数学 Ⅰ 试题 2020．6
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把
答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．已知集合 { | 1} {1 2 3}A x x B ， ， ， ，则 A B ▲ ．
2．已知复数 2 iz （其中i 为虚数单位），若
i ( )i
z a b a b R， ，则 ab的值为 ▲ ．
3．已知一组数据 4 7 5 8a， ， ，， 的平均数为 6，则该组数据的标
准差是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2
2
1 1 ( 0)xC y mm ：
的一条准线与抛物线 2
2 2C x y： 的准线重合，则正数 m 的
值是 ▲ ．
5．运行如图的程序框图，则输出的结果是 ▲ ．
6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中
国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之
理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图
的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，
三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中
白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则
其差的绝对值为 5 的概率为 ▲ ．
7．已知{ }na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，若 2 55 2a a ，则 15S
的值是 ▲ ．
8．圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于
容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 5 cm3
，
则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm ．
注 意 事 项
在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）．本卷满分 160
分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定
位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫
米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
（第 6 题图）
（第 6 题图）
开始
结束
输出 a
N
Y
（第 5 题图）
2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟卷
9．若直线 1y kx 与曲线 y x 相切，则实数 k 的值为 ▲ ．
10．计算： 2
tan12 3
(4cos 12 2)sin12
▲ ．
11．已知向量 ，a b ，满足| | 3b ， | |a b a ，则| |a b 的最小值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A B， 为圆 2 2( ) ( 2) 4C x m y ： 上两个动点，且
2 3AB ．若直线 2l y x ： 上存在点 P ，使得OC PA PB ，则实数 m 的取值范
围为 ▲ ．
13 ． 已 知 函 数
31 1 1 1 13 4 4 2( ) 1 1 103 6 2
x x x
f x
x x
， ≤ ，
，≤ ≤ ，
( ) e 2 ( )xg x ax a R ， 若 存 在
1 2 [0 1]x x ， ， ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
14．已知在锐角三角形 ABC 中， AH BC 于点 H，且 2 2
9 4 (4 9 )BA CA AH CA BA ，
若 2BC ，则 sin sin
sin
B C
A
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在 ABC△ 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，且
3B ．
（1）若 2 3b ， 2a ，求c 的值；
（2）若 13cos 13A ，求cosC 的值．
16．（本小题满分 14 分）
已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C ， E F， 分别是 1BC AA， 的中点， 1CB CC ， AC BC ．
求证：（1） EF ∥平面 1 1BAC ；
（2） 1EF B C ．
E
F
A1 C1
B1
B
CA
（第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分）
如图，已知边长为 2 的正方形材料 ABCD ,截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一
个正四棱锥的封闭容器．设 FCB ．
（1）用 表示此容器的体积，
（2）当此容器的体积最大时，求 tan 的值．
18．（本小题满分 16 分）
如图，点 F 为椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x yC a ba b ： 的左焦点，点 A B， 分别为椭圆C 的右顶
点和上顶点，点 6( 2 )2P ， 在椭圆C 上，且满足OP AB∥ ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过定点 ( 0) (| | 2)T m m ， 且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 M N， 两点，直线
4x 分别交直线 AM AN， 于点 D E， ，求证：以 DE 为直径的圆经过 x 轴上的两
定点（用 m 表示）．
（第 17 题图）
（第 18 题图）
y
x
P
F O A
B
19．（本小题满分 16 分）
若数列{ }nc 满足：存在实数t ，使得 2
2 1 2 1 12 ( )m n m nc c c t m n 对任意 *m n N，
都成立，则称数列{ }nc 为“t 倍等阶差数列”．已知数列{ }na 为“t 倍等阶差数列”．
