1
2019—2020 学年度高考模拟考试
数学试题
2020.06
注意事项：
1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚；
2．第 I 卷，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案母号，在试题卷上作答无效．
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共，40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求.
1．已知集合
A. B. C. D.
2．i 为虚数单位，复数 ，复数 z 的共轭复数为 ，则 的虚部为
A.i B. C. D.1
3．设 是非零向量，“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在 的展开式中，常数项为
A． B. C． D．
5．函数 的图象大致为
{ } { }2 5 , 3, 2,1,2,4A x x B A B= < = − − ∩ =，则
{ }2 2− ， { }2 2− ，1， { }21,3,2− ， 5, 5 −
2 11 2
iz ii
+= + +− z z
2i− 2−
,a b 0a b⋅ = a b⊥
( )61 32x xx
− +
15
2
− 15
2
5
2
− 5
2
( ) 1cos sin 1
x
x
ef x x e
−= ⋅ + 2
6．设 则有
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，
所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积 V，求这个球的
直径 d 的近似公式，即 ．随着人们对圆周率 π 值的认知越来越精确，还总结
出了其他类似的近似公式．若取 ，试判断下列近似公式中最精确的一个是
A. B. C. D.
8．已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个交点分别为 A，B，
且满足 为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B．某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90％，结果这天没下雨，这表明天气预报
并不科学
C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在回归直线方程 中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量多增加
0.1 个单位
10．线段 AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，AB∥
EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在平面垂直，且
．则
A．DF∥平面 BCE
B．异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30°
C．△EFC 为直角三角形
D．
0.3
2
1 1 1log ,4 3 2a b = =
a b ab+ > a b ab+ < a b ab+ = a b ab− =
3 16
9d V≈
3.14π =
3 2d V≈ 3 16
9d V≈ 3 20
11d V≈ 3 21
11d V≈
2: 4C y x=
2 ,AF FB E=
11
4
9
4
5
2
5
4
0.1 10y x= +
2, 1AB AD EF= = =
1:4C BEF F ABCDV V− − =：3
11．已知函数 ，其中 表示不超过实数 x 的最大整数，
下列关于 结论正确的是
A． B． 的一个周期是
C． 在 上单调递减 D． 的最大值大于
12．已知直线 分别与函数 的图象交于点 ，
则下列结论正确的是
A． B.
C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 __________．
14．在平行四边形 ABCD 中，
，则 __________.
15．5 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________．(用
数字作答)；5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作
答)(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
16．设双曲线 的左、右焦点分别为 作
轴 的 垂 线 ， 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 A ， 点 Q 坐 标 为 且 满 足
，若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 成立，则双曲
线的离心率的取值范围是___________.
( ) [ ] [ ]sin cos cos sinf x x x= + [ ]x
( )f x
cos12f
π =
( )f x 2π
( )f x ( )0,π ( )f x 2
2y x= − + lnxy e y x= 和 = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 2x x+ = 1 2 2x xe e e+ >
1 2 2 1ln ln 0x x x x+ < 1 2 2
ex x >
( ) sin costan 2 sin cos
α απ α α α
+− = =−，则
6, 3,.AD AB= =
1 160 , ,2 2DAB DE EC BF FC∠ = = =
2FG GE= 若 =AG BD
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
− = > 0, >： 1 2 1 2 2, , 2 ,F F F F c F= 过
x 3, 2
ac
2 2F Q F A> 1 1 2
7
6PF PQ F F+ x a> ( ) 0h x ≥
a6
2019—2020 学年度高考模拟考试
数学参考答案
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1—4：BCCA 5—8：CADB
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
9.CD 10.BD 11.ABD 12ABC
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 14.21 15.72 16.
（注：15 题第一个空 2 分，第二个空 3 分）.
四、解答题
17.（10 分）（I）解：若选①在 ，由正弦定理可得：
………………………………………………………………………………………………1 分
又 可得： ………………3 分
又 ；…………………………………4 分
（II）在 ，由余弦定理可得：
…………………………………………6 分
即 ……………………………………………………………………………8 分
…………………………………10 分
当且仅当 时取“=”
若选择②
（I）由 可得： ，………………………………2 分
又 所以 ；…………………………………4 分
1
3
3
10
3 10,2 2
ABC∆
sin sin
AB BC
ACB BAC
=∠ ∠
23 4 ,sin 3AB BC ACB= ∠ = 1sin ,2 6BAC BAC
π∠ = ∴∠ =
2 3AB AD BAD DAC
π π⊥ ∠ = ∠ =所以 ，所以
=2ACD DC∆ 中，
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥
4AC AD ≤
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × =
AC AD=
tan 36BAC
π ∠ + = 6BAC
π∴∠ =
AB AD⊥
2 3BAD DAC
π π∠ = ∠ =，所以7
（II）在 ，由余弦定理可得：
…………………………………………6 分
即 ……………………………………………………………………………8 分
…………………………………10 分
当且仅当 时取“=”.
