山东省济南市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 （解析版）

2019-2020 学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷 一．单择题（共 8 小题）. 1．若复数 z 满足（1+i）z＝2i，其中 i 为虚数单位，则풛 = （　　） A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i 2．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 P 是 C1D1 的中点，且 → 푨푷 = → 푨푫 +풙 → 푨푩 +풚 → 푨푨ퟏ，则实 数 x+y 的值为（　　） A． ― 3 2 B． ― 1 2 C．1 2 D．3 2 3．函数 f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　） A．1 B．1 2 C．0 D．﹣1 4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件 A：“甲骰子的点数大于 4”；事件 B：“甲、乙两骰子 的点数之和等于 7”，则 P（B|A）的值等于（　　） A．1 3 B． 1 18 C．1 6 D．1 9 5．已知函数 y＝f（x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x C．f（x）＝x ― 1 2sin2x D．f（x）＝x ― 1 2cosx 6．已知下表所示数据的回归直线方程为^ 풚 = ퟒ풙 ― ퟒ，则实数 a 的值为（　　）x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A．16 B．18 C．20 D．22 7．已知函数 f（x）＝x2+bx 的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 3，数列{ 1 푓(푛)}的 前 n 项和为 Sn，则 S2020 的值为（　　） A．2020 2021 B．2019 2020 C．2018 2019 D．2017 2018 8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小 木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均 等，则小球最终落③号球槽的概率为（　　） A． 3 32 B．15 64 C． 5 32 D． 5 16 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（　　） A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍 B．设有一个回归方程 y＝3﹣5x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C．线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），则 P（ξ＞1）＝0.5 10．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，则下列说法正确 的是（　　） A．BC1∥平面 AQP B．平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 C．A1D⊥平面 AQP D．异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60° 11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　） A．a2＝180 B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310 C．a1+a2+…+a10＝1 D． 푎1 2 + 푎2 22 + 푎3 23 +⋯ + 푎10 210 = ― 1 12．已知 a＞b＞1，e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（　　） A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb 三．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．在市数学竞赛中，A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等，将这六名同 学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有　 　种． 14．设(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a，二项式系数为 b，则푎 푏的值为　 　． 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根 阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为　 　．16．对于三次函数 f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设 f''（x）是函数 y＝f（x）的 导数 y＝f'（x）的导数，若方程 f''（x）＝0 有实数解 x0，则称点（x0，f（x0））为函数 y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都 有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题： 若已知函数 f（x）＝x3 ― 3 2풙ퟐ +ퟑ풙 ― 1 4，则 f（x）的对称中心为　 　；计算풇( 1 2021) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) = 　 　． 四．解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤．） 17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5， （1）求数列{an}的通项公式； （2）现从{an}的前 10 项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一 个负数的概率． 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答． 条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数 3 次，假设每次取数互不影响； 条件②：若从 10 个数中一次取出三个数． 