江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题（解析版）

2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 数学Ⅰ （全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上） 1.已知集合 ， ，则 ，则实数 值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 由 得到 ，根据集合 中的元素都在集合 中，即可得出 得值. 【详解】因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，解得 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题. 2.已知复数 满足 (i 为虚数单位)，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的四则运算法则可求出 ，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为 ，所以 ，即 ． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 3.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者 50 人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数， 已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 【答案】15 的2{ 1,0, }A a= − { 1,1}B = − A B B= a ±1 A B B= B A⊆ B A a A B B= B A⊆ 2{ 1,0, }A a= − { 1,1}B = − 2 1a = 1a = ± ±1 z 3 4i iz + = | |z = z 3 4i iz + = 3 4 4 3iz ii += = − ( )22| | 4 3 5z = + − =【解析】 【分析】 根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出． 【详解】高三年级抽取的人数为 ． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题． 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】 模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】解：模拟程序运行的过程如下： 第一步： ， ， ； 第二步： ， ， ； 第三步： ， ， ； 第四步： 不符合条件，所以输出 . 故答案为：15. 【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题. 5.已知抛物线 的准线也是双曲线 的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是 ________． 【答案】 【解析】 350 154 3 3 × =+ + S 1i = 0 5 5S = + = 1 2i i= + = 2 4i = < 5 5 10S = + = 1 3i i= + = 3 4i = < 10 5 15S = + = 1 4i i= + = 4 4,≥ 15S = 2 2y x= 2 2 13 x y m − = 3y x= ±【分析】 依据题意分别求出抛物线的准线方程和双曲线的左准线方程，即可解出 ，从而由双曲线的解析式得到其 渐近线方程． 【 详 解 】 因 为 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 ， 双 曲 线 的 一 条 左 准 线 方 程 为 ： ，所以 ，解得 ，因此，双曲线的方程为 ， 其渐近线方程是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题． 6.某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大赛，则选出的人员中 恰好有一名女生的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意求出总的基本事件总数 种，再计算恰有一名女生的基本事件数 ,利用古典概型计算 即可. 【详解】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名，共有 种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为 种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题. 7.已知数列 是等比数列， 是其前 项之积，若 ，则 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】 先设等比数列 的公比为 ，根据题意，得到 ，再由等比数列的性质，即可求出结果. m 2 2y x= 1 2x = − 2 2 13 x y m − = ( )0 3 mx m m = − > + 1 2 3 m m = + 1m = 2 2 13 yx − = 3y x= ± 3y x= ± 3 5 3 5n C= 2 1 3 2m C C= 3 5 10n C= = 2 1 3 2 3 2 6m C C= = × = 6 3 10 5 mP n = = = 3 5 { }na nT n 5 6 7a a a⋅ = 7T { }na q 4 1a =【详解】因为数列 是等比数列，设公比为 ， 由 得 ，即 ，即 ， 由等比数列的性质可得， . