2020 年北京市东城区高考数学二模试卷
一、选择题（共 10 小题）.
1．已知全集 U＝{0，1，2，3，4，5}，集合 A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝
（ ）
A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}
2．已知三个函数 y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（ ）
A．定义域都为 R
B．值域都为 R
C．在其定义域上都是增函数
D．都是奇函数
3．平面直角坐标系中，已知点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形 ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）
4．双曲线 C：x2 ―
푦2
푏2 = 1 的渐近线与直线 x＝1 交于 A，B 两点，且|AB|＝4，那么双曲线 C
的离心率为（ ）
A． ퟐ B． ퟑ C．2 D． ퟓ
5．已知函数 f（x）＝logax+b 的图象如图所示，那么函数 g（x）＝ax+b 的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
6．已知向量→
풂 = （0，5），→
풃 = （4，﹣3），→
풄 = （﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是
（ ）
A．→
풂 ― →
풃与→
풄为共线向量 B．→
풂 ― →
풃与→
풄垂直
C．→
풂 ― →
풃与→
풂的夹角为钝角 D．→
풂 ― →
풃与→
풃的夹角为锐角
7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书
中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5
米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135 平方米 B．270 平方米 C．540 平方米 D．1080 平方米
8．已知函数 f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边
拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体
的体积是（ ）A．1 +
휋
2 B．1 +
휋
4 C．1 +
휋
8 D．1+π
10．函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，且它的最小正周期是 T，已知 f（x） =
{풙，풙 ∈ [ퟎ，
푇
4]
푇
2 ― 풙，풙 ∈ (
푇
4 ―
푇
2]
，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：
①对于给定的正整数 n，存在 a∈R，使得
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成立；
②当 a =
푇
4时，对于给定的正整数 n，存在 k∈R（k≠1），使得
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ
成立；
③当 a＝k
푇
4（k∈Z）时，函数 g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；
④当 a＝k
푇
4（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有 0 或푇
4．
其中正确判断的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分．
11．复数 z =
1 ― 푖
푖 的共轭复数풛为 ．
12．已知 cos2α =
1
3，则 cos2（휋
2 +휶）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ．13．设 α，β，γ 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n；
②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β；
③若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β．
其中，正确结论的序号为 ．
14．从下列四个条件①a = ퟐc；②C =
휋
6；③cosB = ―
2
4 ；④b = ퟕ中选出三个条件，能
使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），
所选三个条件下的 c 的值为 ．
15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200 件．由于生产这
种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以需
要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求，
称 n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天 2 元
（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动
中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为 ．
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图①，四边形 ABCD 中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E 为 AD 中
点．将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置，如图②．
（Ⅰ）求证：平面 A1EB⊥平面 A1ED；
（ Ⅱ ） 若 ∠ A1ED ＝ 90 ° ， 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦
值．17．已知{an}为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，
其前 n 项和为 Tn，如图_____，Tn 的图象经过 A，B 两个点．
（Ⅰ）求 Sn；
（Ⅱ）若存在正整数 n，使得 bn＞Sn，求 n 的最小值．
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽
取的方法招募志愿者，如表记录了 A，B，C，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个
数据模糊，记为 a，b．
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数，已知 P（ξ＝0） =
1
40，P（ξ＝4） =
1
10．
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求 a，b 的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目 A 的志愿者（不包含甲）调整到项目 D，试判断 Eξ 如何变
化（结论不要求证明）．
19．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为 A（0，﹣1），离心率为 3
2 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，线段 PQ 的中点
为 M，点 B（1，0），求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上．
20．已知 f（x）＝ex+sinx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当 a＝﹣2 时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
（Ⅱ）若对任意 x≥0，f（x）≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）若 f（x）有最小值，请直接给出实数 a 的取值范围．
21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知 ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，
n；j＝1，2，…， n），定义 n×n 数表푿(푨，푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏
풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏
)，其中 xij =
{ퟏ，풂풊 = 풃풋
ퟎ，풂풊 ≠ 풃풋．
（Ⅰ）若 A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出 X（A，B）；
（Ⅱ）若 A，B 是不同的数列，求证：n×n 数表 X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，
2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ ak+bk＝1（k＝1，2，…，
n）”；
（Ⅲ）若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个，求证：n×n 数表 X（A，B）中 1 的个数不大于푛2
2
．参考答案
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
1．已知全集 U＝{0，1，2，3，4，5}，集合 A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝
（ ）
A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}
【分析】进行补集和并集的运算即可．
解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{5}，
∴∁UA＝{3，4，5}，（∁UA）∪B＝{3，4，5}．
故选：B．
2．已知三个函数 y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（ ）
A．定义域都为 R
B．值域都为 R
C．在其定义域上都是增函数
D．都是奇函数
【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．
解：函数 y＝log3x 的定义域为（0，+∞），即 A 错误；
函数 y＝3x 的值域是（0，+∞），即 B 错误；
函数 y＝3x 和 y＝log3x 是非奇非偶函数，即 D 错误，
故选：C．3．平面直角坐标系中，已知点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形 ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）
【分析】设 D（x，y），由四边形 ABCD 为平行四边形，得 →
푨푫 = →
푩푪，由此能求出 D 点
的坐标．
解：设 D（x，y），
∵点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ →
푨푫 = →
푩푪，∴（x，y﹣1）＝（3，2），
解得 x＝3，y＝3，
∴D 点的坐标为（3，3）．
故选：A．
4．双曲线 C：x2 ―
푦2
푏2 = 1 的渐近线与直线 x＝1 交于 A，B 两点，且|AB|＝4，那么双曲线 C
的离心率为（ ）
A． ퟐ B． ퟑ C．2 D． ퟓ
【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线 x＝1 联立求出|AB|的值，进而求出
|b|的值，求出双曲线的离心率．
解：由双曲线的方程可得 a＝1，且渐近线的方程为：y＝±bx，
与 x＝1 联立可得 y＝±b，所以|AB|＝|2b|，
由题意可得 4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2+b2，
所以双曲线的离心率 e =
푐
푎 =
푎2 + 푏2
푎2 =