（1）若 1 2 3
10 12a a a ， ， ，求实数t 的值；
（2）在（1）的条件下，设 *
2 1 2 1 ( )n n nb a a n N ．
①求数列{ }nb 的通项公式；
②设数列
1
1{ }
n nb b
的前 n 项和为 nS ，是否存在正整数 p q， ，且1 p q ，使得
1 p qS S S， ， 成等比数列？若存在，求出 p q， 的值，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ( ) ln ( 0)af x x xx ．
（1）求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）若函数 ( )f x 在定义域内有两个零点，求 a 的取值范围；
（3）若对任意 (0, )x ，不等式 2( ln 1) (e 1) (2 )exm x x x x x ≥ 恒成立，求 m 的
取值范围．
2020．6
21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作．．
答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
已 知 矩 阵 1 0 1 2
0 2 0 1
，A B ， 若 直 线 l 依 次 经 过 变 换 ，A BT T 后 得 到 直 线
' 2 2 0l x y ： ，求直线 l 的方程．
B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
已知直线l 的参数方程为
12 2
3
2
x t
y m t
，
（t 为参数），点 (1 2)P ， 在直线l 上．
（1）求 m 的值；
（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 4C ： 与直线
l 交于两点 A B， ，求| | | |PA PB 的值．
C ．选修 4 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
设 a b c， ， 都是正数，求证：
2 2 2( ) ( ) ( ) 4( )b c c a a b a b ca b c
≥ ．
注 意 事 项
在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本卷第 21 题有 A、B、C 3 个小题供选做，请在 3 个选做题中选答 2 题．若选做了 3 题，则按选
做题中的前 2 题计分．第 22、23 题为必答题．每小题 10 分，共 40 分．答题时间 30 分钟．答题
结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定
位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫
米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
数学Ⅱ（附加题）
2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟卷
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
某商场在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了 A B， 两种抽奖
方案，方案 A 的中奖率为 2
3
，中奖可以获得 2 分；方案 B 的中奖率为 0 0 ( )01P P ，
中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖
与否互不影响，并凭分数兑换奖品．
（1）若顾客甲选择方案 A 抽奖，顾客乙选择方案 B 抽奖，记他们的累计得分为 X，
若 3X ≤ 的概率为 7
9
，求 0P ；
（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案 A 或都选择方案 B 进行抽奖，问：他们选择
何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
23．（本小题满分 10 分）
已知 2020 2 2020
0 1 2 2020(1 ) .x a a x a x a x
（1）求 1 2 2020a a a 的值；
（2）求
0 1 2 2020
1 1 1 1+a a a a 的值．
数学 Ⅰ 试题
参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1．{2 3}， 2． 2 3． 2 4．3 5． 1
3
6． 1
5 7． 75 8．100 9． 1
4 10． 4
11． 2 2 12．[ 1 5 1 5] ， 13．[2 e + ) ， 14． 6( )5 ，
解答与提示：
1．由交集定义可知 {2 3}A B ， ．
2． i 2 iz a b ，所以 1 2a b ， ，所以 2ab ．
3．由平均数公式得 6a ，所以 2 2 2 21[(4 6) 0 (7 6) (5 6) (8 6) ] 25s ．
4．抛物线 2
2 2C x y： 的准线方程为 1
2y ，双曲线
2
2
1 1xC y m ： 的一条准线方程为
1
1
y
m
，根据题意 1 1
21m
，解得 3m ．
5．分析流程图，可得输出的结果是 1
3
．
6．从阳数和阴数中各取一数，有 25 种取法，其差的绝对值为 5 的有 5 种，所以概率为
5 1
25 5 ．
7 ． 由 2 55 2a a ， 得 1 15 2( 4 )a d a d ， 即 1 7 5a d ， 所 以 8 5a ， 则
15 1 15 8
15 ( ) 15 752S a a a ．
8．设该铁球的半径为 cmr ，则由题意得 3 24 5103 3r ，解得 3 35r ，所以 5r ，所
以这个铁球的表面积 2 24 5 100 cmS ．
9．曲线 y x 在切点 0 0( )x y， 处的切线方程为 0
0
1
22
xy x
x
，所以
0
0
12
1
2
x
k
x
，
，
解得
1
4k ．
2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟卷
10．原式＝
sin12 3cos12
2cos 24 sin12
sin12 3cos12
2cos24 sin12 cos12
2sin(12 60 )
cos 24 sin 24
2sin 48 41 sin 482
．
11． 2 2 2 2| | + 2 + 9 2 | | (| | 1) + 8 2 2≥a b a b a b a a a ，故| |a b 的最小值
为 2 2 .