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型. 8.已知 ，则 的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知可得函数为偶函数，求导分析可得 f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式 等价于 ，解出 x 的取值范围，即可得答案． 【详解】由题知， ，所以 为偶函数， 当 x≥0 时， 此时有 ，则 在[0，+∞）上为增函数， 由 ，可得 ，而函数 为偶函数， 可得 ， 解得 ， 即不等式的解集为 . 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题． 9.如图，已知正 是一个半球的大圆 的内接三角形，点 在球面上，且 面 ，则三棱锥 与半球的体积比为_________． { }na q 5 6 7a a a⋅ = 4 5 6 1 1 1a q a q a q⋅ = 3 1 1a q = 4 1a = 7 7 1 2 3 4 5 6 7 4 1T a a a a a a a a= = = 1 ( ) cos xf x x e= + (3 ) (3 1) 0f x f x− − + > 12, 2  −   3 3 1x x− +＞ ( ) ( )f x f x− = ( ) cos xf x x e= + ( ) cos xf x x e= + ( ) sin 0xf x x e′ = − + > ( )f x (3 ) (3 1) 0f x f x− − + > (3 ) (3 1)f x f x− > + ( )f x 3 3 1x x− > + ( ) ( )2 23 3 1x x− > + 12 2x− < < 12, 2  −   12, 2  −   ABC O P OP ⊥ ABC P ABC−【答案】 【解析】 【分析】 是等边三角形 的外心，设球半径为 ,等边三角形边长为 得到 ，求体积可得. 【详解】 设球半径为 ,等边三角形边长为 ，由图知， ,连接 , 面 , ,由球的对称性知 是等边三角形 的外心， 故答案为： 3 3 8π O ABC R a 3 3R a= R a OP OA R= = OB OP ⊥ ABC OP OB∴ ⊥ O ABC 2 3 3 3 2 3OB a a∴ = × = 3 3R a∴ = 2 2 31 1 1 3 3 1 3 3 2 2 12 12P ABC ABCV S OP a R a R a− ∆= = × × × = = 3 3 31 4 2 2 3 2 3 3 27V R R aπ π π= × = = 3 3 1 3 312 82 3 27 P ABC aV V a ππ −∴ = = 3 3 8π【点睛】与球有关外接问题的解题规律 (1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的 . (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂 直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥． (3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 10.已知 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用倍角公式求出 ，再利用和差公式展开即可. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： . 【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题. 11.设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数 的零点个数为 _______. 【答案】2 【解析】 【分析】 函数 的零点即方程 的根，由 可得 .分 、 和 1 2 3sin( )2 8 3 α π− = sin cosα α+ = 2 3 1cos cos24 2 8 3 π α πα   − = − =       3sin( )2 8 3 α π− = 2 1cos cos2 1 2sin4 2 8 2 8 3 π α π α πα     − = − = − − =           2 2 1cos sin2 2 3 α α+ = 2cos sin 3 α α+ = 2 3 [ ]t t [ 1.3] 2− = − [2.6] 2= [ ]( ) 2 1f x x x= − − [ ]( ) 2 1f x x x= − − [ ]2 1x x− = 2 1 0− ≥x 0x ≥ 0 1x≤ < 1x =讨论，求出方程 的根，即得函数 的零点个数. 【详解】函数 的零点即方程 的根， 函数 的零点个数，即方程 的根的个数. . 当 时， . 当 时， 或 或 （舍） 当 时， ， 方程 无解. 综上，方程 的根为 ，1. 所以方程 有 2 个根，即函数 有 2 个零点. 故答案 ：2. 【点睛】本题考查函数与方程，准确分类是关键属于中档题. 12.已知点 是边长为 2 的正 内一点，且 ，若 ，则 的最小 值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 取 的中点 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的轨迹方程为 ，可设点 ，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的最小值. 