高三数学（I 卷） 第 1 页（共 4 页）
南通市 2020 届高考考前模拟卷（十）
数 学Ⅰ
（ 南 通 数 学 学 科 基 地 命 题 ）
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．若集合 ，若 ，则实数 ▲ .
2．设复数
z＋1
z－1＝－i，其中 i 为虚数单位，则 ▲ .
3. 根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为 1 时，
则输入的 x 的值为 ▲ .
4. 在等比数列{an}中，a1＋a2=1，a5＋a6=16，
则 a9＋a10= ▲ .
5. 已知双曲线 x2－y2=1，则其两条渐近线的夹角为 ▲ .
6．设实数 x，y 满足条件 则 的
最大值为 ▲ .
7．若函数 的部分图象如图所示，
则 的值为 ▲ .
8. 设集合 B 是集合 A=(1，2，3，4}的子集，若记事件
M 为:“集合 B 中的元素之和为 5”，则事件 M 发生的概率为 ▲ .
9. 若函数 f(x)=2cos(x+2θ)+ cos2x (00，|φ|＜π
2)的图象关于直线 x＝π
6对称，两个相邻的最高点
之间的距离为 2π．
(1) 求函数 f(x)的解析式;
(2) 在△ABC 中，若 f (A)=一
3
5，求 sinA 的值．
16.（本小题满分 14 分）
如图在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形，E 为 CC1 的中点，
平面 AA1C1C⊥平面 A1B1C1D1，
证明: (1) A1C∥平面 B1D1E;
(2) 平面 AA1C1C⊥平面 B1D1E
(第 16 题图)
A
C
A1
B1
C1D1
D
E
B高三数学（I 卷） 第 3 页（共 4 页）
17.（本小题满分 14 分）
某工厂两幢平行厂房间距为 50m，沿前后墙边均有 5m 的绿化带，现在绿化带之间空地
上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 4800m3，深度为 3m，水池一组池壁与厂房
平行.如果池底总造价为 c 元，垂直于厂房的池壁每 1m2 的造价为 a 元，平行于厂房的池
壁每 1m2 的造价为 b 元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为 x（m）．
（1）求建造该长方体贮水池总造价 y 的函数关系，并写出函数的定义域；
（2）试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．
18.（本小题满分 16 分）
已知椭圆 C 的方程是: x2
4＋y2
3＝1.
(1)设椭圆的左,右焦点分别为 F1,F2，点 P 在椭圆上运动，求|PF1→
|・|PF2→
|＋PF1→
・PF2→
的值;
(2)设 S 为椭圆的右顶点，过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点(异于点 S)，
直线 PS，QS 分别交直线 x=4 于 A,B 两点，求证: A,B 两点的纵坐标之积为定值.
（第 17 题图）高三数学（I 卷） 第 4 页（共 4 页）
19.（本小题满分 16 分）
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=
1
2n2+
1
2n+a ， 数列{b n}满足 b2n-1= a2n-1 (n∈
N*)，且对任意正整数 m，使得 b2m，b2m+1，b2m+2，…，b2m+1 成等比数列,公比为 qm.
(1) 求 a 的值;
(2) 求数列{qn}的前 n 项积 Tn；
(3) 记数列{bn}的前 n 项和为 Bn，求证: Sn≥Bn.
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f(x)＝ex－
a
2x2，（a＞0），其中 e 为自然对数的底数.
(1)∀x1，x2∈R，x1≠x2，均有
ex2－ex1
x2－x1 ＞m，求实数 m 的取值范围；
(2) ① 设曲线 y= f(x)在 x=Ina 处的切线为直线 l，求曲线 y= f(x)与直线 l 的公共点的个数;
② 求证: 存在唯一的 x0∈R，使得对任意的 x1∈(－∞，x0)且 x2∈(x0，+∞)，均有
f(x2)－f(x1)
x2－x1 ＞f′(x0).高三数学 II（附加题） 第 1 页（共 1 页）
南通市 2020 届高考考前模拟卷（十）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4－2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知矩阵 M=[ 1 3
－1 0 ]，N=[ 1
0 2 ]，求矩阵 AB 的逆矩阵(AB)-1
B．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：{x＝t，
y＝－2＋kt (t 是参数，k 是实数)，曲线 C1 的方
程为{x＝2cosθ，
y＝sinθ (θ 为参数)，若直线 l 与曲线 C1 无公共点，求实数 k 的取值范围.