18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面 BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠ BCD＝60°． （1）证明：BD⊥平面 ACDE； （2）求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值．19．已知 f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a 为实数）． （1）当 k＝0，a＝2 时，求 f（x）在[0，π]上的最大值； （2）当 k＝4 时，若 f（x）在 R 上单调递增，求 a 的取值范围． 20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A 点投篮一次，以后都在 B 点投 篮；方案乙：始终在 B 点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在 A 点命中的概率为3 4， 命中一次记 3 分，没有命中得 0 分；在 B 点命中的概率为4 5，命中一次记 2 分，没有命 中得 0 分，用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果 ξ 的值不低于 3 分， 则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮 3 次． （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望． （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由． 21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重 要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参 与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 [30，40）[40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了解”（得分低于 60 分）两类，完成 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民 对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长，设 3 人中男性队长的人数为 ξ，求 ξ 的分布列和期望． 附：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) ，（n＝a+b+c+d）． 临界值表： P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 22．已知函数 f（x） = 1 + 푙푛푥 푥 ― a（a∈R）． （1）若 f（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围； （2）设 g（x）＝（x﹣1）2ex，当 a＝0 时，若 t（x）＝f（x）﹣g（x），求 t（x）零点 的个数．参考答案 一．单择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数 z 满足（1+i）z＝2i，其中 i 为虚数单位，则풛 = （　　） A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i 【分析】通过化简求出 z，从而求出 z 的共轭复数即可． 解：∵（1+i）z＝2i， ∴z = 2푖 1 + 푖 = i（1﹣i）＝1+i， 则풛 = 1﹣i， 故选：A． 2．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 P 是 C1D1 的中点，且 → 푨푷 = → 푨푫 +풙 → 푨푩 +풚 → 푨푨ퟏ，则实 数 x+y 的值为（　　） A． ― 3 2 B． ― 1 2 C．1 2 D．3 2 【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果． 解：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 P 是 C1D1 的中点， 所 以 → 푨푷 = 1 2( → 푨푫ퟏ + → 푨푪ퟏ) = 1 2( → 푨푫 + → 푨푨ퟏ) + 1 2( → 푨푩 + → 푨푫 + → 푨푨ퟏ) = → 푨푫 + 1 2 → 푨푩 + → 푨푨ퟏ = → 푨푫 +풙 → 푨푩 +풚 → 푨푨ퟏ， 所以풙 = 1 2，풚 = ퟏ， 故 x+y = 3 2．故选：D． 3．函数 f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　） A．1 B．1 2 C．0 D．﹣1 【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数 f（x）在区间 （0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求． 解：f'（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣2x）（1+2x） 令 f'（x）＝0，解得：x = 1 2或 ― 1 2（舍去） 当 x∈（0，1 2）时，f'（x）＞0，当 x∈（1 2，1）时，f'（x）＜0， ∴当 x = 1 2时 f（x）（x∈[0，1]）的最大值是 f（1 2）＝1 故选：A． 4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件 A：“甲骰子的点数大于 4”；事件 B：“甲、乙两骰子 的点数之和等于 7”，则 P（B|A）的值等于（　　） A．1 3 B． 1 18 C．1 6 D．1 9 【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的点数 之和等于 7 的概率． 解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的 点数之和等于 7 的概率． ∵抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于 4，基本事件有 2×6＝12 个，甲骰子的点数 大于 4 时甲、乙两骰子的点数之和等于 7，基本事件有 2 个， ∴P（B|A） = 2 12 = 1 6． 故选：C．5．已知函数 y＝f（x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x C．f（x）＝x ― 1 2sin2x D．f（x）＝x ― 1 2cosx 【分析】函数 f（x）＝x+tanx 的定义域为{풙|풙 ≠ 휋 2 +풌흅，풌 ∈ 풁}，不合题意；而由图象 可知，f（0）＝0，풇( 휋 4)＜ퟏ，可排除 BD，由此选 C． 解：由图象可知，函数的定义域为 R，故排除 A； 又 f（0）＝0，故排除 D； 若选择 B，则풇( 휋 4) = 휋 4 +풔풊풏 휋 2 = 휋 4 +ퟏ＞ퟏ，与图象不符． 