【详解】取 的中点 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系 ，则点 、 、 ， . 为 1x > [ ]2 1x x− = ( )f x [ ]( ) 2 1f x x x= − − [ ]2 1x x− = ∴ ( )f x [ ]2 1x x− = [ ]2 1 0, 0, 0x x x− ≥ ∴ ≥ ∴ ≥ 0 1x≤ < [ ] 10, 2 1 0, 2x x x= ∴ − = ∴ = 1x = [ ] 1, 2 1 1, 2 1 1x x x= ∴ − = ∴ − = 2 1 1, 1x x− = − ∴ = 0x = 1x > [ ]2 1 2 1x x x x− = − > ≥ ∴ [ ]2 1x x− = [ ]2 1x x− = 1 2 [ ]2 1x x− = [ ]( ) 2 1f x x x= − − M ABC AM AB ACλ µ= +   1 3 λ µ+ = MB MC⋅  1 3 BC O O OC OA x y M 2 3 1 1 3 3 3y x = − <   > 10 3 λ< < 1 1,3 3x  ∈ −   2 31 , 3MB x  = − − −     2 31 , 3MC x  = − −     2 24 11 3 3MB MC x x∴ ⋅ = − + = +  0x = MB MC⋅  1 3 1 3 M ABCD 60A B∠ = ∠ =  2AB = CD P 2PA PB= 3+ 5 D 2PA PB=设 ，则 ∵四边形 是等腰梯形，且 ∴ ， ， ∴ ， ， ， 假设存在点 在上底 上使得 ∴可设 ，其中 ∵ ∴ 整理得： 上底 上存在点 使得 ， 等价于方程 在 上有解 令 ， ， 又因为对称轴为 ∴ 解得 ∴ 又∵梯形 的周长为 ，在 单调递增 AE t= 0 1t< < ABCD 60DAB∠ =  2AD BC t= = 3DE t= 2 2DC t= − ( )0,0A ( )2,0B ( ), 3D t t ( )2 , 3C t t− P CD 2PA PB= ( ), 3P m t 2t m t≤ ≤ − 2PA PB= ( ) ( ) ( )2 222 3 2 2 3m t m t+ = × − + 2 28 8 3 0m m t− + + = CD P 2PA PB= 2 28 8 3 0m m t− + + = 2t m t≤ ≤ − ( ) 2 28 8 3f m m m t= − + + [ ],2m t t∈ − ( )0,1t ∈ 4 2m t= > − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 8 3 0 2 2 8 2 8 3 0 f t t t t f t t t t  = − + + ≥ − = − − − + + ≤ 1 5 1 5 2 2t − − − +≤ ≤ 1 50 2t − +< ≤ ABCD 2 2 2 2 2 2 4C t t t t= + + + − = + 1 50 2t − +< ≤∴当 时，有 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关 键. 14.锐角 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的取值范围为 _______. 【答案】 【解析】 【分析】 用正弦定理对等式 进行边角转化，然后逆用两角差的正弦公式、正弦函数的性质得到 之间的关系，再根据锐角三角形的性质，结合三角形内角和定理求出 的取值范围，最后利用正弦定 理对 进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利 用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知； ，所以由 即 ，因为 是锐角三角形， 所以 ，因此有 ， 而 是锐角三角形，所以 ，而 , 所以 . 由正弦定理可知： ， 所以 ， 1 5 2t − += max 1 52 4 3 52C − += × + = + 3+ 5 ABC∆ , ,a b c , ,A B C cos (1 cos )a B b A= + 2 2 a b b c + 73 2     ， cos (1 cos )a B b A= + ,A B B 2 2 a b b c + sin sin a b A B = cos (1 cos ) sin cos sin (1 cos ) sin cos sin cos sin ,a B b A A B B A A B B A B= + ⇒ = + ⇒ − = sin( ) sinA B B− = ABC∆ , (0, ), ( ) ( , )2 2 2A B A B π π π∈ ∴ − ∈ − 2A B B A B− = ⇒ = ABC∆ , , (0, )2A B C π∈ 3C A B Bπ π= − − = − 0 2 0 2 2 6 4 0 3 2 B B B B π π π π ππ  < 4x = A F l F E ,B C O l 2 5 5（1）求椭圆 的标准方程； （2）若过 的直线 与直线 分别相交于 两点，且 ，求 的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】 （1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出 ，从而可得椭圆的标准方程. （2）设 ， ，联立直线 和直线 的方程可得 的坐标，同理可得 的坐标，根据 可得 的坐标关系，联立直线 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率 的值. 