若选③（I） ，由正弦定理得：
………………………………1 分
可得： ，………………………………………3 分
又 所以 ；………………………………4 分
（II）在 ，由余弦定理可得：
………………………………………6 分
即 …………………………………………………………………………8 分
………………………………10 分
当且仅当 时取“=”
18. （ 12 分 ） 解 ： （ I ） 证 明 ： 在 图 1 中 ， BC=2AB ， 且 E 为 AB 的 中 点 ，
，同理 所以 ，
………………………………………………………………………………………………2 分
又平面 平面 BCE，平面 平面 ，
所以 平面 ABE，……………………………………………………………………4 分
又 ，所以平面 平面 DCE……………………………………5 分
（II）由题意可知以 E 为坐标原点，EB,EC 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐
2ACD DC∆ =中，
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥
4AC AD ≤
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × =
AC AD=
2 cos 2 3BC ACB AC AB∠ = −
2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC ACB∠ ∠ = ∠ − ∠
( )2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC BAC ACB∠ ∠ = ∠ + ∠ − ∠
3cos 2 6BAC BAC
π∠ = ∠ =，所以
AB AD⊥
2 3BAD DAC
π π∠ = ∠ =，所以
2ACD DC∆ =中，
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥
4AC AD ≤
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × =
AC AD=
,AE AB AEB∴ = ∴∠ 45°= 45DEC∠ = 90CEB BE CE∠ = ∴ ⊥
ABE ⊥ ABE ∩ BCE BE=
CE ⊥
CE DCE⊂ 平面 ABE ⊥
,x y轴8
标系，设
则
………………………………………………………………………………………………6 分
向量 ，设平面 ADE 的法向量为
由 ，
得平面 ADE 的一个法向量为 ，…………8 分
又 …………………………………10
分
设直线 FA 与平面 ADE 所成角为 ，
则
直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 ……………………………………………12
分
19.（12 分）解：（I）由数列 的前 知
当
，所以 …………………………………………………2 分
当
整理得：
1AB =
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 20,0,0 , 2,0,0 , 0, 2,0 , ,0, , 0, ,02 2 2 2 2 2E B C A D F
， ， ，
2 2 2 2,0, , 0, ,2 2 2 2EA ED
= =
( ), ,n x y z=
0 0 100
n EA x z zy zn ED
= + = = + ==
得 ，令
( )1, 1,1n = − −
2 20, ,2 2FA
= −
θ
2 6sin 31 3
FA n
FA n
θ = = =
×
6
3
{ }na
( )1
2
n n
n
a an S
+=和
( )1 1
1 1 1
11 = ,2
a an S a S
+= =时，
( )1 1 11 0 0a a a∴ − = >，又 1 1a =
( ) ( )1 1
1
1 11 , 2 2
n n n n
n n n
a a a an a S S − −
−
+ +> = − = −时
( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − =9
因为 ，所以有 …………………………………………………4 分
所以数列 是首项 ，公差 的等差数列
数列 的通项公式为 …………………………………………6 分
（II）由 知：
数列 的前 项和为
………………………………………8 分
令
则有
由 ……………………………………………10
分
所以区间 内所有“优化数”的和为
………………12 分
20.（12 分）解：（I）由题意知：
，
，
所以 X 的所有可能取值为：23000，17000，12500……………………………………1 分
设 A 表示事件“作物产量为 900kg”，则 ；
1 0n na a −+ > 1 1n na a −− =
{ }na 1 1a = 1d =
{ }na ( )1 1na a n d n= + − =
na n= 2 2
+2 2log log1 1
n
n
n
a nb a n
+= =+ +
{ }nb n
1 2 3 2 2 2 2
3 4 5 2log log log log2 3 4 1n
nb b b b n
++ + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ +
( )2 2
3 4 5 2log log 2 12 3 4 1
n nn
+ = × × ×⋅⋅⋅× = + − +
( )1 2 3 nb b b b k k Z+ + +⋅⋅⋅ = ∈
( ) 1
2log 2 1 , 2 2kn k n ++ − = = −
( )0,2020 , 10n k Z k k N ∗∈ ∈ < ∈知， 且
( )0,2020
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 102 2 2 2 2 2 2 2S −= − + − + − +⋅⋅⋅+ −
( ) ( )2 9
2 3 4 10 112 1 2
2 2 2 2 18 18 2 22 20261 2
−
= + + +⋅⋅⋅+ − = − = − =−
1200 20 1000 23000,1200 15 1000 17000× − = × − =
900 20 1000 17000,900 15 1000 12500× − = × − =
( ) 0.5P A =10
B 表示事件“作物市场价格为 15 元/kg”，则 .