故选：C． 6．已知下表所示数据的回归直线方程为^ 풚 = ퟒ풙 ― ퟒ，则实数 a 的值为（　　） x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A．16 B．18 C．20 D．22 【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出풚的值， 从而求出 a 的值． 解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：풙 = 1 5 × （2+3+4+5+6）＝4， 由回归直线经过样本中心点， 得풚 = 4×4﹣4＝12， 即풚 = 1 5 × （3+7+11+a+21）＝12， 解得 a＝18． 故选：B． 7．已知函数 f（x）＝x2+bx 的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 3，数列{ 1 푓(푛)}的 前 n 项和为 Sn，则 S2020 的值为（　　） A．2020 2021 B．2019 2020 C．2018 2019 D．2017 2018 【分析】求得 f（x）的导数，将 x＝1 代入可得切线的斜率，解得 b＝1，可得 f（n）＝ n2+n， 1 푓(푛) = 1 푛2 + 푛 = 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求 和． 解：函数 f（x）＝x2+bx 的导数为 f′（x）＝2x+b， 可得 f（x）的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 2+b＝3，解得 b＝1， 则 f（x）＝x2+x，即 f（n）＝n2+n， 1 푓(푛) = 1 푛2 + 푛 = 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1， S2020＝1 ― 1 2 + 1 2 ― 1 3 +⋯ + 1 2020 ― 1 2021 = 1 ― 1 2021 = 2020 2021． 故选：A． 8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小 木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（　　） A． 3 32 B．15 64 C． 5 32 D． 5 16 【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概 率． 解：由题可知：小球落入③号球槽有 Cퟐ ퟓ = 10 种情况，小球落入下方球槽共有 25＝32， ∴小球最终落③号球槽的概率为10 32 = 5 16． 故选：D． 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（　　） A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍 B．设有一个回归方程 y＝3﹣5x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C．线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），则 P（ξ＞1）＝ 0.5 【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结 果． 解：对于选项 A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差变为原来的 a2 倍．故错误． 对于选项 B：若有一个回归方程 y＝3﹣5x，变量 x 增加 1 个单位时，故 y＝3﹣5（x+1）＝ 3﹣5x﹣5．故 y 平均减少 5 个单位，正确． 对于选项 C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越 弱，错误． 对于选项 D：在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），由于正 态曲线关于 x＝1 对称，则 P（ξ＞1）＝0.5，正确． 故选：BD． 10．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，则下列说法正确 的是（　　） A．BC1∥平面 AQP B．平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 C．A1D⊥平面 AQP D．异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60° 【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的 判定的应用，共面的判定的应用求出结果． 解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点， 如图所示：①对于选项 A：P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点， 所以 PQ∥BC1，由于 PQ⊂平面 APQ，BC1 不在平面 APQ 内，所以 BC1∥平面 APQ，故 选项 A 正确． ②对于选项 B：连接 AP，AD1，D1Q，由于 AD1∥PQ，D1Q＝AP，所以：平面 APQ 截 正方体所得截面为等腰梯形，故正确． ③对于选项 C：由于 A1D⊥平面 ABC1D1，平面 ABC1D1 和平面 APQD1 为相交平面，所 以 A1D⊥平面 AQP，错误． ④对于选项 D：PQ∥BC1，△A1BC1 为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60°．故正确． 故选：ABD． 11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　） A．a2＝180 B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310 C．a1+a2+…+a10＝1 D． 푎1 2 + 푎2 22 + 푎3 23 +⋯ + 푎10 210 = ― 1 【分析】分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，即可判断答案． 解：（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，其通项公式为：Tr+1 = ∁풓ퟏퟎ•（2x）10﹣r•（﹣1）r；令 x＝0 可得：a0＝1； 所以：a2 为 x2 的系数；故 a2 = ∁ퟐퟏퟎ•22•（﹣1）8＝180 成立； 由二项式定理可得：x 的偶次项系数为正，奇次项系数为负； 故令 x＝﹣1 可得：|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310；即 B 对； 令 x＝1 可得 a0+a1+a2+…+a10＝1； ∴a1+a2+…+a10＝0；即 C 错； 令 x = 1 2可得：（2 × 1 2 ― 1）10＝0＝a0 + 1 2a1 + 1 22a2 +⋯ + 1 210a10， ∴1 2a1 + 1 22a2 +⋯ + 1 210a10＝0﹣a0＝﹣1；故 D 对； 故选：ABD． 