【详解】解：（1）设椭圆 的焦距为 ， 则直线 的方程为 ，即 . 因为 到直线 的距离为 ，故 ， 所以 ，则 . 因为椭圆 的右准线的为直线 ，则 ，所以 ， ， 故椭圆 的标准方程为 . （2）由(1)知 ： ，设 ， . E O :m y kx= ,AB AC ,M N =OM ON k 2 2 14 3 x y+ = , ,a b c 1 1( , )B x y 2 2( , )C x y m AB M N =OM ON ,B C BC k E 2c l 2( )y x c= − 2 2 0x y c− − = O l 2 5 5 2 2 2 0 0 2 2 52 1 c cd × − −= = + 2 2 5 55 c = 1c = E 4x = 2 4a c = 2 4a = 2 2 2 3b a c= − = E 2 2 14 3 x y+ = l 2( 1)y x= − 1 1( , )B x y 2 2( , )C x y由 得 ，则 . 由 ， 可知 ， 由 得 ， 同理 . 因为 ，所以 ， 由图可知 ， 所以 ， 即 ， 所以 . 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置 关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和 方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 19.已知函数 . （1）若曲线 与直线 在 处相切. ①求 的值； ②求证：当 时， ； （2）当 且 时，关于的 不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）① ②见解析（2） 【解析】 2 2 2( 1) 3 4 12 y x x y = −  + = 219 32 4 0x x− + = 2 1 2 1 2 32 4 19 4 0 32 19 4 19 x x x x  ∆ = − × × >  + =   = ( 2,0)A − 1 1( , )B x y 1 1 : ( 2)2 yAB y xx = ++ 1 1 , ( 2)2 y kx yy xx =  = + + 1 1 1 2 ( 2)M yx k x y = + − 2 2 2 2 ( 2)N yx k x y = + − =OM ON 2 21 1M Nk x k x+ = + 0M Nx x+ = 1 2 2 2 1 12 [ ( 2) ] 2 [ ( 2) ] 0y k x y y k x y+ − + + − = 1 2 2 2 1 1( 1)[ ( 2) 2( 1)] ( 1)[ ( 2) 2( 1)] 0x k x x x k x x− + − − + − + − − = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 4( 1)( 1) 4[ ( ) 1] ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( ) 4 x x x x x xk x x x x x x x x − − − + += =− + + − + + + − 4 324[ 1] 4(4 32 19)19 19 14 32 8 32 4 192 419 19 − + − += = =+ − ×× + − 2( ) ( R)xf x e ax a= − ∈ ( )f x : ( 2) ( R)l y e x b b= − + ∈ 1x = a b+ 0x ≥ ( ) ( 2)f x e x b≥ − + 0a = (0, )x∈ +∞ x 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + + m 2a b+ = m 1≥【分析】 （1）①求出导函数 ，由 可求得 ，再由 可求得 ，从而得 ；②引 入函数 ，利用导数求函数 的最小值（需二次求导确定），确定最 小值是 ，从而证得不等式成立； （2）不等式分离参数得 ，原题等价于 时， 有解.求出 的最小值即可得，为此先证明不等式 ，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的 单调性与最值得出结论． 应用刚证的不等式可得结论． 【详解】解：（1）①因为 ，所以 . 因为曲线 与直线 在 处相切， 所以 ，所以 . 所以 ，所以 . 又切点 在直线 上，所以 ， 所以 ，所以 ② 由①知 ，可设 ， 则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 由 ，所以 ， 所以存在 ，使得 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ，所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号， ( )f x′ (1) 2f e′ = − a (1) 2f e b= − + b +a b ( ) ( ) ( )2 2 1 0xh x e x e x x= − − − − ≥ ( )h x (1) 0h = 2 2ln 1xx e xm x − −≥ (0, )x∈ +∞ 2 2ln 1xx e xm x − −≥ 2 2ln 1xx e x x − − 1xe x≥ + 22 lnx x xx e e += ( ) 2xe xf x a= − ( ) 2xf x e ax′ = − ( )f x :l ( 2)y