1 + 4
1 = ퟓ，故选：D．
5．已知函数 f（x）＝logax+b 的图象如图所示，那么函数 g（x）＝ax+b 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函
数图象的平移可知，y＝ax+b 的图象单调递增，且由 y＝ax 的图象向下平移超过 1 个单位，
结合选项即可判断．
解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，
结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b 的图象单调递增，且由 y＝ax 的图
象向下平移超过 1 个单位，
结合选项可知，D 符合题意．
故选：D．6．已知向量→
풂 = （0，5），→
풃 = （4，﹣3），→
풄 = （﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是
（ ）
A．→
풂 ― →
풃与→
풄为共线向量 B．→
풂 ― →
풃与→
풄垂直
C．→
풂 ― →
풃与→
풂的夹角为钝角 D．→
풂 ― →
풃与→
풃的夹角为锐角
【分析】根据题意，求出向量（→
풂 ― →
풃）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析
可得答案．
解：根据题意，向量→
풂 = （0，5），→
풃 = （4，﹣3），→
풄 = （﹣2，﹣1），则→
풂 ― →
풃 = （﹣
4，8），
又由→
풄 = （﹣2，﹣1），有（﹣4）×（﹣1）≠（﹣2）×8，则（→
풂 ― →
풃）与→
풄不是共线
向量，
→
풄 = （﹣2，﹣1），则（→
풂 ― →
풃）•→
풄 = （﹣4）×（﹣2）+（﹣1）×8＝0，则（→
풂 ― →
풃）
与→
풄垂直；
故选：B．
7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书
中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5
米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135 平方米 B．270 平方米 C．540 平方米 D．1080 平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S =
1
2lr =
1
2 × 45 ×
24
2 = 270（平方米）．
故选：B．8．已知函数 f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．
解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x） =
1
푥 + 2ax = 2푎푥2 + 1
푥
，
a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
故 a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，
由 f（x）递增，得 a＞0 或 a＝0，不是必要条件，
故选：A．
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边
拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体
的体积是（ ）
A．1 +
휋
2 B．1 +
휋
4 C．1 +
휋
8 D．1+π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为 1 的正方体和一个底面半径为1
2，高为 1 的半个圆柱．
如图所示：
所以：V = ퟏ × ퟏ × ퟏ +
1
2 × 흅 × (
1
2)ퟐ × ퟏ = ퟏ +
휋
8．
故选：C．
10．函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，且它的最小正周期是 T，已知 f（x） =
{풙，풙 ∈ [ퟎ，
푇
4]
푇
2 ― 풙，풙 ∈ (
푇
4 ―
푇
2]
，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：
①对于给定的正整数 n，存在 a∈R，使得
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成立；
②当 a =
푇
4时，对于给定的正整数 n，存在 k∈R（k≠1），使得
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ
成立；
③当 a＝k
푇
4（k∈Z）时，函数 g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；
④当 a＝k
푇
4（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有 0 或푇
4．
其中正确判断的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】对于①，易知当풂 =
푇
4时，n∈N•，都符合
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ；对于②，即풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ成立，取 k＝0 即可证明结论
成立；对于③④，分别取 k＝1，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出③对④错；
综合即可得出正确选项．
解 ： 对 于 ① ， 要 使
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成 立 ， 即 풇(
푇
푛) ⋅ 품(
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(
2푇
푛
) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(푻) = ퟎ，
当풂 =
푇
4时，n∈N•，都符合
풏
풊=ퟏ
품(
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ，故①正确；