12．由题意知圆C 的圆心 ( 2)C m， ，半径 2r ．取 AB 的中点Q ，连结CQ ，则 CQ AB ．
所以 2 2 4 3 1CQ r AQ ，所以点Q 在圆 2 2( ) ( 2) 1x m y 上．延长CQ 交
l 于 M．
法 一 ： 因 为 2OC PA PB PQ ， 所 以 1CQ QM ， 所 以 点 M 在 圆
2 2( ) ( 2) 4x m y 上 ， 所 以 直 线 l 与 圆 有 公 共 点 ， 从 而 |2 2 | 2
5
m ≤ ， 解 得
1 5 1 5m ≤ ≤ ．
法二：因为 2OC PA PB PQ ，设 0 0 1 1( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 1 0 1 0( )PQ x x y y ， ，
( 2)OC m ， ， 所 以 1 0
1 0
2( )
2 2( )
m x x
y y
，
， 则 1 0
1 0
2
1
mx x
y y
，
，
因 为 1 1( )Q x y， 在 圆
2 2( ) ( 2) 1x m y 上，所以 2 2
0 0( ) ( 1) 12
m x m y ，即 2 2
0 0( ) ( 1) 12
mx y ，
所以点 P 在以 1( 1)2D m， 为圆心，1 为半径的圆 D 上，又点 P 在直线 2l y x ： 上，所
以直线l 与圆 D 有公共点，所以 | 1| 1
5
m ≤ ，解得 1 5 1 5m ≤ ≤ ．
13．当 10 2x≤ ≤ 时， ( )f x 单调递减， 10 ( ) 6f x≤ ≤ ；
当 1
2 x ≤1时， 2 1( ) 04f x x ≥ 成立， ( )f x 单调递增， 1 1( )6 3f x ≤ ，
所以 ( )f x 的值域为 1[0 ]3A ， ．
设 ( )g x 的值域为 B ，因为存在 1 2 [0 1]x x ， ， 使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，所以 B A ．
( ) e 2xg x ax ， ( ) exg x a ．
① 1a ≥ ，任意 [0 1]x ， ， ( ) 0g x ≥ 成立， ( )g x 在[0 1]， 单调递增，
所以 min( ) (0) 1g x g ， max( ) (1) e 2g x g a ， [ 1 e 2]B a ， ．
因为 B A ，所以 e 2 0a ≥ ， 2 ea ≥ ；
② ea ≤ ，任意 [0 1]x ， ， ( ) 0g x ≤ 成立， ( )g x 在[0 1]， 单调递减，
所以 min( ) (1) e 2g x g a ， max( ) (0) 1g x g ， [e 2 1]B a ， ，
则 B A ，不合题意；
③ e 1a ，令 ( ) e 0xg x a ， ln( )x a ，
( )g x 在 (0 ln( ))a， 递减，(ln( ) 1)a ， 递增，
所以 min( ) (ln( )) 2 ln( )g x g a a a a ， max( ) max{ (0) (1)}g x g g ， ．
又 (0) 1 0g ， (1) e 2 0g a ，则 B A ，不合题意．
综上所述， 2 ea ≥ ．
解：法一：由 2 2
9 4 (4 9 )BA CA AH CA BA ，得 2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH ，
所以9 4BA BH CA CH ，即 2 2
9 4BH CH ， 2
3BH CH ．设 BC 边上的高为 h ，
则 5tan 4
hB ， 5tan 6
hC ，所以 2
5 5
504 6tan 05 5 25 241 4 6
h h
hA h h h
，所以 2 6
5h
因为△ABC 的面积 1 1sin2 2S bc A ah ，所以 2 sin sinR B C h ，
所以 sin sin 6
sin 2 5
B C h
A ．
法二：由 2 2
9 4 (4 9 )BA CA AH CA BA ，得 2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH ，
所以9 4BA BH CA CH ，即 2 2
9 4BH CH ， 2
3BH CH ，所以 2 24 tan 9 tanB C ．
以 BC 中点为原点 O，BC 为 x 轴建立坐标系，则 ( 1 0) (1 0) ( )B C A x y ， ， ， ， ， ，
从而
2 2
2 2
4 9
( 1) ( 1)
y y
x x
，即 15 ( ) 5x x 舍去 或 ．设 BC 边上的高为 h ．
因为△ABC 的面积 1 1sin2 2S bc A ah ，所以 2 sin sinR B C h ，即 sin sin
sin 2
B C h
A ．
由
2 2 1
1
5
x y
x
，
，
得 2 24
25y ．因为△ABC 为锐角三角形，所以 2 6
5h ，
所以 sin sin 6
sin 2 5
B C h
A ．
法三：由 2 2
9 4 (4 9 )BA CA AH CA BA ，得 2 2
9 9 4 4BA AH BA CA CA AH ，
所以9 4BA BH CA CH ，即 2 2
9 4BH CH ， 2
3BH CH ．
因为角 A 为锐角，所以 2 26( ) ( ) 025AB AC AH HB AH HC AH BC ，
所以 2 6
5h ．因为△ABC 的面积 1 1sin2 2S bc A ah ，所以 2 sin sinR B C h ，
所以 sin sin 6
sin 2 5
B C h
A ．
法四：设| | | | | |AH h BH x CH y ， ， ，因为 2 2
9 4 (4 9 )BA CA AH CA BA ，
所以 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