e x b= − + 1x = ( )1 2 2f e a e′ = − = − 1a = ( ) 2xf x e x= − ( )1 1f e= − (1, 1)e − l 1 2e e b− = − + 1b = 2a b+ = 1, 1a b= = ( ) ( ) ( )2 2 1 0xh x e x e x x= − − − − ≥ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 , 2x xg x h x e x e g x e′ ′= = − − − = − ln 2x < ( ) 0g x′ < ln 2x > ( ) 0g x′ > ( )h x′ ( )0,ln 2 ( )ln 2,+∞ ( ) ( )0 3 0, 1 0,0 ln 2 1h e h′ ′= − > = < < ( )ln 2 0h′ < ( )0 0,ln 2x ∈ ( )0 0h x′ = ( ) ( )00, 1,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )00, x ( )0 ,1x ( )1,+∞ ( ) ( )0 1 0h h= = ( ) 0h x ≥ ( ) ( )2 1f x e x≥ − + 1x =所以当 时， ， 故当 时， (3）先证 . 构造函数 ，则 . 故当 时， ， 在 上递增，当 时， ， 在 上 递减， 所以 ，即 又当 ，且 时， 等价于 故原题等价于 时， 有解. 因为 （当 时取等号）， 所以 . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题．利用导数解决不等式 的恒成立问题的策略： 1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数 的取值范围. 2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 对于 恒成立，应求 的 最小值；若存在 ，使得 成立，应求 的最大值.应特别关注等号是否成立问题． 20.已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且 . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求证：数列 是等差数列； （3）若 ， ，是否存在实数 ，使得 对任意正整数 恒成立，若存在， 求实数 的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）见解析（3）不存在满足条件的实数 ，见解析 【解析】 【分析】 0x ≥ ( )2 2 1xe x e x− ≥ − + 0x ≥ ( )( ) 2f x e x b≥ − + 1xe x≥ + ( ) 1xp x e x= − − ( ) 1xp x e′ = − (0, )x∈ +∞ ( ) 0p x′ > ( )p x (0, )+∞ ( , 0)x ∈ −∞ ( ) 0p x′ < ( )p x ( ,0)−∞ ( ) (0) 0p x p≥ = 1xe x≥ + 0a = (0, )x∈ +∞ 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + + 2 2ln 1xx e xm x − −≥ (0, )x∈ +∞ 2 2ln 1xx e xm x − −≥ 22 lnx 22ln 1 2ln 1 ln 1 2ln 1 1 x xx e x e x x x x x x x +− − − − + + − −= ≥ = 2ln 0x x+ = m 1≥ ( ) ( )f x g a≥ x D∈ ( )f x x D∈ ( ) ( )f x g a≥ ( )f x { }na n nS +1 2 =n n n n S a S a + 3 =3S 3a 2021 1=2021a a { }na 1=1a 2 =2a λ 2 22 2n ma m a na aλ≤ −− m n， λ 3 3= 2a λ（1）由题得 ，所以 ，得 ，即得 的值； （2）利用累乘法得到 ，所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，求出 ， ，所以 ，再证明数列 是等差数列； （3）原题等价于 ，不妨设 ，即 对任意正整数 （ ）恒成立，即 对任意正整数 恒成立，再证明当 且 时， ，即得解. 【详解】（1）解：由 ，令 ，得 ， 因为数列 的各项均为非零实数，所以 ， 所以 ， 所以 . （2）证明：由 得： ， ……， ，相乘得： ， 因为数列 的各项均为非零实数，所以 ， 当 时： ，所以 ， 即 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，所以数列 是等差数列. (3) 解：当 ， 时，由(2)知 ，所以 ，即 ， 不妨设 ，则 ， ，所以 ， 即 对任意正整数 （ ）恒成立， 1 1 2 3 =S a S a 2 3=S a 3 3=2 3S a = 3a 1 1 2=n na a a+ −− { }2 1na − 1a 2a ( )2 1 12 1na n a− = − 2 12na na= 1=na na { }na 2 22 2n m n mλ≤ −− m n> 2 22 2m nm nλ λ≤ −− m n， m n> 2 2 0n nλ λ− − ≤ n 5n ≥ 2+n λ λ λ≥ + 2 2 0n nλ λ− − > +1 2 =n n n n S a S a + 1n = 1 1 2 3 =S a S a { }na 2 1 2 3= + =S a a a 3 1 2 3 3= 2 3S a a a