对 于 ② ， 要 使
풏
풊=ퟏ
품(풌
푖 ⋅ 푇
푛 )풇(
푖 ⋅ 푇
푛 ) = ퟎ成 立 ， 即 풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛
) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = ퟎ，
取 k ＝ 0 ， 此 时 풇(
푇
푛) ⋅ 품(풌 ⋅
푇
푛) + 풇(
2푇
푛 ) ⋅ 품(풌 ⋅
2푇
푛 ) + ⋯⋯ + 풇(푻) ⋅ 품(풌푻) = 풇(
푇
푛) + 풇(
2푇
푛
) + ⋯⋯ + 풇(푻) = ퟎ，故②正确；
对于③④，当 k＝1，k＝3 时，g（x）为将 f（x）左移푇
4，
3푇
4 个单位，此时周期变为5푇
4 ，
既有对称轴也有对称中心，值域为[ ―
푇
4，
푇
4]，
当 k＝2 时，g（x）为将 f（x）左移푇
2个单位，此时 g（x）+f（x）＝0，
当 k＝4 时，g（x）为将 f（x）左移 T 个单位，此时 g（x）+f（x）＝2f（x），故③正
确，④错误；
故选：C．
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分．
11．复数 z =
1 ― 푖
푖 的共轭复数풛为 ﹣1+i ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
解：∵z =
1 ― 푖
푖 =
(1 ― 푖)( ― 푖)
― 푖2 = ―ퟏ ― 풊，
∴풛 = ―ퟏ + 풊．故答案为：﹣1+i．
12．已知 cos2α =
1
3，则 cos2（휋
2 +휶）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ﹣1 ．
【分析】由 cos2α =
1
3求得 cos2α 的值，再化简并计算所求三角函数值．
解：由 cos2α =
1
3，得 2cos2α﹣1 =
1
3，即 cos2α =
2
3；
所以 cos2（휋
2 +휶）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α
＝1﹣3cos2α
＝1﹣3 ×
2
3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．设 α，β，γ 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n；
②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β；
③若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β．
其中，正确结论的序号为 ①② ．
【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面
平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．
解：α，β，γ 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，
对于①，若 m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得 m∥n，故①正确；
对于②，若 m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得 α∥β，故②正确；
对于③，若 α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断 α、β 相交，则 α∥β不正确．
故答案为：①②．
14．从下列四个条件①a = ퟐc；②C =
휋
6；③cosB = ―
2
4 ；④b = ퟕ中选出三个条件，能
使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），
所选三个条件下的 c 的值为 ①③④， 7
2 ，或者②③④， ퟐ ．
【分析】由①②结合正弦定理可得， 푎
푠푖푛퐴 =
푐
푠푖푛퐶，可求 sinA，但是 A 不唯一，故所选
条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，
若选①③④，结合余弦定理可求 c；若选②③④，结合正弦定理即可求解．
解：由①②结合正弦定理可得， 푎
푠푖푛퐴 =
푐
푠푖푛퐶，
所以 sinA = ퟐsinC =
2
2 ，此时 A 不唯一，故所选条件中不能同时有①②，
故只能是①③④或②③④，
若选①③④a = ퟐc，cosB = ―
2
4 ，b = ퟕ，
由余弦定理可得， ―
2
4 = 2푐2 + 푐2 ― 7
2푐 ⋅ 2푐
，
解可得，c =
7
2 ；
若选②③④，C =
휋
6，cosB = ―
2
4 ，b = ퟕ，
∴sinB =
14
4 ，且 B 为钝角，
由正弦定理可得，
7
14
4
=
푐
1
2
，
解可得，c = ퟐ．故答案为①③④， 7
2 ，②③④， ퟐ．
15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200 件．由于生产这
种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以需
要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求，
称 n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天 2 元
（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动
中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为 5 ．
【分析】求出每天的平均费用关于 n 的式子，利用基本不等式得出结论．
解：每个周期内的总费用为 5000+400+400×2+400×3+…+400（n﹣1）＝5000+200n（n
﹣1），
∴ 每 个 周 期 内 每 天 的 平 均 费 用 为 ： 5000 + 200푛(푛 ― 1)
푛 =
5000
푛 + 200n ﹣ 200 ≥ 2
5000
푛 ⋅ ퟐퟎퟎ풏 ― 200＝1800，
当且仅当5000