9( ) 4( ) 4 ( ) 9 ( )h hh x h y h h y h h x
h y h x
，
所以 2 2 2 25 9 4 5h x y h ，所以3 2x y ，又因为 2x y ，所以 4 6
5 5x y ， ．
又因为 cos 0A ，所以 2 2 2c b a ，所以 2 2 2 24 6( ) ( ) 45 5h h ，所以 2 24
25h ，
所以 2 6
5h ．因为△ABC 的面积 1 1sin2 2S bc A ah ，所以 2 sin sinR B C h ，
所以 sin sin 6
sin 2 5
B C h
A ．
法五：设 (1 ) (0 1)AH AB AC ．因为 AH BC ，所以 ( ) 0AH AC AB ，
所以 2 2
(1 ) (2 1) 0AC AB AB AC ．因为 2 29 4 (4 9 )c b AH CA BA ，所以
2 2
4 9(1 ) (9 13 ) 0AC AB AB AC ，所以 1 2 1
4 9(1 ) 9 13
，所以
3
5 ，即1 2 1 1
4 9(1 ) 9 13 6
， 3 2
5 5AH AB AC ，所以 3 2
5 5BH HC ，
所以 2
3BH CH ．下略．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
解：（1）在 ABC△ 中，
3B ， 2 3b ， 2a ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb c a ac B ， ······················ 2 分
得 212 4 2c c ，即 2 2 8 0c c ， ······················ 4 分
解之得 4c 或 2c （舍去）． ······························· 6 分
（2）由 13cos 013A ，得0 2A ， ····················· 7 分
所以 2 213 2 3sin 1 cos 1 ( )13 13A A ． ············· 9 分
又因为
3B ，所以cos cos( ) cos( )C A B A B ···························· 11 分
cos cos sin sinA B A B ···································································· 13 分
13 1 2 3 3 6 13
13 2 13 2 26
． ······················································· 14 分
16．（本小题满分 14 分）
证：（1）设 1 1B C BC， 交于O 点，连接 1AO OE， ．
O
E
F
A1 C1
B1
B
CA
在 1BB C△ 中，点O E， 分别是 1B C BC， 中点，
所以 1
1
2OE B B ， 1
1
2OE B B ． ··························································· 2 分
因为直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，所以 1 1 1 1B B AA B B AA， ，
又因为 F 是 1AA 中点，所以 1 1OE FA OE FA ， ，所以 1EF A O∥ ． ················ 4 分
因为 1 1 1 1 1A O BA C EF BA C 平面 ， 平面 ，所以 EF ∥平面 1 1BAC ． ················· 6 分
（2）因为直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，所以侧面 1 1BCC B 是矩形．
又因为 1BC CC ，所以四边形 1BCC B 是正方形，所以 1 1B C BC ． ·············· 8 分
因为直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，所以 1CC ABC 平面 ，
因为 AC ABC 平面 ，所以 1CC AC ，
又因为 1 1 1 1BC AC BC CC C CC BC BCC B ， ， ， 平面 ，所以 1 1AC BCC B 平面 ．
因为 1 1 1B C BCC B 平面 ，所以 1AC B C ． ············································· 10 分
因为直三棱柱 1 1 1ABC A B C ，所以 1 1AC A C∥ ，所以 1 1 1A C B C ．
因为 1 1 1 1BC A C C ， 1 1 1 1 1BC AC BA C， 平面 ，所以 1 1 1B C BAC 平面 ． ········ 12 分
因为 1 1 1A O BA C 平面 ，所以 1 1A O B C ，
因为 1EF AO∥ ，所以 1EF B C ． ·························································· 14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：取 BC 的中点 M ，连接 FM ，连接 AC 交GF 于 N ，
如图．
由 题 意 知 FM BC ， 在 直 角 三 角 形 CFM 中 ，
1
cosCF ．
在直角三角形CFN 中， πsin( )4
NF
CF ，所以
2 2 tan2 2NF ，所以 2 2 tanGF ．
因为 πcos( )4
CN
CF ，所以 2 2 tan2 2CN ． ···································· 3 分
从而 2( 2 2 tan )GFEHS ，正四棱锥的高 2 2 2 2CO CN NO CN NF