a+ + = = 3 3= 2a +1 2 =n n n n S a S a + 1 1 2 3 =S a S a 2 2 3 4 =S a S a ， 3 3 4 5 =S a S a ， 1 1 1 =n n n n S a S a − − + 1 1 2 1 = n n n S a a S a a + { }na 2 1=n n na S a a + 2n ≥ 2 1 1=n n na S a a− − 2 2 1 1 1=n n n n n na S a S a a a a− + −− − ( ) ( )2 1 1 1=n n n n na S S a a a− + −− − ( )2 1 1=n n n na a a a a+ −− 0na ≠ 1 1 2=n na a a+ −− { }2 1na − 1a 2a 2021 1 2 1= +1010 =2021a a a a 2 1=2a a ( ) ( )2 1 1 2 1= + 1 2 1na a n a n a− − = − ( )2 2 2 1= + 1 2na a n a na− = 1=na na 1 1=n na a a+ − { }na 1=1a 2 =2a =na n 2 22 2n ma m a na aλ≤ −− 2 22 2n m n mλ≤ −− m n> 2 2m n> 2 2m n> 2 22 2m n m nλ λ≤ −− 2 22 2m nm nλ λ≤ −− m n， m n>则 ，即 对任意正整数 恒成立， 设 ， 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 当 时， ， 所以 时， . 所以 时， ， 令 或 （舍去）. 所以当 且 时， ， 所以不存在满足条件的实数 . 【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学Ⅱ （全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21.已知矩阵 ，求矩阵 的逆矩阵 的特征值． 【答案】 ， ． 【解析】 【分析】 求出矩阵 的逆矩阵 ，列出矩阵 的特征多项式 ，然后解方程 ，即可得出矩阵 的 特征值. 【详解】设矩阵 的逆矩阵为 ， ( )2+1 22 +1 2n nn nλ λ− ≤ − 2 2 0n nλ λ− − ≤ n 22n nC n= − 1n = 1 2 1 0C = − > 2n = 2 4 4 0C = − = 3n = 3 8 9 1 0C = − = − < 4n = 2 16 16 0C = − = 5n = 5 32 25 0C = − > 5n ≥ 0 1 2 2 1 2( 1)2 2(1 ) 2 02 n n n n n n n n n n n nC C C C C C n n n− − −= + + + + + + = + + = + + > 5n ≥ 20, 2n nC n> ∴ > 5n ≥ 22 2 2n nn nλ λ λ λ− − > − − 22 2 0,n nn λ λ λ λ λ− − > ∴ > + + 2n λ λ λ< − + 5n ≥ 2+n λ λ λ> + 2 2 0n nλ λ− − > λ 1 0 0 2A − =    A 1A− 1 1λ = − 2 1 2 λ = A 1A− 1A− ( )f λ ( ) 0f λ = 1A− A 1 a bA c d −  =   则 ，即 ， 故 ， ， ， ，所以矩阵 A 的逆矩阵为 . 矩阵 的特征多项式为 . 令 ，解得 特征值为 ， ． 【点睛】本题考查矩阵的逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵的特征值的计算，考查计算能力，属于基础题. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是： （ 为参数）.以 为极点， 轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．若直线 与曲线 相交于 两点， 且 ，求实数 的值. 【答案】 或 ． 【解析】 【分析】 分别求出曲线 和直线 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理求出 ，解方程即可. 【详解】曲线 的直角坐标方程为 ，表示圆心为 ，半径为 的圆 由 ，得 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ． 设圆心到直线 的距离为 ，则 ， 所以 ， 因为 的 1 0 1 0 0 2 0 1 a b c d −     =           1 0 2 2 0 1 a b c d − −   =       1a = − 0b = 0c = 1 2d = 1 1 0 10 2 A− −   =     1A− ( ) ( ) 1 0 111 20 2 f λ λ λ λ λ +  = = + − −   ( ) 0f λ = 1A− 1 1λ = − 2 1 2 λ = xOy C 2cos , 2sin x y m α α =  = + α O x l cos 13 πρ θ + =   l C P Q、 2 3PQ = m 0m = 4 3 3m = − C l PQ C ( )22 4x y m+ − = ( )0,m 2 cos 13 πρ θ + =   1 3cos sin 12 2 ρ θ ρ θ− = l 3 2 0x y− − = l d 2 | 0 3 2 | | 3 2 | 21 3 m md − − += = + ( )2 3 2 2 4 4 m PQ + = − 2 3PQ =所以 ，解得 或 ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程再求解是常规 方法. 23.