C．[选修 4－5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
若关于 x 的不等式 2|x－a|＋|x|≥2x－3 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
如图，在四核锥 P-ABCD 中，底面四边形 ABCD 为正方形，
已知 PA⊥平面 ABCD，AB=2，PA= 2.
(1) 求 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值;
(2) 在棱 PC 上是否存在一点 E，使得平面 BDE⊥平面 PBD.
若存在，求
PE
PC的值若不存在，请说明理由.
23．（本小题满分 10 分）
请先阅读:对于组合恒等式 Cmn= C n - mn 我们可以例设一个情境来解释:一方面，可以从 n 个元
素中选择其中 m 个元素；另一方面，也可以从 n 个元素中别除 n－m 个元素，留下剩余的部
分运用“算两次”的方法，原恒等式成立.
(1) 请尝试创设一个情境，解释恒等式: kCkn=n Ck - 1n - 1
(2) 在集合 A=(1，2，3，…，3n(n≥2，n∈N*)中,随机选择其中 n 个元素，组成集合 A 的一
个子集 M，设集合 M 中能被 3 整除的元素个数记为随机变量 X，证明:随机变量 X 的数
学期望 E(X)=
n
3.
P
AB
C D
E高三数学参考答案 第 1 页（共 2 页）
南通市 2020 届高考考前模拟卷（十）
试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1、答案：3 参考解答或提示:因为 = ，所以 3.
2、答案：1 参考解答或提示:化简得 ，所以 1.
3、答案： 0 或 e
4、答案： 256
5、答案：90°
6、答案：14 参考解答或提示:画出可行域（如图），
可知 ，
所以目标函数
在点 处取得最大值 14.
7、答案：4 参考解答或提示:由图可知 ，所以 .
8、答案：1
8
9、答案：[-3，
3
2]
10、答案：－
2
9
11、答案：7
3
12、答案：
8
17
13、答案：
－1＋
2
14、答案：3
二、解答题（共 90 分）
15、（本小题满分 14 分）
（1）f(x) = sin(x+π
3)；
（2）
4－3
4 .
16、（本小题满分 14 分）
（略,见图）
17、（本小题满分 14 分）
（1）y=c＋6(ax+
1600b
x )，x∈（0，40];
（2）当 b≤a 时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为 40 m，平行于厂房的一边的
{ | 4}A B x a x= < >
| 3 4 3| 3 4 3z x y x y= + + = + +
1,2A（ ）
11 5
24 24
ω ωπ π− = π =4ω
(第 16 题图)
A
C
A1
B1
C1D1
D
E
B高三数学参考答案 第 2 页（共 2 页）
边长为 40 的长方形时，造价最低为(c+480 ab)元;
当 b>a 时，水池设计成底面边长为 40m 的正方形时，造价最低为(c+240a+240b)元.
解（1）由题意，贮水池的底面垂直于厂房的一边长为 x m，
则平行于厂房的一边长为 ，即 ，
所以总造价 ，即
（2）因为 ，所以
当且仅当 即 时取等号.
若 ,则 ,当 时, ；
若 ,则当 时, ，
所以函数 y 在 x∈(0,40]上单调递减，也即当 x＝40 时， .
综上可知，当 时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为 ，平行于厂房的一
边的边长为 ，最低造价为 元；当 时，水池设计成底面边长为
18、（本小题满分 16 分）
（1）6;
（2）定值为－9.
19、（本小题满分 16 分）
（1）a=0;（2）Tn=21－
1
2n（3）（略）
20、（本小题满分 16 分）
（1）（－∞，0]; （2）（略）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，
4800 m3x
1600 mx
16002 3 2 3y c a x b x
= + × × + × × × ( ]16006 0,40 .by c a x xx
= + × ⋅ + ∈ ，
0, 0a b> > 1600 16002 80 .b ba x ax abx x
⋅ + ⋅ =≥
1600 ,ba x x
⋅ = 40 bx a
=
b a≤ (40 0,40b
a
∈ 40 bx a
= min 480y c ab= +
b a> ( ]0,40x∈
2
2 2
1600 16006 6 0b ax by a x x
− ′ = × − = × 40m高三数学参考答案 第 3 页（共 2 页）
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4－2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
答案：(AB)-1=[ － － ]
B．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
答案：(－2，2)
C．[选修 4－5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
答案：（－∞，3];
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
（1）10 ;
（2）
2
3.
23．（本小题满分 10 分）
（略）
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