则： ……………………………6 分
………3 分
，…………………………………………4 分
所以 X 的分布列为：
………………………………………………………………………………………………5 分
（II）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16000 元”，
则 ，…6 分
设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16000 元，
则有： ………………………………………………………………………7 分
所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率为
.…………………………………9 分
（III）由（I）知，2020 年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为
（元）…………………10 分
……………………………………………………………………………11 分
凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，
所以，能预测该农户在 2020 年底可以脱贫。…………………………………………12 分
21.（12 分）解：（I）由已知得：
…………………………………………………………………………1 分
圆 C 的圆心一定在线段 AF 中垂线 上……………………………………2
分
( ) 0.4P B =
( ) ( ) ( )( )23000 1 0.5 1 0.4 0.3P X P A B= = = − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )17000 1 0.5 0.4 0.5 1 0.4 0.5P X P A B P A B= = = + = − + − =
( ) ( )12500 0.5 0.4 0.2P X P A B= = = × =
( ) ( ) ( ) ( )16000 23000 17000 0.3 0.5 0.8P C P X P X P X= > = = + = = + =
( )~ 3,0.8Y B
( ) 3 3 2 2
3 32 0.8 0.8 0.2 0.896P P Y C C= ≥ = × + × × =
( ) 23000 0.3 17000 0.5 12500 0.2 17900E X = × + × + × =
17900 40004
>
3, 2 2, 1a b c= = =
( ) ( )3,0 , 1,0A F∴
∴ 1 3 22x
+= =11
由圆 C 与直线 相切，得：圆 C 的半径 ………………………………3 分
设圆 C 的圆心坐标为 ，则有：
，
即圆心 ………………………………………………………………………4 分
圆 C 的方程为： …………………………………………5 分
（II ）证明：当直线 斜率不存在时，其方程为 ，可求得 M,N 两点坐标分别为
的斜率之积为：
.………………………………………………………………………………6 分
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为：
联立方程组： ，
消去 整理得：
……………………………………………………8 分
又设
由 P,A,M 共线得： ，
由 Q,A,N 共线得： ，……………………………………9 分
所以 FM,FN 的斜率之积为：
9x = 9 2 7r = − =
( )2,C m
( ) ( )2 23 2 0 7, 4 3r AC m m= = − + − = = ±
( )2, 4 3C ±
∴ ( ) ( )222 4 3 49x y− + ± =
l 1x =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )9,8 , 9, 8 9, 8 , 9,8 , 1 0M N M N F− −或 又 ，
,FM FN∴ 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k
− − −⋅ = ⋅ = −− −
FM FN∴ ⊥
l l ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x P x y Q x y= −
( )
2 2
1
19 8
y k x
x y
= −
+ =
y ( )2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k+ − + − =
2 2
1 2 1 22 2
18 9 72,8 9 8 9
k kx x x xk k
−∴ + = =+ +
( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= − ⋅ − = − + +
( ) ( )9, , 9,M NM y N y
1 1
1 1
0 0 6,3 9 3 3
M
M
y y yyx x
− −= =− − −
2 2
2 2
0 0 6,3 9 3 3
N
N
y y yyx x
− −= =− − −12
……10 分
………………………………………………………………………………11 分
综上可知：恒有 .