如图，在三棱锥 中，已知 都是边长为 的等边三角形， 为 中点， 且 平面 ， 为线段 上一动点，记 . 当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值； 当 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等 或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面 的一个法向量，再根据 向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果. 【详解】连接 CE， 以 分别为 轴， 建立如图空间直角坐标系， ( )2 3 2 2 4 2 34 m + − = 0m = 4 3 3m = − A BCD− ,ABD BCD  2 E BD AE ⊥ BCD F AB BF BA λ= ( )1 1 3 λ = DF BC ( )2 CF ACD 15 10 λ 5 28 56 1 2 λ = ACD , ,EB EC EA , ,x y z 则 ， 因为 F 为线段 AB 上一动点，且 ， 则 ， 所以 ． （1）当 时， ， ， 所以 ． （2） ， 设平面 的一个法向量为 = 由 , 得 ，化简得 ，取 设 与平面 所成角为 ， 则 . 解得 或 （舍去），所以 ． 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标 系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四， 破“应用公式关”. ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 3 , 1,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0A B C D − BF BA λ= ( ) ( )= 1,0, 3 ,0, 3BF BAλ λ λ λ= − = −  ( )1 ,0, 3F λ λ− 1 3 λ = 2 3,0,3 3F       ( )5 3,0, , 1, 3,03 3DF CB  = = −      ( )22 22 5 5 283cos , 565 3 1 33 3 DF CB = =    + ⋅ + −        ( )1 , 3, 3CF λ λ= − − ACD n ( ), ,x y z n DA⊥ n DC⊥ ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1,0, 3 0 , , 1, 3,0 0 x y z x y z  ⋅ = ⋅ = 3 0 3 0 x z x y  + = + = n ( )3, 1, 1= − − CF ACD θ ( ) ( ) ( )22 2 3 1 15sin cos , 101 3 3 5 CF n λθ λ λ −= = = − + + ×   1 2 λ = 2λ = 1 2 λ =24.一个笼子里关着 只猫，其中有 只白猫， 只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出 只 猫．猫争先恐后地往外钻.如果 只猫都钻出了笼子，以 表示 只白猫被 只黑猫所隔成的段数．例如， 在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 ． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概 率； （2）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，利用排列组合思想求出随机变量 在不同取 值下的概率，可得出随机变量 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量 的数学期望. 【详解】（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它 只白猫形成 个元 素， 所以， ， 因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为 ； （2）由题意可知，随机变量 的取值为 、 、 、 ， 其中 时， 只白猫相邻，则 ， ， ； ， 所以，随机变量 的分布列如下表所示： 10 7 3 1 10 X 7 3 3X = X 1 15 X 1 2 3 4 X X X A 7 8 ( ) 3 8 3 8 10 10 1 15 A AP A A = = 1 15 X 1 2 3 4 1X = 7 ( ) 7 4 7 4 10 10 11 30 A AP X A = = = ( ) ( )2 1 1 1 3 2 1 7 3 2 2 6 3 3 6 7 10 10 6 32 10 A C C C A A C A P X A + + = = = ( ) ( )1 1 2 2 2 7 3 2 6 3 6 7 10 10 13 2 A C A A A A P X A + = = = ( ) 3 7 6 7 10 10 14 6 A AP X A = = = X X 1 2 3 4 P 1 30 3 10 1 2 1 6因此， . 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，涉及捆绑法与 插空法的应用，考查计算能力，属于中等题. ( ) 1 3 1 1 141 2 3 430 10 2 6 5E X = × + × + × + × =