江苏省扬州市2020届高三下学期数学调研测试试题（含附加题）带答案详解与评分标准

数学试题第 1 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 数学Ⅰ 2020.06 （全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上） 1．已知集合 ， ，则 ，则实数 的值是 ▲ ． 2．已知复数 满足 (i 为虚数单位)，则 ▲ ． 3．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个 年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年 级抽取 ▲ 名志愿者． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为 ▲ ． 第 4 题图 第 9 题图 5．已知抛物线 的准线也是双曲线 的一条准线，则该双曲线的两条渐近 线方程是 ▲ ． 6．某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大 赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 ▲ ． 7．已知数列 是等比数列， 是其前n项之积，若 ，则 的值是 ▲ ． 8．已知 ，则 的解集为 ▲ ． 9．如图，已知正 是一个半球的大圆 的内接三角形，点 在球面上，且 面 ， 则三棱锥 与半球的体积比为 ▲ ． B P O C A 2 2y x= 2{ 1,0, }A a= − { 1,1}B = − A B B= a z 3 4i iz + = | |z = S S←0 I ←1 While I ABC△ O P OP ⊥ ABC P ABC−数学试题第 2 页 10．已知 ，则 ▲ . 11．设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数 的零点个数为 ▲ . 12．已知点 是边长为 2 的正 内一点，且 ，若 ，则 的最小值为 ▲ . 13．已知等腰梯形 中， ， ，若梯形上底 上存在点 ，使 得 ，则该梯形周长的最大值为 ▲ . 14．锐角 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的 取值范围为 ▲ . 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 15.（本小题满分 14 分） 设函数 ， . (1) 求 的最小正周期和对称中心； (2) 若函数 ，求函数 在区间 上的最值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，四面体 被一平面所截，平面与四条棱 分别相交于 四点，且截面 是一个平行四边形， 平面 ， . 求证： (1) ； (2) 平面 . ABCD , , ,AB AC CD BD , , ,E F G H EFGH AD ⊥ BCD BC CD⊥ EF BC∥ EF ⊥ ACD F H E G D A C B 3sin( )2 8 3 α π− = sin cosα α+ = [ ]t t [ 1.3] 2− = − [2.6] 2= [ ]( ) 2 1f x x x= − − M ABC△ AM AB ACλ µ= +   1 3 λ µ+ = MB MC⋅  ABCD 60A B∠ = ∠ =  2AB = CD P 2PA PB= ABC△ , ,a b c , ,A B C cos (1 cos )a B b A= + 2 2 a b b c + 2 3( ) cos sin( ) 3cos3 4f x x x x π= ⋅ + − + Rx∈ ( )f x ( ) ( )4g x f x π= + ( )g x [ , ]6 6 π π−数学试题第 3 页 17.（本小题满分 14 分） 如图，边长为 1 的正方形区域 OABC 内有以 OA 为半径的圆弧 . 现决定从 AB 边 上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧 相切于点 E，从而将正方形区域 OABC 分成三块： 扇形 COE 为区域 I，四边形 OADE 为区域 II，剩下的 CBDE 为区域 III.区域 I 内栽树，区 域 II 内种花，区域 III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为 、 、 ，总 造价是 W，设 . (1) 分别用 表示区域 I、II、III 的面积； (2) 将总造价 W 表示为 的函数，并写出定义域； (3) 求 为何值时，总造价 W 取最小值？ 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右准线为直线 ，左顶点为 ，右焦点为 . 