2019—2020 学年高三年级第四次模拟考试
理科数学
本试卷共 8 页．本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清
楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答
题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 设集合 ，则
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
3．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019 年全年总收入与 2018 年全年总收
入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是
2{ 6 0}, { 2 1, }A x x x B x x k k= − − ≤ = = − ∈Z A B =
{ 1, 1}− {1, 3} { 1, 1, 3}− { 1, 3}−
z 3 i+
i
z =
1 3i− − i3− + 1 3i− + i3− −x
y
O . .
2
π π O . .
2
π π x
y
O x
y
. .
2
π π
2
π π. .O x
y
开始
输入 ,a b
输出 n
结束
否
是
1n n= +
b b b= +
0n =
A．该企业 2019 年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的 50%
B．该企业 2019 年设备支出金额及原材料的费用均与 2018 相当
C．该企业 2019 年工资支出总额比 2018 年多一倍
D．该企业 2018 年与 2019 研发的总费用占这两年总收入的 20%
4．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中真命题的个数是
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
5．记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则
A． B． C．4 D．2
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长
六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解
决此问题的一个程序框图，其中 为松长， 为竹长，则菱形框与矩形
框处依次填
A． B．
C． D．
7．函数 的部分图象大致是
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左右焦点为 ，过 作 轴的垂线与 相交于
nS { }na 4 50 5S a= =， d =
1
2
1
4
a b
?; 2
aa b a a< = + ?; 2a b a a a< = +
?; 2
aa b a a≥ = + ?; 2a b a a a≥ = +
ln( ) sin xf x x x
= +
( )2 2
2 2: 1 , 0x yC a ba b
− = > 1 2,F F 2F x C两点， 与 轴相交于 ，若 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
9．已知函数 是定义域为 偶函数，且在 单调递增，设
，则 的大小关系是
A． B． C． D．
10．把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不
变）后得到函数 的图象，对于函数 有以下四个判断：①该函数的解
析式为 ；②该函数图象关于点 对称；③该函数在 上是
增函数；④函数 在 上的最小值为 ，则 ．其中，正确判
断的序号是
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
11．已知圆 ： ，点 是圆 上的动点，点 ，线段 的中垂
线交 于 ，当 最大时， 所在直线的方程是
A． B． C． D．
12．已知 存在唯一零点，则实数 的取值范围
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知非零向量 ， 满足 ，则 .
14.二项式 的展开式的常数项是 .（用数字作答）
15.设数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，
是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.
,A B 1F B y D 1BF AD⊥ C
2 3 2 3
( )y f x= ( , )π π− (0, )π (log 3),a f π=
1
3
1
3
(log 9), ( )b f c f π= = , ,a b c
b c a> > a b c> > c b a> > b a c> >
sin2y x= x
6
π
( )y f x= ( )y f x=
2sin 2 3y x
π = + ,03
π
0, 6
π
( )y f x a= + 0, 2
π
3 2 3a =
C 2 2( 1) 12x y− + = P C ( 1, 0)M − PM
PC Q MQC∠ QM
2( 1)y x= ± + 2( 1)y x= ± + 1 ( 1)2y x= ± + 2 ( 1)2y x= ± +
( ) ( ) sin ( 0)x xf x a e e x aπ−= − − > a
( , )2
π +∞ [ , )2
π +∞ 1( , )2
+∞ 1[ , )2
+∞
a b | | = | |−a a b 1( )2
− ⋅ =a b b
61(2 )x x
−
{ }na n nS 1
12 2n n nS a −− = 2020S =E A
B C
M
D
P
A
B CD
如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可
以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则
该球表面积的最大值为____．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
为正三角形， ， 为线段 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小．
18.（本小题满分 12 分）
如 图 ， 点 在 的 边 上 ，
（1）求 和 ；
（2）若 ，求 .
19.（本小题满分 12 分）
设函数 （ ）， .
（1）求 的极值；
（2）当 时，函数 的图象恒在直线 的上方，求实数 的取值
范围；
2
P ABCD− ABCD 60ABC∠ = PAB∆
6PC = E AB
PE ⊥ ABCD
3PM PD= M EC D− −
D ABC∆ BC , 5, 1.4ADC AB BD
π∠ = = =
AD sin B
(1 tan )(1 tan ) 2B C+ + = sinC
( ) 1f x mx= + m∈R ( ) lng x x=
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
0 1x< < 1( ) ( 1)y a g xx
= + + 1y = a……
……
1
1
2
2
n
n
A B方案①：
……1
1
2
2
n
nA B方案②：
20.（本小题满分 12 分）
随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科
——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组
成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．
现 有 （ ， ） 种 电 子 元 件 ， 每 种 2 个 ， 每 个 元 件 的 可 靠 性 均 为
（ ）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这 个元件
组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从 A 到 B 的电路为通路状态时，
系统正常工作．
（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性 、 （用 和 表示）；
（ii）比较 与 的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；
（2）设 ， ，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的
元件个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
21.（本小题满分 12 分）
已知 为坐标原点，直线 过椭圆 右焦点 且交椭圆
于 两点， 为直线 上动点，当 时，直线 平分线段 ．
（1）求椭圆方程；
（2）记直线 斜率分别为 ，直线 斜率为 ，求证： ．
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题
计分．
n *n∈N 2n ≥ p
0 1p< < 2n
1P 2P n p
1P 2P
4n = 4
5p =
X X
O : 1l x my= +
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
+ = > > F
,A B P 4x = PF l⊥ OP AB
,PA PB 1 2,k k PF k 1 2 2k k k+ =22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，将曲线 ( 为参数) 上任意一点 经
过伸缩变换 后得到曲线 ．以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极
坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点， ，求 的值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲
若关于 的不等式 在实数范围内有解．
（1）求实数 的取值范围；
（ 2 ） 若 实 数 的 最 大 值 为 ， 且 正 实 数 满 足 ， 求 证 ：
.
