数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷选择题(共 45 分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；
参考公式：·如果事件 、 互斥，那么
柱体的体积公式 .其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分.
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 的补集，再求交集．
【详解】由题意 ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题关键．
2.已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由线面垂直的判定定理与性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可得到“ ”是“
”的必要不充分条件．
【详解】由线面垂直的判定定理得：若 ， ，则“ ”不能推出“ ”，
A B ( ) ( ) ( )∪ = +P A B P A P B
V Sh= S h
{ | 1}, {1,3,5,7}, { | 5}U x x A B x x= ≥ − = = > UA C B =
{ }1,3,5 { }3,5 { }1,3 { }1,3,5,7
B
{ | 5}U B x x= ≤ {1,3,5}UA B =
a b α a α⊂ b α⊄ a b⊥ b α⊥
a b⊥ b α⊥
a α⊂ b α⊄ a b⊥ b α⊥
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答
中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题．
3.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成 6 组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽
样的方法抽取 100 位同学进行学习方法座谈，则成绩为 组应抽取的人数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 6 个矩形面积之和等于 1 求出 ，再用样本容量乘以第 4 个矩形的面积即可得到答案.
详解】依题意得 ，解得 ，
所以成绩为 组应抽取的人数为 ，
故选：C
【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，属于基础题.
4.已知正方体 的表面积为 ，若圆锥的底面圆周经过 四个顶点，圆锥的
顶点在棱 上，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【
b α⊥ a b⊥
a b⊥ b α⊥
[70,80)
60 50
40 20
0.04a =
(0.005 0.005 0.02 0.02 0.01) 10 1a+ + + + + × = 0.04a =
[70,80) 100 0.04 10 40× × =
1 1 1 1ABCD A B C D− 24 1 1A A C C， ， ，
1BB
3 2π 2
3
π
2π 2
2
π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面积求出 ，再求出圆锥的底面积和高代入圆锥的体积公式即可得到结果.
【详解】设正方体 的棱长为 ，则 ，所以 ，
所以圆锥的底面半径为 ，所以底面积为 ，
又圆锥的高为 ，所以圆锥的体积为 .
故选：C
【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体，考查了正方体的表面积，考查了圆锥的体积公式，属于基础
题.
5.已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 单调递增，若 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先得出 在 上为增函数，根据奇函数的性质将 化为 ，根据对数函数的单调性和指数函数
的性质得到 ，再根据 的单调性即可得到答案.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，且在 单调递增，
所以 ，且 在 上为增函数，
因为 ， ， ，
且 ，
所以 ，即 .
故选：D
2a =
1 1 1 1ABCD A B C D− a 26 24a = 2a =
2 2 2
1
1 1| | 2 2 2 32 2AC = + + = 2( 3) 3π π× =
1 | | 22 BD = 1 2 3 23
π π× × =
( )f x R [ )0 + ∞， 1
5
(log 2)a f= −
5(lo 1
2g )b f=
1
2(5 )c f= , ,a b c
a b c= < a b c< < c b a< < b a c< < ( )f x R a 5(log 2)f 1 2 5 5 15 1 log 2 log 2 > > > ( )f x
( )f x R [ )0 + ∞，
( ) ( )f x f x− = − ( )f x R
1
5
(log 2)a f= −
5 5( log 2) (log 2)f f= − − = 5(lo 1
2g )b f= 1
2(5 )c f=
1
2
5 5
15 1 log 2 log 2
> > >
1
2
5 5
1(5 ) (log 2) (log )2f f f> > c a b> >
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了对数函数的单调性、指数函数的性质，属于基础题.
6.已知双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，过 作与一条渐近线平
行的直线 ，交另一条渐近线于点 ，交抛物线 的准线于点 ，若三角形 （ 为原点）的面
积 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线 与渐近线方程得出 的坐标，联立直线与准线方程得出
的坐标，根据三角形的面积得出 ，再结合 ， ，可解得结果.