已知斜率为 2 的直线 经过点 ，与椭圆 相交于 两点，且 到直线 的距离为2 5 5 . (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 若过 的直线 与直线 分别相交于 两点，且 ，求 的值. D E Ⅲ Ⅱ Ⅰ C B O A F N M y O x C B A AEC AEC 5a 4a a 2AOE θ∠ = θ θ θ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 4x = A F l F E ,B C O l E O :m y kx= ,AB AC ,M N OM ON= k数学试题第 4 页 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 . (1) 若曲线 与直线 在 处相切. ① 求 的值； ② 求证：当 时， ； (2) 当 且 时，关于的 不等式 有解，求实数 的 取值范围. 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且 . (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ，求证：数列 是等差数列； (3) 若 ， ，是否存在实数 ，使得 对任意正整数 恒成立，若存在，求实数 的取值范围，若不存在，说明理由. 2( ) ( R)xf x e ax a= − ∈ ( )f x : ( 2) ( R)l y e x b b= − + ∈ 1x = a b+ 0x ≥ ( ) ( 2)f x e x b≥ − + 0a = (0, )x∈ +∞ x 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + + m { }na n nS +1 2 =n n n n S a S a + 3 =3S 3a 2021 1=2021a a { }na 1 =1a 2 =2a λ 2 22 2n ma m a na aλ≤ −− m n， λ数学试题第 5 页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学Ⅱ （全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟） 2020．06 21. 已知矩阵 ，求矩阵 的逆矩阵 的特征值． 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是： .以 为极点, 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．若直线 与曲 线 相交于 两点,且 ,求实数 的值. 1 0 0 2A − =    A 1−A xOy C 2cos , 2sin x y m α α =  = + (α为参数) O x l cos 13 πρ θ + =   l C P Q、 2 3PQ = m数学试题第 6 页 23. 如图，在三棱锥 中，已知 ， 都是边长为 2 的等边三角形， 为 中点，且 平面 ， 为线段 上一动点，记 ． (1) 当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值. 24. 一个笼子里关着 10 只猫，其中有 7 只白猫，3 只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每 次只能钻出 1 只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以 表示 7 只白猫 被 3 只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 ． (1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率； (2) 求 的分布列和数学期望. E A B D C F A BCD− ABD△ BCD△ E BD AE ⊥ BCD F AB BF BA λ= 1 3 λ = DF BC CF ACD 15 10 λ X 3X = X数学试题第 7 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、填空题 1. 2. 5 3. 15 4. 15 5. 6. 7. 1 8. 9. 10. 11. 2 12. 13. 14. 二、解答题 15．解：(1) 由已知，f(x)＝cos x·(1 2sin x＋ 3 2 cos x)－ 3cos2x＋ 3 4 ＝1 2sin x·cos x－ 3 2 cos2x＋ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 (1＋cos 2x)+ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 cos 2x＝1 2sin(2x－π 3)． ………………… …4 分[来 最小正周期为 ，对称中心为 .…………………7 分[ (2) …… ……………………8 分[ 在区间 上单调递增 .………10 分[ ………… ……………12 分 …………………………14 分[ 16. 