푛 = 200n 即 n＝5 时取等号．
故答案为：5．
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图①，四边形 ABCD 中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E 为 AD 中
点．将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置，如图②．
（Ⅰ）求证：平面 A1EB⊥平面 A1ED；
（ Ⅱ ） 若 ∠ A1ED ＝ 90 ° ， 求 A1C 与 平 面 A1BD 所 成 角 的 正 弦值．
【分析】（Ⅰ）证明 BE⊥AD．BE⊥A1E，BE⊥DE．然后证明 BE⊥平面 A1DE．即可
证明平面 A1EB⊥平面 A1DE．
（Ⅱ）建立以 E 为原点，EB，ED，DA 为 x，y，z 轴的空间直角坐标系 E﹣xyz．求出平
面 A1BD 的法向量，结合 →
푨ퟏ푪 = (ퟏ，ퟏ， ― ퟏ)，利用空间向量的数量积求解直线 A1C 与
平面 A1BD 所成角的正弦函数值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形 ABCD 中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝1，AD＝2，E
为 AD 中点，
所以 BE⊥AD．
故 图②中，BE⊥A1E，BE⊥DE．
又 因为 A1E∩DE＝E，A1E，DE⊂平面 A1DE，
所以 BE⊥平面 A1DE．
又 因为 BE⊂平面 A1EB，
所以 平面 A1EB⊥平面 A1DE．
（Ⅱ）解：由∠A1ED＝90°得 A1E⊥DE，
又 A1E⊥BE，BE⊥DE，
因此，建立如图所示的空间直角坐标系 E﹣xyz．
由 A1E＝CD＝DE＝1，得 A1 （0 ，0 ，1 ），B （1 ，0 ，0 ），C （1 ，1 ，0 ），D （0 ，1 ，0 ）， →
푨ퟏ푩
= (ퟏ，ퟎ， ― ퟏ)， →
푨ퟏ푫 = (ퟎ，ퟏ， ― ퟏ)，
设平面 A1BD 的法向量为→
풏 = （x，y，z），
则{→
풏 ⋅
→
푨ퟏ푩 = ퟎ，
→
풏 ⋅
→
푨ퟏ푫 = ퟎ，
即{풙 ― 풛 = ퟎ，
풚 ― 풛 = ퟎ，，令 z＝1 得 x＝1，y＝1，
所以→
풏 = （1，1，1）是平面 A1BD 的一个法向量．
又 →
푨ퟏ푪 = (ퟏ，ퟏ， ― ퟏ)，
设直线 A1C 与平面 A1BD 所成角为 θ，
所以풔풊풏휽 = |풄풐풔〈→
풏， →
푨ퟏ푪〉| =
|
→
푛 ⋅
→
퐴1퐶|
|
→
푛||
→
퐴1퐶|
=
1
3 ⋅ 3 =
1
3．
17．已知{an}为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，
其前 n 项和为 Tn，如图_____，Tn 的图象经过 A，B 两个点．
（Ⅰ）求 Sn；
（Ⅱ）若存在正整数 n，使得 bn＞Sn，求 n 的最小值．
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）设{an}为公比为 q 的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得
首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；
（Ⅱ）分别考虑图①、②、③，判断数列{bn}的单调性，选择②③均可能满足“存在
n，使得 bn＞Sn”．讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最
小值．
解：（Ⅰ）设{an}为公比为 q 的等比数列，
由 a3＝1，S3＝3a2+1，得 a1＝2a2，即 q =
푎2
푎1
=
1
2，a1q2＝1，
所以풒 =
1
2，a1＝4．
所以푺풏 =
4(1 ― 1
2푛)
1 ― 1
2
= ퟖ(ퟏ ―
1
2푛) = ퟖ ― ퟐퟑ―풏；
（Ⅱ）由图①知：T1＝b1＝1，T3＝﹣3，可判断 d＜0，数列{bn}是递减数列；
而{8﹣23﹣n}递增，由于 b1＜S1，
所以选择①不满足“存在 n，使得 bn＞Sn”；
由图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断 d＞0，数列{bn}是递增数列；由图③知：T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可判断 d＞0，数列{bn}是递增数列．
所以选择②③均可能满足“存在 n，使得 bn＞Sn”．
第一种情况：
如果选择条件②即 T1＝b1＝1，T3＝6，可得：d＝1，bn＝n．
当 n＝1，2，3，4，5，6，7 时，bn＞Sn 不成立，
当 n＝8 时，풃ퟖ = ퟖ，푺ퟖ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟖ＜풃ퟖ，
所以 使得 bn＞Sn 成立的 n 的最小值为 8．
第二种情况：
如果选择条件③即 T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可得：d＝3，bn＝3n﹣6．
当 n＝1，2，3，4 时，bn＞Sn 不成立，
当 n＝5 时，풃ퟓ = ퟗ，푺ퟓ = ퟖ ― ퟐퟑ―ퟓ＜풃ퟓ成立，
所以 使得 bn＞Sn 成立的 n 的最小值为 5．
18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽
取的方法招募志愿者，如表记录了 A，B，C，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个
数据模糊，记为 a，b．
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记 ξ 为甲同学最终被招募的项目个数，已知 P（ξ＝0） =
1
40，P（ξ＝4） =
1
10．
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求 a，b 的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目 A 的志愿者（不包含甲）调整到项目 D，试判断 Eξ 如何变
化（结论不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）由푷(흃 = ퟎ) =
