北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（一）（Word版带答案）

2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（一） 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） 2． 已知复数 ，则 ＝ （A）1 （B） （C） （D）2 3. 的展开式中的常数项为 （A） （B） （C） （D） 4. 设 ，若 ，则 （A） （B） （C） （D） 5. 若角 的终边在第一象限,则下列三角函数值中不是 的是 （A） （B） （C） （D） { | 1 3}= − ≤ + ba 2 2a b> lg lga b> α nasi )2(cos π−a )2(cos a−π )2(cos- π+a )2(cos π+a6. 设 是非零向量，则“ 共线”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. （A）-3 （B） （C）3 （D） 8. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边 长为 1）,则该三棱锥的体积为 （A）4 （B）2 （C） （D） 9. 在平行四边形 中， ， ， ，若 ， 分别是边 ， 上的点，且满足 ，则 的最小值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 10. 已知函数 且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得 ＝ f(x2)＝f(x3)，则 x1·x2·x3 的取值范围是(　　) （A）(0，2) （B）[0，2] （C） (0，3) （D）[0，3] 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 ba, ba, baba −=− 的值为，则的一条渐近线倾斜角为已知双曲线 aya x 3 212 2 π=+ 3 3− 3 3 8 3 4 3 ABCD π= 3 ∠A = 2AB 1=AD M N BC CD | | | | | | | | =     BM CN BC CD ⋅ AM AN    ≥− = =m nm n m n A BC E− − 3 π 5G 4 [5,6) [6,7) [7,8) [8,9] a 4 10 7 2 X 8 X 0 µ从上述 组无人驾驶汽车中随机抽取 辆作为样本，其行驶里程的平均数为 ；若 用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取 辆作为样本，其行驶里程 的平均数为 ．有同学认为 ，你认为正确吗？说明理由． （18）（本小题 14 分） 解：（Ⅰ）由题意知， ，所以 ． ……3 分 （Ⅱ） 组无人驾驶汽车的数量比为 ，若使用分层抽样抽取 辆汽车， 则行驶里程在 这一组的无人驾驶汽车有 辆， 行驶里程在 这一组的无人驾驶汽车有 辆． 由题意可知， 的所有可能取值为 ， ， ． ， ， ． 所以 的分布列为 所以 的数学期望 ． ……………11 分 （Ⅲ）这种说法不正确．理由如下： 由于样本具有随机性，故 ， 是随机变量，受抽样结果影响． 因此有可能 更接近 ，也有可能 更接近 ， 所以 不恒成立． 所以这种说法不正确． ……………14 分 4 10 1 µ 10 2 µ 0 1 0 2 µ µ µ µ− < − 1 (0.1 0.2 0.4 ) 1a× + + + = 0.3a = 4 1: 2: 4:3 10 [7,8) 410 410 × = [8,9] 310 310 × = X 0 1 2 2 4 2 7 2( 0) 7 CP X C = = = 1 1 4 3 2 7 4( 1) 7 C CP X C = = = 2 3 2 7 1( 2) 7 CP X C = = = X X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 X 2 4 1 6( ) 0 1 27 7 7 7 = × + × + × =E X 1 µ 2 µ 1 µ 0 µ 2 µ 0 µ 0 1 0 2| | | |µ µ µ µ− < −19．（本小题满分 15 分） 已知函数 . （Ⅰ）当 时,（i）求曲线 在点 处的切线方程; （ii）求函数 的单调区间; （Ⅱ）若 ,求证: . 解 19.（本小题满分 15 分） （Ⅰ）当 时, ,定义域为 （i） 所以切点坐标为 ,切线斜率为 所以切线方程为 （ii）令 , 所以 在 上单调递减,且 所以当 时, 即 所以当 时, 即 综上所述, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . (Ⅱ)方法一: ln 1( ) xf x axx −= − 2a = ( )y f x= (1, (1))f ( )f x 1 2a< < ( ) 1f x < − 2a = ln 1( ) 2xf x xx −= − (0, )+∞ 2 2 2 2 ln 2 ln 2( ) 2x x xf x x x − − −′ = − = (1) 1 2 3f = − − = − (1) 2 2 0f ′ = − = (1, 3)− 0 3y = − 2( ) 2 ln 2g x x x= − − 1( ) 4 0g x xx ′ = − − < ( )g x (0, )+∞ (1) 0g = (0,1)x∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > (1,+ )x∈ ∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1) (1,+ )∞,即 设 设 所以 在 小于零恒成立 即 在 上单调递减 因为 所以 , 所以在 上必存在一个 使得 即 所以当 时, , 单调递增 当 时, , 单调递减 所以 因为 ( ) 1f x < − ln 1 1x axx − − < − ln 1( ) 1( 0)xh x ax xx −= − + > 2 2 2 2 ln ln 2( ) x ax xh x ax x − − − +′ = − = 2( ) ln 2x ax xϕ = − − + 21 2 1( ) 2 0axx ax x x ϕ − −′ = − − = < ( )xϕ′ (0, )+∞ ( )h x′ (0, )+∞ 1 2a< < (1) 2 0h a′ = − > 2( ) 0h e a′ = − < 2(1, )e 0x 2 0 0 0 2 0 ln 2( ) =0ax xh x x − − +′ = 2 0 0ln = 2x ax− + 0(0, )x x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x 0( ,+ )x x∈ ∞ ( ) 0h x′ < ( )h x 0 0 0 0 ln 1( ) ( ) 1max xh x h x axx −= = − + 2 0 0ln = 2x ax− +所以 令 得 因为 ,所以 , 因为 ,所以 恒成立 即 恒成立 综上所述,当 时, ..............................15 方法二: 定义域 为了证明 ,即 只需证明 ,即 令 则 令 ,得 令 ,得 所以 在 上单调递增,在 上单调递减 所以 即 ,则 2 0 0 0 0 2 1( ) ax xh x x − + += 0( )=0h x 0 1 1 8 4 ax a ± += 1 2a< < 1 1 8 04 a a − + < 1 1 8 14 a a + + < 2 0 (1, )x e∈ 0( ) 0h x < ( ) 0h x < 1 2a< < ( ) 1f x < − ( )f x (0, )+∞ ( ) 1f x < − ln 1 1x axx − − < − 2ln 1x ax x− − < − 2ln 1x ax x< − + ( ) ln 1( 0)m x x x x= − + > 1( ) 1m x x ′ = − ( ) 0m x′ > 0 1x< < ( ) 0m x′ < 1x > ( )m x (0,1) (1, )+∞ ( ) (1) 0maxm x m= = ln 1 0x x− + ≤ ln 1x x≤ −令 因为 ,所以 所以 恒成立 即 所以 综上所述, 即当 时, ..............................15 20．（本小题满分 15 分） 已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 3)，离心率 为1 2. (1)求椭圆 P 的方程； (2)是否存在过点 E(0，－4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足OR→ ·OT→ ＝16 7 ？若 存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解　(1)设椭圆 P 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)， 由题意得 b＝2 3，e＝c a ＝1 2 ， ∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2， ∴c＝2，a＝4， ∴椭圆 P 的方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1. 2( ) 2 2n x ax x= − + 1 2a< < =4 8 0a∆ − < ( ) 0n x > 2 2 2 0ax x− + > 2 1 1ax x x− + > − 2ln 1x ax x< − + 1 2a< < ( ) 1f x < −(2)假设存在满足题意的直线 l，易知当直线 l 的斜率不存在时，OR→ ·OT→ 0 得(－32k)2－64(3＋4k2)>0，解得 k2>1 4.① ∴x1＋x2＝ 32k 3＋4k2 ，x1x2＝ 16 3＋4k2 ， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故 x1x2＋y1y2＝ 16 3＋4k2 ＋ 16k2 3＋4k2 － 128k2 3＋4k2 ＋16＝16 7 ， 解得 k2＝1.② 由①②解得 k＝±1， ∴直线 l 的方程为 y＝±x－4. 故存在直线 l：x＋y＋4＝0 或 x－y－4＝0 满足题意. ...............15 21.（本小题满分 15 分） 已知项数为 的数列 满足如下条件：① ；② 若数列 满足 其中 则 称 为 的“伴随数列”. （I）数列 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说 明理由； ( )* 2m m N m∈ ≥， { }na ( )* 1,2, ,na N n m∈ =  1 2 ··· .ma a a< < < { }nb ( )1 2 *··· 1 m n n a a a ab Nm + + + −= ∈− ， 1,2, ,n m=  { }nb { }na 13 5 7 9，，，，（II）若 为 的“伴随数列”，证明： ； （III）已知数列 存在“伴随数列” 且 求 最大值. 21.已知项数为 的数列 满足如下条件：① ； ② 若数列 满足 其中 则称 为 的“伴随数列”. （I）数列 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说 明理由； （II）若 为 的“伴随数列”，证明： ； （III）已知数列 存在“伴随数列” 且 求 的最大值. 分析： （I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论. （II）利用差比较法判断出 的单调性，由此证得结论成立. （III）利用累加法、放缩法求得关于 的不等式，由此求得 的最大值. 解：（I）不存在.理由如下：因为 ，所以数列 不存 在“伴随数列”. （II）因为 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以 成立. 的 { }nb { }na 1 2 ··· mb b b> > > { }na { }nb ， 1 1 2049ma a= =， ， m ( )* 2m m N m∈ ≥， { }na ( )* 1,2, ,na N n m∈ =  1 2 ··· .ma a a< < < { }nb ( )1 2 *··· 1 m n n a a a ab Nm + + + −= ∈− ， 1,2, ,n m=  { }nb { }na 13 5 7 9，，，， { }nb { }na 1 2 ··· mb b b> > > { }na { }nb ， 1 1 2049ma a= =， ， m { }nb ma m * 4 1 3 5 7 9 7 5 1b N + + + + −= ∈− 1,3,5,7,9 *1 1 ,1 1,1 n n n n a ab b n m n Nm + + −− = ≤ ≤ − ∈− 1 2 ma a a< < >（III） ，都有 ，因为 ， ， 所以 ，所以 . 因为 ， 所以 . 而 ，即 ， 所以 ，故 . 由于 ，经验证可知 .所以 的最大值为 .............................14 1 i j m∀ ≤ < ≤ 1 j j i j a ab b m −− = − * ib N∈ 1 2 mb b b> > > * i jb b N− ∈ *1 1 2048 1 1 m m a ab b Nm m −− = = ∈− − *1 1 1 n n n n a ab b Nm − − −− = ∈− 1 1n na a m−− ≥ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 1 1m m m m ma a a a a a a a m m m− − −− = − + − + + − ≥ − + − + + −  ( )21m= − ( )22049 1 1m− ≥ − ( )21 2048m − ≤ 46m ≤ *2048 1 Nm ∈− 33m ≤ m 33