证明：(1) 因为四边形 为平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， ………………….4 分 又 平面 ，平面 平面 ，所以 . ……………….7 分 (2) 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 由(1)知 ，所以 . ………………….10 分 因为 ，所以 . ………………….12 分 又 ， 、 平面 ， 所以 平面 . ………………….14 分 1± 3y x= ± 3 5 12, 2  −   3 3 8π 2 3 1 3 3+ 5 73 2     ， π=T )0,62 ππ +k（ Zk ∈ )62sin(2 1)( π+= xxg )(xg ]6,6[ ππ− 2 1)6()( max == π gxg min 1( ) ( )6 4g x g π= − = − EFGH EF HG∥ EF ⊄ BCD HG ⊂ BCD EF∥ BCD EF ⊂ ABC ABC  BCD BC= EF BC∥ AD ⊥ BCD BC ⊂ BCD AD BC⊥ EF BC∥ EF AD⊥ BC CD⊥ EF CD⊥ AD CD D= AD CD ⊂ ACD EF ⊥ ACD数学试题第 8 页 17. 解：(1)如图， ………………… 2 分 连接 OD，则 ≌ ， ， ， ………4 分 . ………………… 5 分 (2) ， ………………… 7 分 由 ，知 ，所以函数的定义域为 ……………… 9 分 (3) ， …………………11 分 由 ，得 或 （舍去） 又 ，所以 当 时， ，函数在 上单调递减， 当 时， ，函数在 上单调递增， 所以当 时， 取最小值. 答： 时，总造价 W 取最小值 ………………… 14 分 18．解：(1) 设椭圆 的焦距为 ， 则直线 的方程为 ，即 . 因为 到直线 的距离为 ， ， 所以 ，则 . ………………….3 分 因为椭圆 的右准线的为直线 ，则 ，所以 ， ， 故椭圆 的标准方程为 . ………………….4 分 (2) 由(1)知 ： ，设 ， . 由 得 ，则 ………….6 分 1 1 ( 2 ) 12 2 4S π πθ θ= × − × = − ODE∆ ODA∆ tanDA θ= 2 12 1 tan tan2S θ θ= × × × = 3 1 tan 4S πθ θ= − − + 1 2 35 4 (3tan 4 1)W aS aS aS a θ θ π= + + = − + + 2 0, 2 πθ  ∈   (0, )4 πθ ∈ (0, )4 π 2 3( 4)cosW a θ ′ = − 0W′ = 3cos 2 θ = 3cos 2 θ = − (0, )4 πθ ∈ 6 πθ = 0 6 πθ< < ' 0W < 0, 6 π     6 2 π πθ< < ' 0W > ,6 2 π π     6 πθ = W = 6 πθ E 2c l 2( )y x c= − 2 2 0x y c− − = O l 2 5 5 2 2 2 0 0 2 2 52 1 c cd × − −= = + 2 2 5 55 c = 1c = E 4x = 2 4a c = 2 4a = 2 2 2 3b a c= − = E 2 2 14 3 x y+ = l 2( 1)y x= − 1 1( , )B x y 2 2( , )C x y 2 2 2( 1), 3 4 12 y x x y = −  + = 219 32 4 0x x− + = 2 1 2 1 2 32 4 19 4 0, 32 ,19 4 .19 x x x x  ∆ = − × × >  + =   =数学试题第 9 页 由 ， 可知 ， 由 得 ， ………………….9 分 同理 ， 因为 ，所以 ， 由图可知 ， ………………….12 分 所以 ， 即 ， 所以 ……………….14 分 . ………………….16 分 19. 解：(1) ①因为 ，所以 . 因为曲线 与直线 在 处相切， 所以 ，所以 . 所以 ，所以 . 又切点 在直线 上，所以 ， 所以 ，所以 ；………………………4 分 ② 由①知 ，可设 ， 则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 由 ，所以 ， 所以存在 ，使得 ， ………………………8 分 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ，所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号， 所以当 时， ， ( 2,0)A − 1 1( , )B x y 1 1 : ( 2)2 yAB y xx = ++ 1 1 , ( 2)2 y kx yy xx =  = + + 1 1 1 2 ( 2)M yx k x y = + − 2 2 2 2 ( 2)N yx k x y = + − OM ON= 2 21 1M Nk x k x+ = + 0M Nx x+ = 1 2 2 2 1 12 [ ( 2) ] 2 [ ( 2) ] 0y k x y y k x y+ − + + − = 1 2 2 2 1 1( 1)[ ( 2) 2( 1)] ( 1)[ ( 2) 2( 1)] 0x k x x x k x x− + − − + − + − − = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 4( 1)( 1) 4[ ( ) 1] ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( ) 4 x x x x x xk x x x x x x x x − − − + += =− + + − + + + − 4 324[ 1] 4(4 32 19)19 19 14 32 8 32 4 192 419 19 − + − += = =+ − ×× + − ( ) 2xf x e ax= − ( ) 