12．已知 a＞b＞1，e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（　　） A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb 【 分 析 】 采 用 逐 一 验 证 的 方 法 ， 通 过 构 造 函 数 풇(풙) = 풙풆풙，품(풙) = 푙푛푥 푥 ，풉(풙) = 풙풍풏풙，풌(풙) = 푒푥 푥 ，根据这些函数在 （1，+∞） 的单调性可得结果． 解：设 f（x）＝xex，x＞1，则 f′（x）＝（x+1）ex＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故 函数单调递增， 故 f（a）＞f（b），即 aea＞beb，故 A 正确； 设 품(풙) = 푙푛푥 푥 ，풙＞ퟏ，则 품′(풙) = 1 ― 푙푛푥 푥2 ，函数在 （1，e） 上单调递增，在 （e，+ ∞） 上单调递减， 故当 1＜b＜a＜e 时，g（a）＞g（b），即 푙푛푎 푎 ＞ 푙푛푏 푏 ，故 alnb＜blna，故 B 错误； 设 h（x）＝xlnx，x＞1，则 h′（x）＝lnx+1＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，故 h（a）＞h（b），即 alna＞blnb，故 C 正确； 设 풌(풙) = 푒푥 푥 (풙＞ퟏ)，则 풌′(풙) = 푒푥(푥 ― 1) 푥2 ＞ퟎ 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递 增， 故 k（a）＞k（b），即 푒푎 푎 ＞푒3 푏 ，故 bea＞aeb，故 D 正确． 故选：ACD． 三．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．在市数学竞赛中，A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等，将这六名同 学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有　72　种． 【分析】利用捆绑法，结合排列知识可得结论． 解：因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得푨ퟑퟑ푨ퟑퟑ푨ퟐퟐ = 72． 故答案为：72． 14．设(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a，二项式系数为 b，则푎 푏的值为　4　． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展 开式中 x3 的系数，再根据 x3 的系数为 a，二项式系数为 b，求得 a、b 的值，可得푎 푏的 值． 解：(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式的展开式通项公式为푻풌+ퟏ = 푪풌ퟔ풙ퟔ―풌( ― ퟐ풙 ― 1 2)풌 = ( ― ퟐ)풌푪풌ퟔ풙 ퟔ― 3 2풌， 令ퟔ ― 3 2풌 = ퟑ，得 k＝2，即푻ퟑ+ퟏ = ( ― ퟐ)ퟐ푪ퟐퟔ풙ퟑ = ퟔퟎ풙ퟑ即系数为 a＝60， 二项式系数为 b = 푪ퟐퟔ = 15，则푎 푏 = ퟒ， 故答案为：4． 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根 阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为　 3 14　． 【分析】找两卦中含两根阳线分为两类，一类两阳线来自同一卦，一类两阳线来自两卦， 分别求出取法，再找出总取法，相比即可． 解：从八卦中任取两卦有 Cퟐ ퟖ = 28 种；这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有 Cퟏ ퟏ Cퟏ ퟑ + Cퟐ ퟑ = 6， 则两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率 P = 6 28 = 3 14 故答案为： 3 14． 16．对于三次函数 f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设 f''（x）是函数 y＝f（x）的 导数 y＝f'（x）的导数，若方程 f''（x）＝0 有实数解 x0，则称点（x0，f（x0））为函数 y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都 有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题： 若已知函数 f（x）＝x3 ― 3 2풙ퟐ +ퟑ풙 ― 1 4，则 f（x）的对称中心为　（1 2，1）　；计算풇( 1 2021 ) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) = 　2020　． 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1 2，1）对称，即 f（x）+f（1﹣ x）＝2，即可得到结论． 解：f（x）＝x3 ― 3 2풙ퟐ +ퟑ풙 ― 1 4，则 f′（x）＝3x2﹣3x+3，f″（x）＝6x﹣3， 令 f″（x）＝0，解得：x = 1 2，则 f（1 2）＝1 故 f（x）的对称中心是（1 2，1）， ∴f（x）+f（1﹣x）＝2， ∴풇( 1 2021) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) ＝f（ 1 2021）+f（2020 2021）+f（ 2 2021）+f（2019 2021）+…+f（1010 2021）+f（1011 2021） ＝2×1010＝2020， 故答案为：（1 2，1），2020． 四．解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤．） 17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5， （1）求数列{an}的通项公式； （2）现从{an}的前 10 项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一 个负数的概率． 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答． 条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数 3 次，假设每次取数互不影响； 条件②：若从 10 个数中一次取出三个数． 【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差 d．