以线段 MN 为直径的圆恒过点 F.………………………………………………………12
分
22.（12 分）解：（I）由
………………………………………………………………………1 分
由已知可得： ………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………3 分
（II）
…………………………………4 分
所以：当 上为增函数，无极值点……
………………………………………………………………………………………………5 分
当 时，
则有：当 ，
为减函数，在 上为增函数，
所以， 极小值点，无极大值点；………………………………………6 分
综上可知：当 时，函数 无极值点，
( )( )1 2
1 2
0 0 9
9 1 9 1 64 16 3 3
M N M N
FM FN
y y y y y yk k x x
− −⋅ = ⋅ = =− − − −
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
22 2
1 2 1 2
2 2
9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9
k kkk x x x x k k k
x x x x kk k
k k
− − + − + + + + − × = = = = −− + + × − × − + + +
FM FN∴ ⊥
FM FN⊥
∴
( ) ln lnf x x a x y x a x b= − = − +得：
( ) 1 ay f x x
′ ′∴ = = −
( )
( )
1 1 1 1
1 21 2
f a
bf b
′ = − − = − + =+ =
即
2, 1a b∴ = =
( ) ( ) 1 1lna ag x f x x a xx x
+ += + = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 111 0x x aa ag x xx x x
+ − + + ′∴ = − − = >
( ) ( ) ( )1 0 1 0, 0a a g x g x′+ ≤ ≤ − > + ∞，即 时， 在 ，
1 0 1a a+ > > −，即
( ) ( )0 1 0 1 0x a g x x a g x′ ′< < + < > + >时， ，当 时，
( ) ( )0 1g x a∴ +在 ， ( )1,a + +∞
( )1x a g x= + 是
1a ≤ − ( )g x13
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点。…………………………7 分
（III）
由题意知：当 恒成立
又不等式 等价于：
即 ①………………………………………………………………………8 分
方法（一）
①式等价于 …………………………………………………………………9 分
由
令 ，则原不等式即为：
又 在 上为增函数
所以，原不等式等价于： ， ②
又②式等价于 ，说即： ……………………………………10 分
方法（二）
由
知：①式等价于
即： ……………………………………………………………9 分
设 ，则原不等式即为：
又 上为增函数
1a > − ( )g x 1a +
( ) ( ) ( )1 ln ln ln 0x xxh x f x ae a ae x a aa a
= + − + = − + >
ln ln 0xx a ae x a> − + ≥时，
ln ln 0xae x a− + ≥ 1ln lnx xx xae ea a a
≥ ≥，即
lnx x xxe a a
≥
ln
ln
x
x axxe ea
≥
0 1 ln 0x xx a a a
> > > >知： ，
( ) ( )0xx xe xϕ = > ( ) ln xx a
ϕ ϕ ≥
( ) ( )0xx xe xϕ = > ( )0,+∞
ln xx a
≥
x xe a
≥ ( )0x
xa x ae
≥ > >
0 1,ln 0x xx a a a
> > > >知：
( )ln ln lnx x xxe a a
≥
ln ln ln lnx xx x a a
+ ≥ +
( ) ( )ln 0x x x xϕ = + > ( ) ln xx a
ϕ ϕ ≥
( ) ( ) ( )ln 0 0x x x xϕ = + > + ∞在 ，14
所以，原不等式等价于： ， ②
又②式等价于 ，亦即： ……………………………………10 分
方法（一）
设
上为增函数，在 上为减函数，
又
当 上为增函数，在 上为减函数
………………………………………………………………………11 分
要使原不等式恒成立，须使 ，
当 时，则 在 上为减函数，
要使原不等式恒成立，须使 ，
时，原不等式恒成立
综上可知： 的取值范围是
所以， 的最小值为 .……………………………………………………………………12
分
方法（二）
又②式等价于： ……………………………………10 分
设
上为增函数，在 上为减函数，
又
当 上为增函数，在 上为减函数
……………………………………………………………………11 分
ln xx a
≥
x xe a
≥ ( )0x
xa x ae
≥ > >
( ) ( ) ( ) 10x x
x xF x x F xe e
−′= > =，则
( ) ( )01F x∴ 在 ， ( )1 + ∞，
0x a> >
∴ ( ) ( )0 1 ,1a F x a< < 时， 在 ( )1,+∞
( ) ( ) 11F x F e
∴ ≤ =
1 1ae
≤ <
1a ≥ ( )F x ( ),a +∞ ( ) ( ) 11F x F e
< =
1a e
≥
1a∴ ≥
a 1,e
+∞
a 1
e
ln ln ln lnx x a a x x≥ − ≥ −，即
( ) ( ) ( ) 1ln 0 xF x x x x F x x
−′= − > =，则
( ) ( )01F x∴ 在 ， ( )1 + ∞，
0x a> >
∴ ( ) ( )0 1 ,1a F x a< < 时， 在 ( )1,+∞
( ) ( )1 1F x F∴ ≤ = −15
要使原不等式恒成立，须使
当 上为减函数，
要使原不等式恒成立，须使
又 时不等式成立
综上可知：
所以， 的最小值为 .……………………………………………………………………12
分
11 ln 0 1a ae
− ≤ < ≤
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