2xf x e ax′ = − ( )f x :l ( 2)y e x b= − + 1x = ( )1 2 2f e a e′ = − = − 1a = ( ) 2xf x e x= − ( )1 1f e= − (1, 1)e − l 1 2e e b− = − + 1b = 2a b+ = 1, 1a b= = ( ) ( ) ( )2 2 1 0xh x e x e x x= − − − − ≥ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 , 2x xg x h x e x e g x e′ ′= = − − − = − ln 2x < ( ) 0g x′ < ln 2x > ( ) 0g x′ > ( )h x′ ( )0,ln 2 ( )ln 2,+∞ ( ) ( )0 3 0, 1 0,0 ln 2 1h e h′ ′= − > = < < ( )ln 2 0h′ < ( )0 0,ln 2x ∈ ( )0 0h x′ = ( ) ( )00, 1,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )00, x ( )0 ,1x ( )1,+∞ ( ) ( )0 1 0h h= = ( ) 0h x ≥ ( ) ( )2 1f x e x≥ − + 1x = 0x ≥ ( )2 2 1xe x e x− ≥ − +数学试题第 10 页 故当 时， ………………………10 分 (3）先证 . 构造函数 ，则 . 故当 时， ， 在 上递增，当 时， ， 在 上递减， 所以 ，即 ………………………………12 分 又当 ，且 时， 等价于 故原题等价于 时， 有解. 因为 （当 时取 等号）， 所以 . ………………………………………16 分 20. (1) 解：由 ，令 ，得 ， 因为数列 的各项均为非零实数，所以 ， 所以 ， 所以 . ………………3 分 (2) 证明：由 得： ， ，……， ，相乘得： ， 因为数列 的各项均为非零实数，所以 ， 当 时： ，所以 ， 即 ， 即 ， 因 为 ， 所 以 ， 所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，所以数列 是等差数列. ………………9 分 (3) 解 ： 当 ， 时 ， 由 (2) 知 ， 所 以 ， 即 ， 不妨设 ，则 ， ，所以 ， 即 对任意正整数 （ ）恒成立， 0x ≥ ( )( ) 2f x e x b≥ − + 1xe x≥ + ( ) 1xp x e x= − − ( ) 1xp x e′ = − (0, )x∈ +∞ ( ) 0p x′ > ( )p x (0, )+∞ ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0p x′ < ( )p x ( ,0)−∞ ( ) (0) 0p x p≥ = 1xe x≥ + 0a = (0, )x∈ +∞ 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + + 2 2ln 1xx e xm x − −≥ (0, )x∈ +∞ 2 2ln 1xx e xm x − −≥ 22 lnx 22ln 1 2ln 1 ln 1 2ln 1 1 x xx e x e x x x x x x x +− − − − + + − −= ≥ = 2ln 0x x+ = 1m ≥ +1 2 =n n n n S a S a + 1n = 1 1 2 3 =S a S a { }na 2 1 2 3= + =S a a a 3 1 2 3 3= 2 3S a a a a+ + = = 3 3= 2a +1 2 =n n n n S a S a + 1 1 2 3 =S a S a 2 2 3 4 =S a S a 3 3 4 5 =S a S a 1 1 1 =n n n n S a S a − − + 1 1 2 1 = n n n S a a S a a + { }na 2 1=n n na S a a + 2n ≥ 2 1 1=n n na S a a− − 2 2 1 1 1=n n n n n na S a S a a a a− + −− − ( ) ( )2 1 1 1=n n n n na S S a a a− + −− − ( )2 1 1=n n n na a a a a+ −− 0na ≠ 1 1 2=n na a a+ −− { }2 1na − 1a 2a 2021 1 2 1= +1010 =2021a a a a 2 1=2a a ( ) ( )2 1 1 2 1= + 1 2 1na a n a n a− − = − ( )2 2 2 1= + 1 2na a n a na− = 1=na na 1 1=n na a a+ − { }na 1 =1a 2 =2a =na n 2 22 2n ma m a na aλ≤ −− 2 22 2n m n mλ≤ −− m n> 2 2m n> 2 2m n> 2 22 2m n m nλ λ≤ −− 2 22 2m nm nλ λ≤ −− m n， m n>数学试题第 11 页 则 ，即 对任意正整数 恒成立， 设 ，则 ， 设 ，则 ， 当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，当 且 时， ， 所以不存在满足条件的实数 . ………………16 分 三、加试题 21. 