xOy 1
1 cos: 2sin
xC y
θ
θ
= +
=
θ ( , )M x y
' 2
'
x x
y y
=
= 2C O x
l (cos sin ) 1ρ θ θ+ =
l 2C
l 2C ,A B (1, 0)P || | | ||PA PB−
x | 2 2 | | 2 1| 0x x t+ − − − ≥
t
t m , ,a b c 2 3a b c m+ + =
1 2 3a c b c
+ ≥+ +2019—2020 学年高三年级第四次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分）
（1）C （2）A （3）B （4）B （5）D （6）C
（7）C （8）B （9）A （10）D （11）A （12）B
二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分）
（13） 0 （14）240 （15） （16） ；
三、解答题
17. 解：（1）证明：连接 ，
∵ 是边长为 2 的正三角形，且 是 中点，∴
又∵ 是边长为 2 的菱形， ，∴ 是正三角形， ，
又∵ ，∴ ，即 ，又 ， ，
∴ 平面 ． ………6
分
（2）由（1）可得：以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空
间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ．
设点 坐标为 ，由 ，得
，∴ ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
1010
2 1( 1)3 4
− 2
3
16
27
π
CE
PAB△ E AB 3PE =
ABCD 60ABC∠ = ABC△ 3CE =
6PC = 2 2 2PC PE CE= + PE CE⊥ PE AB⊥ CE AB E=
PE ⊥ ABCD
E EB EC EP x y z
E xyz−
( )0 0 0E ，， ( )1 0 0B ，， ( )0 0 3P ，， ( )0 3 0C ， ， ( )2 3 0D − ， ，
M ( )x y z， ， 3PM PD=
( ) ( )3 3 2 3 3x y z − = − −， ， ， ， 2 3 2 3
3 3 3M
−
， ，
2 3 2 3
3 3 3EM
= −
， ， ( )0 3 0EC = ， ，
CEM ( )x y z= ， ，n
A
B C
D
P
E
x y
z
M则 ，解得 ．
∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ． ………12
分
18. 解：解：（Ⅰ） ，设 ，
在 中, ，即
，解得 （舍）， ，
. 在 中， .
故 ， . ………6
分
（Ⅱ）由 得
，
,
由（1）知 ，
.………12
分
19. 解：（1）∵ ， ，∴ ， .
当 时，∵ ，∴ ，所以 在区间为 单调递减，所以 无极
2 3 2 3 03 3 3
3 0
EM x y z
EC y
⋅ = − + + =
⋅ = =
n
n
( )3 0 1= ，，n
PE ⊥ ABCD ABCD ( )0 0 1= ，，m
cos = 1 1= =2 1 2
⋅= ⋅ ×， n mn m n m
M EC D− − 60°
3
4 4ADB
π ππ∠ = − = AD x=
ABD∆ 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠
2 25 1 2 ( )2x x= + − × − 2 2x = − 2x =
2AD∴ = ABD∆
22sin 52sin 55
AD ADBB AB
×∠= = =
2AD = 5sin 5B =
(1 tan )(1 tan ) 2B C+ + =
tan tan 1 tan tanC B C B+ = − tan tantan tan( ) 11 tan tan
C BBAC C B C B
+∠ = − + = − = −−
(0, )BAC π∠ ∈
3
4BAC
π∴∠ =
5sin 5B = (0, )2B
π∈
2 1 2 5cos 1 sin 1 5 5B B∴ = − = − =
2 10sin sin( ) (cos sin )4 2 10C B B B
π= − = − =
( ) 1 lnh x mx x= + − 0x > 1 1( ) mxh x m x x
−′ = − = 0x >
0m ≤ 0x > ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )+∞ ( )h x值；
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时，
所以 在区间为 递减，在区间为 递增，所以当 时 取得极小值
，无极大值. ………
5 分
（2）由题可知，不等式 对 恒成立.
当 时，取 代入上述不等式，此时 ，不符合题意；
当 时，因为 在 上恒成立，
所以不等式等价于
令 ， .则 ， .
当 ， ，所以 在 递减，所以 ，不符合题意；
当 ，即 时， ，所以 在 递增，所以 ，
，符合题意；
当 ，即 且 时，取 ，当 时，必有
，所以 在 上递减，所以 ， ，不符合题意.