2 22 2 2 2( tan ) ( tan ) 2 tan2 2 2 2 ， ································ 5 分
所以正四棱锥的体积 21 1 ( 2 2 tan ) 2 tan3 3GFEHV S CO
22 2 π(1 tan ) tan (0 )3 4 ， ， ． ······················································ 7 分
（2）令 tan (0 1)t t ， ， ，则 2 2 5 32 2 2 2( ) (1 ) ( 2 )3 3V t t t t t t ，
4 2 2 22 2 2 2( ) (5 6 1) (5 1)( 1)3 3V t t t t t ． ······································· 10 分
N
MF
E
G
H
D
C
BA
令 ( ) 0V t ，得 5
5t ．
t 5(0 )5
， 5
5
5( 1)5
，
( )V t 0
( )V t ↗ 极大值 ↘
所以 ( )V t 在 5(0 )5
， 单调递增，在 5( 1)5
， 单调递减， ······························· 12 分
所以 ( )V t 在 5
5t 时取到最大值，此时 1tan 5 ． ··································· 14 分
18．（本小题满分 16 分）
解：（1）由 6( 2 )2P ， 在椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x yC a ba b ： 上得 2 2
2 3 12a b ①，
如图，由 A 为 C 的右顶点， B 为 C 的上顶点可知 ( 0) (0 )A a B b， ， ， ，
因 OP AB∥ ，所以 OP ABk k ，则 3
2
b
a ②． ····································· 2 分
联立①②得方程组
2 2
2 3 12
3
2
a b
b
a
，
，
解得 2
3
a
b
，
．
故所求椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ． ······················································ 4 分
（2）设 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ， ，又 (2 0)A ， ，
所以直线 AM 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，令 4x ，得 1
1
2
2D
yy x
，
所以 1
1
2(4 )2
yD x
， ．同理 2
2
2(4 )2
yE x
， ． ··················································· 6 分
设 0 0( )Q x y， 是以 DE 为直径的圆上的任意一点，则 0DQ EQ ，所以
2 1 2
0 0 0
1 2
2 2( 4) ( )( ) 02 2
y yx y yx x
，
令 0 0y ，得 2 1 2
0
1 2
4( 4) ( 2)( 2)
y yx x x
． ··············································· 8 分
设直线l 的方程为 x ty m ，与椭圆 C 的方程
2 2
14 3
x y 联立，消去 x 得
2 2 2(3 4) 6 3 12 0t y tmy m ，
所以 1 2 2
6
3 4
tmy y t
，
2
1 2 2
3 12
3 4
my y t
， ·············································· 10 分
所以 1 2 1 2( 2)( 2) ( 2)( 2)x x ty m ty m
2
2 2
1 2 1 2 2
4( 2)( 2)( ) ( 2) 3 4
mt y y t m y y m t
． ····································· 12 分
所以
2
222 1 2
0 2 2
1 2
2
3 1244 12 3 3(2 )3 4( 4) 4( 2)( 2)( 2) ( 2) 2
3 4
m
y y m mtx mx x m m
t
，
因为 2 2m ，所以 0
3(2 )4 2
mx m
．
所以以 DE 为直径的圆经过 x 轴上两定点，其坐标分别为 3(2 )(4 0)2
m
m
， 和
3(2 )(4 0)2
m
m
， ． ·········································································· 16 分
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）由数列{ }na 为“t 倍等阶差数列”，令 2 1m n ， ，得 2
3 1 22 (2 1)a a a t ，
所以 11 0 2( )2 t ，解得 2t ． ························································ 3 分
（2）①以 2n 代替 m ，得 2 3 2 1 2 12 8n n na a a ． ·································· 5 分
则 2( 1) 1 2( 1) 1 2 1 2 1[ ] ( ) 8n n n na a a a ，即 1 8n nb b ．
所以数列{ }nb 是以 8 为公差的等差数列．
又 1 3 1 1b a a ，所以 1 8( 1) 8 7nb n n ． ······································· 8 分
②因为