1
40，得 a＞60，且 b＞80．设事件 A 表示“甲同学被项目A
招募”，则푷(푨) =
50
100 =
1
2；设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，则푷(푩) =
60
푎 ；设
事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，则푷(푪) =
80
푏 ；设事件 D 表示“甲同学被项目 D
招募”，则푷(푫) =
160
200 =
4
5，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”
是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．
（Ⅱ）由题意可知，푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ―
1
2) ⋅ (ퟏ ―
60
푎 ) ⋅ (ퟏ ―
80
푏 ) ⋅ (ퟏ ―
4
5) =
1
40，
푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) =
1
2 ⋅
60
푎 ⋅
80
푏 ⋅
4
5 =
1
10，由此能求出 a，b．
（Ⅲ）Eξ 变大．
解：（Ⅰ）因为푷(흃 = ퟎ) =
1
40，
所以 a＞60，且 b＞80．
设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”，由题意可知，푷(푨) =
50
100 =
1
2；
设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，由题意可知，푷(푩) =
60
푎 ；
设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知，푷(푪) =
80
푏 ；
设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知，푷(푫) =
160
200 =
4
5，
由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ퟏ ― 푷(흃 = ퟒ) = ퟏ ―
1
10 =
9
10，
（Ⅱ）由题意可知，푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푪푫) = (ퟏ ―
1
2) ⋅ (ퟏ ―
60
푎 ) ⋅ (ퟏ ―
80
푏 ) ⋅ (ퟏ ―
4
5) =
1
40，
푷(흃 = ퟒ) = 푷(푨푩푪푫) =
1
2 ⋅
60
푎 ⋅
80
푏 ⋅
4
5 =
1
10，
解得 a＝120，b＝160．
（Ⅲ）Eξ 变大．
19．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为 A（0，﹣1），离心率为 3
2 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，线段 PQ 的中点
为 M，点 B（1，0），求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ，
푐
푎 =
3
2 ，
풃 = ퟏ，
求出 a，b 然后得到椭圆方程．
（Ⅱ）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．联立直线与椭圆方程，利用
韦达定理以及线段 PQ 的中点为 M，结合向量的数量积，判断点 M 不在以 AB 为直径的
圆上．
【解答】（Ⅰ）解：由题意可知{풃ퟐ + 풄ퟐ = 풂ퟐ，
푐
푎 =
3
2 ，
풃 = ퟏ，
解得{풂 = ퟐ，
풃 = ퟏ，
풄 = ퟑ，
所以椭圆 C 的方程为푥2
4 + 풚ퟐ = ퟏ．
（Ⅱ）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．由{푥2
4 + 풚ퟐ = ퟏ，
풚 = 풌(풙 ― ퟏ)，
得 （4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
所以△＝（﹣8k2）2﹣4×（4k2+1）（4k2﹣4）＝48k2+16．
所以当 k 为任何实数时，都有△＞0．
所以 풙ퟏ + 풙ퟐ =
8푘2
4푘2 + 1
，풙ퟏ풙ퟐ =
4푘2 ― 4
4푘2 + 1
．
因为线段 PQ 的中点为 M，
所以 풙ퟎ =
푥1 + 푥2
2 =
4푘2
4푘2 + 1
，풚ퟎ = 풌(풙ퟎ ―ퟏ) =
―푘
4푘2 + 1
，
因为 B（1，0），
所以 →
푨푴 = (풙ퟎ，풚ퟎ +ퟏ)， →
푩푴 = (풙ퟎ ―ퟏ，풚ퟎ)．
所以 →
푨푴 ⋅ →
푩푴 = 풙ퟎ(풙ퟎ ―ퟏ) + 풚ퟎ(풚ퟎ +ퟏ) = 풙ퟎ
ퟐ ― 풙ퟎ + 풚ퟎ
ퟐ + 풚ퟎ
= (
4푘2
4푘2 + 1
)ퟐ ―
4푘2
4푘2 + 1
+(
―푘
4푘2 + 1)ퟐ +
―푘
4푘2 + 1
=
―4푘3 ― 3푘2 ― 푘
(4푘2 + 1)2 =
―푘(4푘2 + 3푘 + 1)
(4푘2 + 1)2
= ―푘[4(푘 + 3
8)
2
+ 7
16]
(4푘2 + 1)2
．
又因为 k≠0，ퟒ(풌 +
3
8)ퟐ +
7
16＞ퟎ，
所以 →
푨푴 ⋅ →
푩푴 ≠ ퟎ，
所以点 M 不在以 AB 为直径的圆上．
20．已知 f（x）＝ex+sinx+ax（a∈一、选择题）．
（Ⅰ）当 a＝﹣2 时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
（Ⅱ）若对任意 x≥0，f（x）≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）若 f（x）有最小值，请直接给出实数 a 的取值范围．
【分析】（I）把 a＝﹣2 代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；
（II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对 a
进行分类讨论可求；
（III）结合最值与极值及导数关系可求．
【解答】（Ⅰ）解：a＝﹣2，f'（x）＝ex+cosx﹣2，
当 x＜0 时，ex＜1，cosx≤1，
所以 f'（x）＝ex+cosx﹣2＜0．