详解】由 得 ，所以 ，
所以直线 ，抛物线的准线为： ，
联立 可得 ，所以 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，考查了三角形的面积，考查了运算求解能力，属于基础
【
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F 2 8y x= F
l A 2 8y x= B AOB O
3 3
2 2
112 4
x y− =
2 2
14 12
x y− =
2
2 13
x y− =
2
2 13
yx − =
l A
B 3b a= 2c = 2 2 2c a b= +
2 8y x= 4p = (2,0)F
: ( 2)bl y xa
= − 2x = −
( 2)by xa
by xa
= −
= −
1x
by a
= = −
(1, )bA a
−
( 2)
2
by xa
x
= −
= −
2
4
x
by a
= − = −
4( 2, )bB a
− −
1 4 1 4 1( ) (1 2) 2 12 2 2OAB
b b b bS a a a a
= + ⋅ + − × × − × ×
3b
a
=
3 3 3b
a
= 3b
a
= 3b a=
2c = 2 2 2c a b= +
2 24 3a a= + 2 1a = 2 23 3b a= =
2
2 13
yx − =
题.
7.已知函数 的最小正周期为 ，若将 的图象上所有的
点向右平移 个单位，所得图象对应的函数 为奇函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换思想化简函数 的解析式，利用该函数的最小正周期可求得 的值，利用平移变
换求出函数 的解析式，由函数 为奇函数可求得 的值，进而可求得 的值.
【详解】 ，
由于函数 最小正周期为 ，则 ， ，则 ，
将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，所得图象对应的函数为
，
由于函数 为奇函数，则 ，可得 ，
，所以，当 时， .
因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦型函数的周期性、奇偶性求参数，同时也考查了利用函数图象平移变换求函数
解析式，考查计算能力，属于中等题.
8.已知 ，数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，若 对于
的
( ) ( )2 3 1cos sin 2 02 2f x x xω ω ω= + − > π ( )y f x=
0 2
πϕ ϕ < 2 1a b− = ∴ 2 1 1a b= + >
∴ 2 2 21 1 2 1 2 1 2 12 2 2 18 8 8 2 2 2
a a a b b ba b a b b b b b
++ ≥ ⋅ = = ⋅ = ⋅ + ≥ ⋅ ⋅ =
3 8a b= 1b = 2a = 1b =
∴ 21
8
a
a b
+
m R∈ 2 2
6 8, 1( ) , 1
x m xf x x mx m x
+ − ≥= − + + = =
− + + +
1
3
λ = 9λ = − ( , ,0)Q 5 2
6 3
1 17
6BQ =
2 22+ =6 3
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > ( )2 2 2， A B
| | 2 | |OA OB=
A 1l M B 2l N 1l 2l
1
4
− M N， y 1l
2 2
136 9
x y+ = 1 2
2
±
【解析】
【分析】
（1）由 可知 ，点 代入方程即可求解；
（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆即可求 M，由 与 的斜率的乘积为 可求 的斜率，联
立 与椭圆可得 N，根据 M、N 关于 y 轴对称即可求出 k.
【详解】（1）因为 ，即 ，
又椭圆过点 ，所以 ，解得 ，
椭圆方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，则
得 ，
解得 ，
所以 .
因为直线 的斜率乘积为 ，
所以直线 的方程为 ，
同理可得 .
因为 M，N 关于 y 轴对称，所以 ，
即 ，解得 .
所以直线 的斜率为
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，考查了运算能力，属于
中档题.
| | 2 | |OA OB= 2a b= ( )2 2 2，
1l ( 6)y k x= − 1l 2l 1
4
− 2l
2l
| | 2 | |OA OB= 2a b=
2 2 2（ ， ） 2 2
4 8 14b b
+ = 6, 3a b= =
2 2
136 9
x y+ =
1l ( 6)y k x= −
2 2
1,36 9
( 6),
x y
y k x
+ =
= −
2 2 2 2(1 4 ) 48 144 36 0k x k x k+ − + − =
1 6,x =
2
2 2
24 6
1 4
kx k
−= +
2
2 2
24 6 12( , )1 4 1 4
k kM k k
− −+ +
1 2,l l 1
4
−
2l 1 34y xk
= − −
2
2 2
24 3 12( , )1 4 1 4
k kN k k
−− + +
2
2 2
24 6 24 01 4 1 4
k k
k k
− − =+ +
24 4 1 0k k− − = 1 2
2k
±=
1l 1 2
2
±
20.设函数 ， .