1
1 1 1 1 1( )(8 7)(8 1) 8 8 7 8 1n nb b n n n n
，
所以 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )] (1 )8 9 9 17 8 7 8 1 8 8 1 8 1n
nS n n n n ， ···· 11 分
则 1
1
9 8 1 8 1p q
p qS S Sp q
， ， ．
假设 1 p qS S S， ， 成等比数列，则 2 1( )8 1 9 8 1
p q
p q
，
因为 2
16 1 8 9 98 8p q
p q q
，所以 28 16 1 0p p ，
解得 4 3 2 4 3 2
4 4p ． ······························································· 14 分
又因为 p 为大于 1 的整数，所以 2 36p q ， ，
所以存在 2 36p q ， ，使得 1 p qS S S， ， 成等比数列． ······························· 16 分
20．（本小题满分 16 分）
解：（1） 2( ) ( 0)x af x xx
．
当 0a ≤ 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0 ) ， 上单调增；
当 0a 时，令 ( ) 0f x 得 x a ，所以 ( )f x 在 ( )a ， 上单调增；
令 ( ) 0f x 得 0 x a ，所以 ( )f x 在(0 )a， 上单调减．
综上，当 0a ≤ 时， ( )f x 的增区间为(0 ) ， ，无减区间；
当 0a 时， ( )f x 的增区间为( )a ， ，减区间为(0 )a， ． ················· 4 分
（2）由（1）可知若 ( )f x 有两个零点，则 0a ，且 ( )f x 的最小值为 ( )f a 需小于 0 ．
由 ( ) 0f a 得 10 ea ． ······································································ 6 分
又 (1) 0f a ，则 ( ) (1) 0f a f ，
由零点存在性定理可知， ( )f x 在 ( 1)a， 上有一个零点； ······························ 8 分
2 1( ) 2lnf a a a ，令 1 1( ) 2ln (0 )eg x x xx ，则 2
2 1( ) 0xg x x
，
所以 ( )g x 在 1(0 )e
， 上单调减， 1( ) ( ) e 2 0eg x g ，则 2( ) 0f a ，
所以 2( ) ( ) 0f a f a ，由零点存在性定理可知， ( )f x 在 2( )a a， 上有一个零点，
所以 1(0 )ea ， ． ··············································································· 10 分
（3）法一：由 2( ln 1) (e 1) (2 )exm x x x x x ≥ 可知 1(ln ) (e 1) (2 )exm x xx ≥ ．
设 1( ) (ln ) ( 2)e e 1xF x m x xx ，则 ( ) 0F x ≥ 在(0 ) ， 上恒成立．
2 2
( 1)( ) ( 1)e ( 1)(e )x xm x mF x x xx x
．
1 当 0m≥ 时， 2e 0x m
x ，令 ( ) 0F x 得 1x ，所以 ( )f x 在(1 ) ， 上单调增；
令 ( ) 0F x 得 0 1x ，所以 ( )f x 在(0 1)， 上单调减．
所以 min( ) (1) 1 0F x F m ≥ ，得 1m≥ ． ············································· 12 分
2 当 0m 时，因为
1
41 7 7( ) (4 ln 4) e e 1 (4 ln 4) e 14 4 4F m m
即 1 11( ) (4 ln 4) ( e) 04 4F m ，所以 ( ) 0F x ≥ 在 (0 )x ， 上不恒成立，
则 0m 舍去．
综上可知， [1 )m ， ．···································································· 16 分
法二：在 1(ln ) (e 1) (2 )exm x xx ≥ 中，令 1x ，得 1m≥ ．
下证当 1m≥ 时， 1(ln ) (e 1) (2 )exm x xx ≥ 恒成立，略．
数学Ⅱ（附加题）
参考答案
21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，若多做，则按作答的前两题评分．
A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
解：设点 ( )P x y， 是 l 上的任意一点，其依次经过变换 ，A BT T 后得到点 '( ' ')P x y， ．
则 '
'
x
y
＝ 1 2
0 1
1 0
0 2
x
y
，得 '
'
x
y
＝ 4
2
x y
y
，即 ' 4
' 2
x x y
y y
．
，
················ 5分
又点 'P 在直线 'l 上，所以 2 ' ' 2 0x y ，
故 2( 4 ) 2 2 0x y y ，即 5 1 0x y ，
所以直线l 的方程为 5 1 0x y ． ······················································· 10分
B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
解：（1）因为 (1 2)P ， 在直线l 上，所以
11 2 2