第二问根据古典概型公式，注意有放 回取球的特点． 解：（1）设等差数列{an}的公差为 d．则 d = 푎7 ― 푎4 7 ― 4 ，又已知 a4＝1，a7＝﹣5，∴d＝﹣ 2．所以，等差数列{an}的通项公式为：an＝﹣2n+9． （2）由（1）知等差数列{an}的前 10 项分别为：7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣ 9、﹣11． 若选择①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数 3 次，假设每次取数互不影响， ∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P = 퐶1 3퐶2 4퐶1 6 103 = 108 1000 = 0.108 若条件②：若从 10 个数中一次取出三个数． ∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率：P = 퐶2 4퐶1 6 퐶3 10 = 36 120 = 0.30 18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面 BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠ BCD＝60°． （1）证明：BD⊥平面 ACDE； （2）求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值． 【分析】（1）推导出 BD⊥CD，AC⊥BD，由此能证明 BD⊥平面 ACDE． （2）法一：延长 AE，CD 相交于 G，连接 BG，二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角．由此能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值． 法二：建立空间直角坐标系 D﹣xyz，利用向量法能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面 角的正弦值． 【解答】证明：（1）在△BCD 中，BD2＝4+1﹣2×1×2×cos60°＝3．∴BC2＝BD2+DC2，∴△BCD 为直角三角形，BD⊥CD． 又∵AC⊥平面 BCD，∴AC⊥BD． 而 AC∩CD＝C，∴BD⊥平面 ACDE． 解：（2）方法一：如图延长 AE，CD 相交于 G，连接 BG， 则平面 AEB∩平面 BCD＝BG． 二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角． ∵DE∥AC，AC＝2DE，∴DE 是△AGC 的中位线． GD＝DC＝1，这样 GC＝BC＝2，∠BCD＝60°，△BGC 是等边三角形． 取 BG 的中点为 H，连接 AH，GH，∵AC⊥平面 BCD． ∴∠AHC 就是二面角 A﹣BG﹣C 的平面角． 在 Rt△AHC 中，AC＝4，GH = ퟑ， 所以 sin∠푨푯푪 = 4 19 = 4 19 19 ． ∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19 19 ． 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz， 可得 D（0，0，0），B（ ퟑ，0，0），C（0，1，0）， E（0，0，2），A（0，1，4）． → 푩푨 = （ ― ퟑ，1，4）， → 푬푨 = （0，1，2）． 设→ 풏 = （x，y，z）是平面 BAE 的法向量， 则{→ 풏 ⋅ → 푩푨 = ― ퟑ풙 + 풚 + ퟒ풛 = ퟎ → 풏 ⋅ → 푬푨 = 풚 + ퟐ풛 = ퟎ ，令 z = ퟑ，得→ 풏 = （2，﹣2 ퟑ， ퟑ）．取平面 BCD 的法向量为 → 풎 = （0，0，1）． 设平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的平面角为 θ， 则|cosθ| = | → 푛 ⋅ → 푚| | → 푛| ⋅ | → 푚| = 3 19， ∴sinθ = ퟏ ― 3 19 = 4 19 19 ． ∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19 19 ． 19．已知 f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a 为实数）． （1）当 k＝0，a＝2 时，求 f（x）在[0，π]上的最大值； （2）当 k＝4 时，若 f（x）在一、选择题上单调递增，求 a 的取值范围． 【分析】（1）求导后，列表得 x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值； （2）依题意，4cos2x﹣acosx﹣6≤0 恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解． 解：（1）当 k＝0，a＝2 时，f（x）＝﹣sin2x+2sinxf′（x）＝﹣2cos2x+2cosx＝﹣4cos2x+2cosx+2＝2（2cosx+1）（1﹣cosx）， 则 x，f′（x），f（x）的变化情况如下： x (ퟎ， 2휋 3 ) 2휋 3 ( 2휋 3 ，흅) f′（x） + 0 ﹣ f（x） 增函数 极大值 减函数 ∴풇(풙)最大值 = 풇( 2휋 3 ) = 3 3 2 ． （2）f（x）在 R 上单调递增，则 f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+acosx≥0 对∀x∈R 恒 成立． 得 4cos2x﹣acosx﹣6≤0， 设 t＝cosx∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6， 则 g（t）≤0 在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象{품( ― ퟏ) ≤ ퟎ 품(ퟏ) ≤ ퟎ ，得﹣2≤a≤2． 20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A 点投篮一次，以后都在 B 点投 篮；方案乙：始终在 B 点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在 A 点命中的概率为3 4， 命中一次记 3 分，没有命中得 0 分；在 B 点命中的概率为4 5，命中一次记 2 分，没有命 中得 0 分，用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果 ξ 的值不低于 3 分， 则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮 3 次． （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望． （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由． 