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）求证：方程 有两个实数根；
（3）求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）求导得到 ，再求得 ， ，写出切线方程.
（2）令 ，求导 ，设 ，则
，结合 ，得到 在 上单调递增， 在 上单调递减，再
利用零点存在定理求解.
（3）设 ，则 ，将证明 ，转化为证明 成立，
易知 恒成立，则要证 ，只需证 为单调递减函数，然后用导数法证明
即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）设 ，定义域为 ，
，
设 ，
因为 ，所以 ，因此 在 上单调递减，
又 ，所以 时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，
( ) ln( 1)f x x= + ( ) 1xg x e= −
( )g x 1x =
( ) ( )f x g x=
( )
( )
f x x
x g x
≥
1y ex= −
( ) xg x e′ = (1)g′ (1)g
( ) ( ) ( ) ln( 1) 1xh x f x g x x e= − = + − + 1 1 ( 1)( ) 1 1
x
x x eh x ex x
− +′ = − =+ + ( ) 1 ( 1) xp x x e= − +
( ) ( 2) 0xp x x e′ = − + < ( )0 0p = ( )h x ( )1,0− ( )h x ( )0, ∞+ ln( 1)( ) ( 1)xq x xx += > −， ( 1) 1
x
x
xq e e
− = −
( )
( )
f x x
x g x
≥ ( ) ( 1)xq x q e≥ −
1xx e≤ − ( ) ( 1)xq x q e≥ − ( )q x ( ) 0q x′ ≤
( ) 1xg x e= −
( ) xg x e′ =
(1)k g e′= = (1) 1g e= −
( )g x 1x = ( 1) ( 1)y e e x− − = − 1y ex= −
( ) ( ) ( ) ln( 1) 1xh x f x g x x e= − = + − + ( )1,− +∞
1 1 ( 1)( ) 1 1
x
x x eh x ex x
− +′ = − =+ +
( ) 1 ( 1) , ( ) ( 2)x xp x x e p x x e′= − + = − +
( )1,x∈ − +∞ ( ) 0p x′ < ( )p x ( )1,− +∞ (0) 0p = ( )1,0x∈ − ( ) 0p x > ( )h x ( )1,0−
( )0,x∈ +∞ ( ) 0p x < ( )h x ( )0, ∞+
因此 ，而 ，
所以 在 上有一个零点，
而 ，
所以 在 上有一个零点，
故方程 有两个实数根.
（3）设 ，则 ，
不等式 ，即为 ，
设
当 时， ，当 时， ，
所以
所以
所以 恒成立，
所以要证 ，只需证 为单调递减函数.
，
设
当 时， ，当 时， ，
所以
所以 恒成立，
则
即 ，
所以 ，
max( ) (0) 1 0h x h= = > 2(2) ln3 1 0h e= + − < ( )h x ( )0, ∞+ 1 11( 1) 1 1 0eh ee −− = − + − < ( )h x ( )1,0− ( ) ( ) 1 0f x g x− + = ln( 1)( ) ( 1)xq x xx += > −， ( 1) 1
x
x
xq e e
− = −
( )
( )
f x x
x g x
≥ ( ) ( 1)xq x q e≥ −
( ) 1xh x e x= − −
( ) 1xh x e′ = −
0x < ( ) 0h x′ < 0x > ( ) 0h x′ >
( )( ) 0 0h x h≥ =
1xe x≥ +
1xx e≤ −
( ) ( 1)xq x q e≥ − ( )q x
2 2 2
1 1 1ln( 1) 1 ln( 1) 1 ln1 1 1 1( )
x x xx x x xq x x x x
− + − − + − ++ + + +′ = = =
( ) ln 1r x x x= − +
( ) 1 1r x x
′ = −
0 1x< < ( ) 0r x′ > 1x > ( ) 0r x′ < ( )( ) 1 0r x r≤ = ln 1x x≤ − 1 1ln 11 1x x ≤ −+ + 1 11 ln 01 1x x − + ≤+ + ( ) 0q x′ ≤
所以 为单调递减函数，
故 .
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与方程的根以及导数与不等式证明问题，零点存在定理，还
考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
( )q x
( )
( )
f x x
x g x
≥
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