所以 f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．
（Ⅱ）解：当 x＝0 时，f（x）＝1≥1，对于 a∈R，命题成立，
当 x＞0 时，设 g（x）＝ex+cosx+a，
则 g'（x）＝ex﹣sinx．
因为 ex＞1，sinx≤1，
所以 g'（x）＝ex﹣sinx＞1﹣1＝0，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
又 g（0）＝2+a，
所以 g（x）＞2+a．
所以 f'（x）在（0，+∞）上单调递增，且 f'（x）＞2+a．
①当 a≥﹣2 时，f'（x）＞0，
所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为 f（0）＝1，
所以 f（x）＞1 恒成立．②当 a＜﹣2 时，f'（0）＝2+a＜0，
因为 f'（x）在[0，+∞）上单调递增，
又当 x＝ln（2﹣a）时，f'（x）＝﹣a+2+cosx+a＝2+cosx＞0，
所以 存在 x0∈（0，+∞），对于 x∈（0，x0），f'（x）＜0 恒成立．
所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，
所以 当 x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）＝1，不合题意．
综上，当 a≥﹣2 时，对于 x≥0，f（x）≥1 恒成立．
（Ⅲ）解：a＜0．
21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知 ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，
n；j＝1，2，…， n），定义 n×n 数表푿(푨，푩) = (풙ퟏퟏ 풙ퟏퟐ ⋯ 풙ퟏ풏
풙ퟐퟏ 풙ퟐퟐ ⋯ 풙ퟐ풏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
풙풏ퟏ 풙풏ퟐ ⋯ 풙풏풏
)，其中 xij =
{ퟏ，풂풊 = 풃풋
ퟎ，풂풊 ≠ 풃풋．
（Ⅰ）若 A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出 X（A，B）；
（Ⅱ）若 A，B 是不同的数列，求证：n×n 数表 X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，
2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ ak+bk＝1（k＝1，2，…，
n）”；
（Ⅲ）若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个，求证：n×n 数表 X（A，B）中 1 的个数不大于
푛2
2
．
【分析】（I）根据 xij = {ퟏ，풂풊 = 풃풋
ퟎ，풂풊 ≠ 풃풋得出 X（A，B）的各行各列的数值；
（II）根据 ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi 证明充分性，根据 a1，b1 的各
种不同取值分类证明必要性；
（III）讨论 ai 的不同取值，计算 X（A，B）的第 i 行中 1 的个数，从而得出 X（A，B）中 1 的总数，利用基本不等式得出结论．
【解答】（Ⅰ）解：푿(푨，푩) = (ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟎ ퟏ ퟎ ퟎ
ퟏ ퟎ ퟏ ퟏ)．
（Ⅱ）证明：充分性
若 ak+bk＝1（k＝1，2，…，n），由于 xij = {ퟏ，풂풊 = 풃풋
ퟎ，풂풊 ≠ 풃풋，xji = {ퟏ，풂풋 = 풃풊
ퟎ，풂풋 ≠ 풃풊，
令 A：a1，a2，…，an，由此数列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an．
由于 ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi．
从而有 xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．
必要性
若 xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．
由于 A，B 是不同的数列，
（1）设 a1＝1，b1＝0，对任意的正整数 k＞1，
①若 x1k＝xk1＝1，可得 a1＝bk＝1，ak＝b1＝0，
所以 ak+bk＝1．
②若 x1k＝xk1＝0，可得 bk＝0，ak＝1，
所以 ak+bk＝1．
同理可证 a1＝0，b1＝1 时，有 ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）成立．
（2）设 a1＝1，b1＝1，对任意的正整数 k＞1，
①若 x1k＝xk1＝1，可得 a1＝bk＝1，ak＝b1＝1，
所以有 ak＝bk＝1，则 A，B 是相同的数列，不符合要求．
②若 x1k＝xk1＝0，可得 bk＝0，ak＝0，所以有 ak＝bk，则 A，B 是相同的数列，不符合要求．
同理可证 a1＝0，b1＝0 时，A，B 是相同的数列，不符合要求．
综上，有 n×n 数表 X（A，B）满足“xij＝xji”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，
2，…，n）”．
（Ⅲ）证明：由于数列 A，B 中的 1 共有 n 个，设 A 中 1 的个数为 p，
由此，A 中 0 的个数为 n﹣p，B 中 1 的个数为 n﹣p，B 中 0 的个数为 p．
若 ai＝1，则数表 X（A，B）的第 i 行为数列 B：b1，b2，…，bn，
若 ai＝0，则数表 X（A，B）的第 i 行为数列 B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，
所以 数表 X（A，B）中 1 的个数为풑(풏 ― 풑) + (풏 ― 풑)풑 = ퟐ풑(풏 ― 풑) ≤ ퟐ(
푝 + (푛 ― 푝)
2 )ퟐ =
푛2
2
．
所以 n×n 数表 X（A，B）中 1 的个数不大于푛2
2
．
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