2020 年高三第二次模拟考试
理科数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合 P＝{x|x2－4x>0}，Q＝{x|log2(x－1)0”是“△ABC 是钝角三角形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数 y＝sin(ωx－ )(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，则该函数图象是由 y
＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到?
A.向左平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷
庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。”在 18 世纪，
七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七
巧新谱》。完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，
如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是
U
5 3
AB BC⋅
6
π
2
π
3
π
6
π
3
π
6
π
A. B. C. D.
6.已知 sin( ＋α)＝cos( －α)，则 cos2α＝
A.0 B.1 C. D.
7.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A.4＋ π B. C. D.
8.在(2x＋ )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为
A.56 B.448 C.408 D.1792
9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南
北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，
1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，
因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除
问题：将 2 至 2021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成
一列构成一数列，则此数列的项数是
A.132 B.133 C.134 D.135
10.已知点(n，an)(n∈N*)在函数 y＝lnx 图象上，若满足 ≥m 的 n 的最
小值为 5，则 m 的取值范围是
A.(10，15] B.(－∞，15] C.(15，21] D.(－∞，21]
3
8
5
16
7
16
1
3
3
π
3
π
2
2
3
2
1
2
5 10 1
2 2
π+ + 5 10 1 2
2 4
π+ ++ 1 24 4
π++
1
x 2
1
x
1 2 naa a
nS e e e= + +⋅⋅⋅+
11.已知 F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F1(－c，0)作 x 轴的
垂线交双曲线于 A、B 两点，若∠F1AF2 的平分线过点 M(－ c，0)，则双曲线的离心率为
A.2 B. C.3 D.
12.已知方程 有三个不同的根，则实数 a 的取值范围为
A.(－1，e) B.(－e， ) C.(－1，1) D.(－1， )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 ， 满足：| |＝2，| |＝3， 与 夹角为 120°，则|a＋2 |＝ 。
14.已知正三棱锥 P－ABC，AB＝2 ，PA＝2 ，则此三棱锥外接球的半径为 。
15.已知定义域为 R 的函数 有最大值和最小值，且最
大值和最小值的和为 4，则 λ－µ＝ 。
16.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2－c2＝absinC，acosB＋bsinA
＝c，a＝ ，则 b＝ 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn＋an－n＝0，(n∈N*)。
(1)求证：数列{an－ }为等比数列；
(2)求数列{an－n}的前 n 项和 Tn。
18.(12 分)
我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本
满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公
开呼吁扩大口罩产能。常见的口罩有 KN90 和 KN95(分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055
到 0.095 微米的氯化钠颗粒)两种。某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1
3
2 3
2
1
)1
1
(x
x
x
ee x x ae
−
−
−+ = −
1
2
1
2
a b a b a b b
3 5
( ) 2
2
2 2020sin
2
x xe e x xf x x
λ λµ + += + +
10
1
2
罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分 100 分)，规定总分大于或等于 85 分为合格，
小于 85 分为次品。现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分，结果如下：
(1)试分别估计两种口罩的合格率；
(2)假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产一个 KN95
口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在(1)的前提下，
①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的分布列
和数学期望；
②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率。
19.(12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA＝PD＝ ，E 为 PA 中
点，点 F 在 PD 上且 EF⊥平面 PCD，M 在 DC 延长线上，FH//DM，交 PM 于 H，且 FH＝1。
(1)证明：EF//平面 PBM；
(2)设点 N 在线段 BC 上，若二面角 E－DN－A 为 60°，求 BN 的长度。
20.(12 分)
已知椭圆 C： 的离心率为 ，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶
点的三角形的面积的最大值为 2 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)经过定点 Q(m，0)(m>2)的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 M，N，点 M 关于 x 轴的对称点为
M'。试证明：直线 M'N 与 x 轴的交点 S 为一个定点，且|OQ|·|OS|＝4(O 为原点)。
17
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2
3
21.(12 分)
已知函数 f(x)＝(a＋2)lnx＋ －x。
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若函数 h(x)＝f(x)－2lnx 有两个不同的极值点 x1，x2(x18(5ln2－2)；
(3)设 a＝－1，函数 f(x)＋ ＋x 的反函数为 k(x)，令 ki(x)＝k[( )x]，i＝1，2，…，n－1，n∈
N*且 n≥2，若 x∈[－1，1]时，对任意的 n∈N*且 n≥2，k1(x)k2(x)…kn－1(x)≥ 恒成立，求
m 的最小值。
(二)选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上
所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行
评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝2，以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐
标系，直线 l 的参数方程为 ，(t 为参数)。
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2)在(1)中，设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C1，设曲线 C1 上任意一点为 M(x0，
y0)，当点 M 到直线 l 的距离取最大值时，求此时点 M 的直角坐标。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝x2＋2|x－1|。
(1)求不等式 f(x)> 的解集；
(2)若 f(x)的最小值为 N，且 a＋b＋c＝N，(a，b，c∈R)。
求证： ≥ 。
2a
x
2
x
i
n
1
me
12 2
31 2
x t
y t
= −
= +
'
' 3
x x
y y
=
=
2x
x
2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + + + + 2
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