综上： 的取值范围是 . ………
12 分
20. 解：（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性 ；
按方案②建立的电路系统的可靠性为 ；
（ii） ．
令 ， 且 ，则 ．
当 时， ，从而 ，所以 在 上单调递增；
0m > ( ) 0h x′ = 1x m
= 1(0, )x m
∈ ( ) 0h x′ < 1( , )x m
∈ + ∞
( ) 0h x′ >
( )h x 1(0, )m
1( , )m
+∞ 1x m
= ( )h x
1( ) ln 2h mm
= +
1( )ln( 1) 1a xx
+ + > (0, 1)x∈
1a < − 1 (0,1)x a
= − ∈ 0 1>
1a ≥ − 1 1 0axax x
++ = > (0,1)x∈
ln( 1) 0 (0 1)1
xx xax
+ − > < =
0 1x< <
2
1 2 0a
a
− > 11 2a− ≤ < 0a ≠ 0 2
1 2min{ ,1}ax a
−= 0(0, )x x∈
( ) 0F x′ < ( )F x 0(0, )x ( ) (0) 0F x F< = 0(0, )x x∈
a 1
2a ≥
( ) ( )2
1 1 1 2n n nP p p p= − − = −
( ) ( )2
2 1 1 2
n nnP p p p = − − = −
( )1 2 2 2 nn nP P p p p − = − − −
( ) ( )2 2 nnf x x x= − − − *n∈N 2n ≥ ( ) ( ) 1 12 n nf x n x x− − ′ = − −
( )0,1x∈ ( ) 1 12 1n nx x− −− > > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1当 时， ，即 ．
所以， ，按方案②建立的电路系统更稳定可靠． ………
6 分
（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，
且有一个损坏的条件概率为 ，由此可知， ．
， ，
，
， ；
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
． ………12 分
21. 解：（1）由 联立并化简得 ，
设 ，则 ，
设 中点 ，则
，
( )0,1p∈ ( ) ( )1 0f p f< = ( )2 2 0nnp p− − − <
1 2P P<
( )
( )
1
2
2
1 1
31 1
C p p
p
− =
− −
14, 3X B
( ) 42 160 3 81P X = = =
( ) 3
1
4
1 2 321 3 3 81P X C = = ⋅ ⋅ =
( ) 2 2
2
4
1 2 82 3 3 27P X C = = =
( ) 3
3
4
1 2 83 3 3 81P X C = = ⋅ ⋅ =
( ) 4
1 14 3 81P X = = =
X
X
P 16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
( ) 1 44 3 3E X = ⋅ =
2 2
2 2 1
1
x y
a b
x my
+ =
= +
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b m a y b my b a b+ + + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2 2 2
2 ,b m b a by y y yb m a b m a
− −+ = =+ +
AB 0 0( , )M x y
2 2
1 2
0 0 02 2 2 2 2 2, 12
y y b m ay x myb m a b m a
+ −= = = + =+ +
2 2
2 2 2 2 2 2( , )a b mM b m a b m a
−
+ +
2
2OM
b mk a
−=设 ， ， ， ，
依题意， ，即 ， ，得 ，
又 ，解得 ，椭圆方程为 ．………6 分
（2）由（1）知 ，
，
所以 ． ………12 分
（22）解：（1）设曲线 上任意一点 ，则有 .
消去 得 .
所以，曲线 的直角坐标方程为 .
由 得 的普通方程为 . ………
5 分
（ 2 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 . 将 其 代 入 得
，
设 对应的参数分别为 ，则 ，
(4, )P n 3FP
nk = 1
lk m
=
4OP
nk =
OM OPk k=
2
2 4
b m n
a
− = 13FP l
nk k m
= = −
2
2
3
4
b
a
=
2 2 2 1a b c− = = 2 24, 3a b= =
2 2
14 3
x y+ =
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
− −+ = =+ + 3FP
nk k= =
1 2 1 2
1 2
1 2 1 24 4 3 3
y n y n y n y nk k x x my my
− − − −+ = + = +− − − −
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 3( ) ( ) 6
3 ( ) 9
my y y y nm y y n
m y y m y y
− + − + += − + +
2
2 2 2
2 2
2 2
18 18 6 63 4 3 4 3 4
9 18 93 4 3 4
m m nm nm m m
m m
m m
− + + ++ + += − + ++ +
2 2
2 2
6 6 (3 4) 2
9 27 36 3
nm n m n
m m
+ += =+ +
1 2 2k k k+ =
2C ( , )M x y′ ′ ′ ' 2(1 cos )
' 2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ 2 2 4 0x y x′ ′ ′+ − =
2C 2 2 4 0x y x+ − =
(cos sin ) 1ρ θ θ+ = l 1 0x y+ − =
l
21 2 ( )
2
2
x t
t
y t
= −
=
为参数 2 2 4 0x y x+ − =
2 + 2 3 0t t − =
,A B 1 2,t t 1 2 1 22, 3t t t t+ = − = −
1 2 3 0t t = − 0y b c= + > 2 3x y+ =
1 2 1 2 2 1 2 2 1( ) (5 ) (5 2 4) 33 3 3
x y y x
a c b c x y x y
++ = + = + + ≥ + =+ +
微信/支付宝扫码支付