解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ， 则 = ，即 = ， 故 ， ， ， . 所以矩阵 A 的逆矩阵为 . ………5 分 矩阵 的特征多项式为 令 ，解得 的特征值为 ． ………………………10 分 22. 解：曲线 的直角坐标方程为 ，表示圆心为 ，半径为 的圆 由 ，得 ， ．………2 分 设圆心到直线 的距离为 ，则 ， …………4 分 所以 ， 令 ，得 或 ．…………………10 分 23. 解：连接 CE，因为△BCD 为正三角形，所以 DB 又因为 平面 ， 平面 BCD，所以 AE⊥CE 以 为正交基底建立如图空间直角坐标系， 2 2+1 +12 2n nn nλ λ≤ −− （ ） 2 2 0n nλ λ− − ≤ n 22n nC n= − ( )2+1 2 +1 2 +1 2 + =2 2 1n n n n nC C n n n− = − − − − 2 2 1n nD n= − − 1 +1 2 2( 1) 1 2 2 1 2 2n n n n nD D n n+− = − + − − + + = − 5n ≥ +1 0n nD D− > 5 0nD D> > 5 0nC C> > 22n n> 22 2 2n nn nλ λ λ λ− − > − − 5n ≥ 2+n λ λ λ≥ + 2 2 0n nλ λ− − > λ a b c d      1 0 0 2 −     a b c d      1 0 0 1      2 2 a b c d − −     1 0 0 1      1a = − 0b = 0c = 1 2d = 1 1 0 10 2 A− −   =     1A− ( ) ( ) 1 0 111 20 2 f λ λ λ λ λ +  = = + − −   ( ) 0f λ = 1−A 1 2 11, 2 λ λ= − = C ( )22 4x y m+ − = ( )0,m 2 cos 13 πρ θ + =   1 3cos sin 12 2 ρ θ ρ θ− = 3 2 0x y− − = l d 2 | 0 3 2 | | 3 2 | 21 3 m md − − += = + ( )2 3 2 2 4 4 m PQ + = − ( )2 3 2 2 4 2 34 m + − = 0m = 4 3 3m = − AE ⊥ AE ⊥ BCD CE ⊂ { }, ,EB EC EA  数学试题第 12 页 则 ， 因为 F 为线段 AB 上一动点，且 ， 则 ，所以 . （1）当 时， ， ， 所以 ；…………4 分 （2） ， 设平面 的一个法向量为 = 由 , 得 ， 化 简 得 ， 取 又平面 的一个法向量为 设平面 与平面 所成角为 ，则 . 解得 或 （舍去），所以 . 　　　　 …………10 分 24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 A，则 ． 答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为 ． ………………………3 分 (2) X 的取值为：1、2、3、4. 其中 =1 时，7 只白猫相邻，则 ； 时， ； ； ( ) ( ) ( )0,0, 3 , 1,0,0 , 0, 3,0 , ( 1,0,0)A B C D − BF BA λ= ( )= 1,0, 3 ( ,0, 3 )BF BAλ λ λ λ= − = −  (1 ,0, 3 )F λ λ− 1 4 λ = 3 3( ,0, )4 4F 7 3( ,0, ), (1, 3,0)4 4DF CB= = −  2 2 2 2 7 7 134cos , 527 3( ) ( ) 1 ( 3)4 4 DF CB< >= = + ⋅ + −   (2 ,0, 3 )DF λ λ= − ( )1, 3,0DC = CDF 1n ( ), ,x y z 1n DF⊥ 1n DC⊥ ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2- ,0, 3 0 , , 1, 3,0 0 x y z x y z λ λ ⋅ = ⋅ = ( )2 3 0 3 0 x z x y λ λ − + = + = 1n 23, 1,1 λ  = − −   BCD ( )2 0,0,1n = BCD ACD θ 1 2 2 21 3 13cos | cos , | 1323 1 1 1 n n λθ λ − = < > = =  + + − ×     1 2 λ = 1λ = − 1 2 λ = ( ) 3! 7! 8 1 10! 15P A × ×= = 1 15 X ( ) 4! 7! 11 10! 30P X ×= = = 2X = ( ) (6 2 6 2 6 2) 7! 3! 32 10! 10P X × + × + × × ×= = = ( ) ( )1 2 1 2 2 3 6 3 6 27! 2 13 10! 2 C A C A A P X + = = = x y z E B A C DF数学试题第 13 页 ； 所以 . ………………………10 分 ( ) 3 67! 14 10! 6 AP X = = = ( ) 1 3 1 1 141 2 3 430 10 2 6 5E X = × + × + × + × =