ) 0g x′ > ( )g x π π( , )2 2
− (0) 0g =
π( ,0)2x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
π(0, )2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (0) 2f =
π π( , )2 2x∈ − ( ) 2f x ≥
1( ) e1 sin
xf x x
′ = − ++
0x = 01(0) e 01 sin 0f ′ = − + =+
( ,0)2x
π∈ − sin ( 1,0),x∈ − 1 sin (0,1),x+ ∈ 1 1(1, ), ( , 1),1 sin 1 sinx x
−∈ +∞ ∈ −∞ −+ +
2e (e ,1)x
π−∈ ( ,0)2x
π∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )2x
π∈ sin (0,1),x∈ 1 1 1 11 sin (1,2), ( ,1), ( 1, ),1 sin 2 1 sin 2x x x
−+ ∈ ∈ ∈ − −+ +
2e (1,e )x
π
∈ (0, )2x
π∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (0) 2f =
π π( , )2 2x∈ − ( ) 2f x ≥第 11 页
解：
（Ⅰ）将 分为集合 满足条件，是完美集合．
将 分成 个，每个中有两个元素，若为完美集合，则 ，
中所有元素之和为 ， ，不符合要求；
（Ⅱ）若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 ，
若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 ，
若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 ，
故 的一个可能值为 中任一个；
（Ⅲ）证明：P 中所有元素之和为
∵
∴
∴ ，等号右边为正整数，
则等式左边 可以被 整除，
∴ 或 ，即 或 ．
P {1},{2},{3}
Q 3 1 1 1a b c+ = 2 2 2a b c+ =
Q 21 1 221 2 10.5 10.5c c÷ = = + =
{1,4}A = {3,5}B = {6,7}C =
{1,5}A = {3,6}B = {4,11}C =
{1,3}A = {4,6}B = {5,9}C =
x 7,9,11
3 (3 1)1 2 3 2
n nn
++ + + =
1 1 1 2 2 2 n n na b c a b c a b c= + + + + + + + +
1 2 12( )n nc c c c−= + + + +
3nc n=
1 2 1
3 (3 1) 34 n
n n c c c n−
+ = + + + +
1 2 1
9 ( 1)
4 n
n n c c c −
− = + + +
9 ( 1)n n − 4
4n k= 1 4n k− = ( )n∈ *N 4n k= 4 1n k= + ( )n∈ *N
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