32 2
t
m t
，
，
解得 2 3m ． ··············· 4分
（2）曲线C 的直角坐标方程为 2 2 16x y ，
将直线l 的参数方程代入C 的方程得 2 (1 2 3) 11 0t t ， ························· 6分
设 A B， 所对应的参数分别为 1 2t t， ，则 1 2 11t t ，
故 1 2| | | | | | 11PA PB t t ． ···································································· 10分
C ．选修 4 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
证：因为 a b c， ， 都是正数，所以
2 2 2( ) ( ) ( )( )[ ]b c c a a ba b c a b c
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ]( )[ )] ([ b c c a a ba b c
a b c
·································· 4分
2[( )( ) ( )( ) ( )( )]b c c a a ba b c
a b c
≥
2 2[( ) ( ) ( )] 4( )b c c a a b a b c ， ·············································· 8分
所以
2 2 2( ) ( ) ( ) 4( )b c c a a b a b ca b c
≥ ． ······································· 10分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．
22．（本小题满分 10 分）
解：（1）由已知得，甲中奖的概率为 2
3
，乙中奖的概率为 0P ，且两人中奖与否互不影响．
记“这 2 人的累计得分 3X ≤ ”的事件为 C，则事件 C 的对立事件为“ 5X ”．
因为 0
2( 5) 3P X P ，所以 0
2 7( ) 1 ( 5) 1 3 9P C P X P ，所以 0
1
3P ． ····· 3分
（2）设甲、乙都选择方案 A 抽奖的中奖次数为 1X ，都选择方案 B 抽奖的中奖次数为
2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟卷
2X ，则这两人选择方案 A 抽奖累计得分的均值为 1(2 )E X ，选择方案 B 抽奖累计得
分的均值为 2(3 )E X ．
由已知可得， 1 2 0
2~ (2 ) ~ (2 )3X B X B P， ， ， ，所以 1 2 0
2 4( ) 2 ( ) 23 3E X E X P ， ，
从而 1 1 2 2 0
8(2 ) 2 ( ) (3 ) 3 ( ) 63E X E X E X E X P ， ．
若 1 2( ) (2 )3E X E X ，则 0 0
8 46 03 9P P ，
若 1 2( ) (2 )3E X E X ，则 0 0
8 46 13 9P P ，
若 1 2( ) (2 )3E X E X ，则 0 0
8 463 9P P ．
综上所述，当 0
40 9P 时，他们都选择方案A进行抽奖时，累计得分的均值较大；
当 0
4 19 P 时，他们都选择方案B进行抽奖时，累计得分的均值较大；当 0
4
9P
时，他们都选择方案A或都选择方案B进行抽奖时，累计得分的均值相等． ···· 10分
23．（本小题满分 10 分）
解：（1） 2020 2 2020
0 1 2 2020(1 )x a a x a x a x （*）．
在（*）中，令 0x ，得 0 1a ．
在（*）中，令 1x ，得 0 1 2 2020 0a a a a ，
所以 1 2 2020 1a a a ． ································································· 2分
（2）由二项式定理可得 2020( 1) 0 1 2 2020k k
ka C k ，，， ， ， ． ························· 3分
因为 1 !( )! 1 !( )!( 2) 1 !( )!( 1 1 )
! 2 ( 1)! 2 ( 1)!k
n
k n k n k n k n n k n k k n k
C n n n n n
1
1 1
1 !( 1 )! ( 1)!( )! 1 1 1[ ] ( )2 ( 1)! ( 1)! 2 k k
n n
n k n k k n k n
n n n n C C
， ·························· 6分
所以
2020 2020 2020
2020
0 1 2 2020
0 0 02020 2020 2020 2020 2020 2020
1 1 ( 1) 1 1 1 1( 1)( 1)
k
k k k
k k kka C C C C C C
．
因为 1
2020 2021 2021
1 2021 1 1( )2022k k kC C C ，
所以
2020
2020
0 1 1 2 2020 2021
0 2021 2021 2021 2021 2021 2021
1 2021 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( 1) ( )]2022k ka C C C C C C
0 2021
2021 2021
2021 1 1 2021( )2022 1011C C ． ····························································· 10分
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