【分析】（1）在 A 点投篮命中记作 A，不中记作푨；在 B 点投篮命中记作 B，不中记作 푩，求出概率，判断 ξ 的所有可能取值为 0，2，3，4，求出概率，得到 ξ 的分布列，然 后求解 ξ 的数学期望．（2）求出选手选择方案甲通过测试的概率，选手选择方案乙通过测试的概率，即可判断 该选手应选择方案甲通过测试的概率更大． 解：（1）在 A 点投篮命中记作 A，不中记作푨；在 B 点投篮命中记作 B，不中记作푩， 其中푷(푨) = 3 4，푷(푨) = ퟏ ― 3 4 = 1 4，푷(푩) = 4 5，푷(푩) = ퟏ ― 4 5 = 1 5，………………… ξ 的所有可能取值为 0，2，3，4，则푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) = 1 4 × 1 5 × 1 5 = 1 100，… 푷(흃 = ퟐ) = 푷(푨푩푩) + 푷(푨푩푩) = ퟐ × 1 4 × 1 5 × 4 5 = 8 100，…………………………… 푷(흃 = ퟑ) = 푷(푨) = 3 4 = 75 100， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) = 1 4 × 4 5 × 4 5 = 16 100．………………………… ξ 的分布列为： ξ 0 2 3 4 P 1 100 2 25 3 4 4 25 所以푬(흃) = ퟎ × 1 100 +ퟐ × 8 100 +ퟑ × 75 100 +ퟒ × 16 100 = 305 100 = ퟑ.ퟎퟓ， 所以，ξ 的数学期望为 3.05．………………………………………………………… （2）选手选择方案甲通过测试的概率为푷ퟏ = 푷(흃 ≥ ퟑ) = 75 100 + 16 100 = 91 100 = ퟎ.ퟗퟏ， 选手选择方案乙通过测试的概率为 P2＝P（ξ≥3） = ퟐ × 1 5 × 4 5 × 4 5 + 4 5 × 4 5 = 112 125 = 896 1000 = ퟎ.ퟖퟗퟔ，… 因为 P2＜P1，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．…………………… 21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重 要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 [30，40）[40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了 解”（得分低于 60 分）两类，完成 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民 对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长，设 3 人中男性队长的人数为 ξ，求 ξ 的分布列和期望． 附：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) ，（n＝a+b+c+d）． 临界值表： P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【分析】（1）计算小区中得分不低于 60 分的人数，根据古典概型的概率公式计算； （2）计算四类人数填表，计算观测值 K2，与 3.841 比较得出结论；（3）计算 10 人中男女人数，按超几何分布得出分布列和数学期望． 解：（1）小区 1000 名居民中，得分不低于 60 分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20 ＝600， 故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率为 P = 600 1000 = 3 5． （2）2×2 联表如下： 不太了解 比较了解 合计 男性 250 330 580 女性 150 270 420 合计 400 600 1000 K2 = 1000 × (250 × 270 ― 330 × 150)2 580 × 420 × 400 × 600 ≈ 5.54， ∵5.54＞3.841， ∴有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关． （3）参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，男性有 90 人，女性有 60 人， 若按分层抽样的办法从中抽取 10 人，则男性人数为 10 × 90 150 = 6，女性人数为 10 × 60 150 = 4． 故 ξ 的可能取值有 0，1，2，3． P（ξ＝0） = 퐶3 4 퐶3 10 = 1 30，P（ξ＝1） = 퐶1 6 ⋅ 퐶2 4 퐶3 10 = 3 10，P（ξ＝2） = 퐶2 6 ⋅ 퐶1 4 퐶3 10 = 1 2，P（ξ＝3） = 퐶3 6 퐶3 10 = 1 6． ∴ξ 的分布列为：ξ 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 E（ξ）＝0 × 1 30 + 1 × 3 10 + 2 × 1 2 + 3 × 1 6 = 1.8． 22．已知函数 f（x） = 1 + 푙푛푥 푥 ― a（a∈R）． （1）若 f（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围； （2）设 g（x）＝（x﹣1）2ex，当 a＝0 时，若 t（x）＝f（x）﹣g（x），求 t（x）零点 的个数． 【分析】（1）变换得到1 + 푙푛푥 푥 ≤ a，设 F（x） = 1 + 푙푛푥 푥 ，求导得到函数单调区间，计 算最值得到答案． （2）求导得 t′（x） = ― 푙푛푥 푥2 ― （x2﹣1）ex，得到函数单调区间，得到 t（x）max＝t （1）＝1，且当 x→0 时，t（x）→﹣∞；当 x→+∞时，t（x）→﹣∞，根据零点存在性 定理，得到答案． 解：（1）f（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立，故1 + 푙푛푥 푥 ≤ a，设 F（x） = 1 + 푙푛푥 푥 ， 则 F′（x） = ―푙푛푥 푥2 ，当 x∈（0，1）时，函数单调递增，当 x∈（1，+∞）时，函数单 调递减， 故 F（x）max＝F（1）＝1，故 a≥1． （2）a＝0 时，t（x）＝f（x）﹣g（x） = 1 + 푙푛푥 푥 ― （x﹣1）2ex，则 t′（x） = ― 푙푛푥 푥2 ― （x2﹣1）ex， 当 x∈（0，1）时， ― 푙푛푥 푥2 ＞0，﹣（x2﹣1）ex＞0，故 t′（x）＞0，函数单调递增， 当 x∈（1，+∞）时， ― 푙푛푥 푥2 ＜0，﹣（x2﹣1）ex＜0，故 t′（x）＜0，函数单调递减，t（x）max＝t（1）＝1， 且当 x→0 时，t（x）→﹣∞；当 x→+∞时，t（x）→﹣∞， 根据零点存在性定理知：函数在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，故函数 t（x） 有两个零点．