数学试题第 1 页
2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷
数学Ⅰ
2020.06
（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位
置上）
1．已知集合 ， ，则 ，则实数 的值是 ▲ ．
2．已知复数 满足 (i 为虚数单位)，则 ▲ ．
3．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个
年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年
级抽取 ▲ 名志愿者．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为 ▲ ．
第 4 题图 第 9 题图
5．已知抛物线 的准线也是双曲线 的一条准线，则该双曲线的两条渐近
线方程是 ▲ ．
6．某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大
赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 ▲ ．
7．已知数列 是等比数列， 是其前n项之积，若 ，则 的值是
▲ ．
8．已知 ，则 的解集为 ▲ ．
9．如图，已知正 是一个半球的大圆 的内接三角形，点 在球面上，且 面 ，
则三棱锥 与半球的体积比为 ▲ ．
B
P
O
C
A
2 2y x=
2{ 1,0, }A a= − { 1,1}B = − A B B= a
z 3 4i iz
+ = | |z =
S
S←0
I ←1
While I
ABC△ O P OP ⊥ ABC
P ABC−数学试题第 2 页
10．已知 ，则 ▲ .
11．设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数
的零点个数为 ▲ .
12．已知点 是边长为 2 的正 内一点，且 ，若 ，则
的最小值为 ▲ .
13．已知等腰梯形 中， ， ，若梯形上底 上存在点 ，使
得 ，则该梯形周长的最大值为 ▲ .
14．锐角 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的
取值范围为 ▲ .
二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
15.（本小题满分 14 分）
设函数 ， .
(1) 求 的最小正周期和对称中心；
(2) 若函数 ，求函数 在区间 上的最值．
16．（本小题满分 14 分）
如图，四面体 被一平面所截，平面与四条棱 分别相交于
四点，且截面 是一个平行四边形， 平面 ， . 求证：
(1) ；
(2) 平面 .
ABCD , , ,AB AC CD BD
, , ,E F G H EFGH AD ⊥ BCD BC CD⊥
EF BC∥
EF ⊥ ACD
F
H
E
G
D
A
C
B
3sin( )2 8 3
α π− = sin cosα α+ =
[ ]t t [ 1.3] 2− = − [2.6] 2=
[ ]( ) 2 1f x x x= − −
M ABC△ AM AB ACλ µ= + 1
3
λ µ+ =
MB MC⋅
ABCD 60A B∠ = ∠ = 2AB = CD P
2PA PB=
ABC△ , ,a b c , ,A B C cos (1 cos )a B b A= +
2
2
a b
b c
+
2 3( ) cos sin( ) 3cos3 4f x x x x
π= ⋅ + − + Rx∈
( )f x
( ) ( )4g x f x
π= + ( )g x [ , ]6 6
π π−数学试题第 3 页
17.（本小题满分 14 分）
如图，边长为 1 的正方形区域 OABC 内有以 OA 为半径的圆弧 . 现决定从 AB 边
上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧 相切于点 E，从而将正方形区域 OABC 分成三块：
扇形 COE 为区域 I，四边形 OADE 为区域 II，剩下的 CBDE 为区域 III.区域 I 内栽树，区
域 II 内种花，区域 III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为 、 、 ，总
造价是 W，设 .
(1) 分别用 表示区域 I、II、III 的面积；
(2) 将总造价 W 表示为 的函数，并写出定义域；
(3) 求 为何值时，总造价 W 取最小值？
18.（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右准线为直线
，左顶点为 ，右焦点为 . 已知斜率为 2 的直线 经过点 ，与椭圆 相交于
两点，且 到直线 的距离为2 5
5 .
(1) 求椭圆 的标准方程；
(2) 若过 的直线 与直线 分别相交于 两点，且 ，求
的值.
D
E
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
C B
O A
F
N
M
y
O x
C
B
A
AEC
AEC
5a 4a a
2AOE θ∠ =
θ
θ
θ
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > >
4x = A F l F E ,B C
O l
E
O :m y kx= ,AB AC ,M N OM ON= k数学试题第 4 页
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 .
(1) 若曲线 与直线 在 处相切.
① 求 的值；
② 求证：当 时， ；
(2) 当 且 时，关于的 不等式 有解，求实数 的
取值范围.
20．（本小题满分 16 分）
已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且 .
(1) 若 ，求 的值；
(2) 若 ，求证：数列 是等差数列；
(3) 若 ， ，是否存在实数 ，使得 对任意正整数
恒成立，若存在，求实数 的取值范围，若不存在，说明理由.
2( ) ( R)xf x e ax a= − ∈
( )f x : ( 2) ( R)l y e x b b= − + ∈ 1x =
a b+
0x ≥ ( ) ( 2)f x e x b≥ − +
0a = (0, )x∈ +∞ x 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + + m
{ }na n nS
+1 2
=n n
n n
S a
S a +
3 =3S 3a
2021 1=2021a a { }na
1 =1a 2 =2a λ 2 22 2n ma
m
a
na aλ≤ −− m n，
λ数学试题第 5 页
扬州市 2020 届高三考前调研测试
数学Ⅱ
（全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟）
2020．06
21. 已知矩阵 ，求矩阵 的逆矩阵 的特征值．
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是： .以 为极点,
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．若直线 与曲
线 相交于 两点,且 ,求实数 的值.
1 0
0 2A
− = A 1−A
xOy C 2cos ,
2sin
x
y m
α
α
=
= +
(α为参数) O
x l cos 13
πρ θ + = l
C P Q、 2 3PQ = m数学试题第 6 页
23. 如图，在三棱锥 中，已知 ， 都是边长为 2 的等边三角形，
为 中点，且 平面 ， 为线段 上一动点，记 ．
(1) 当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2) 当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值.
24. 一个笼子里关着 10 只猫，其中有 7 只白猫，3 只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每
次只能钻出 1 只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以 表示 7 只白猫
被 3 只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则
．
(1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率；
(2) 求 的分布列和数学期望.
E
A
B
D
C
F
A BCD− ABD△ BCD△ E
BD AE ⊥ BCD F AB BF
BA
λ=
1
3
λ = DF BC
CF ACD 15
10
λ
X
3X =
X数学试题第 7 页
2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷
参考答案
一、填空题
1. 2. 5 3. 15 4. 15 5.
6. 7. 1 8. 9. 10.
11. 2 12. 13. 14.
二、解答题
15．解：(1) 由已知，f(x)＝cos x·(1
2sin x＋ 3
2 cos x)－ 3cos2x＋ 3
4
＝1
2sin x·cos x－ 3
2 cos2x＋ 3
4 ＝1
4sin 2x－ 3
4 (1＋cos 2x)+
3
4
＝1
4sin 2x－ 3
4 cos 2x＝1
2sin(2x－π
3)． ………………… …4 分[来
最小正周期为 ，对称中心为 .…………………7 分[
(2) …… ……………………8 分[
在区间 上单调递增 .………10 分[
………… ……………12 分
…………………………14 分[
16. 证明：(1) 因为四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， ………………….4
分
又 平面 ，平面 平面 ，所以 . ……………….7
分
(2) 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由(1)知 ，所以 . ………………….10
分
因为 ，所以 . ………………….12
分
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 . ………………….14 分
1± 3y x= ±
3
5
12, 2
−
3 3
8π
2
3
1
3 3+ 5 73 2
，
π=T )0,62
ππ +k（ Zk ∈
)62sin(2
1)(
π+= xxg
)(xg ]6,6[
ππ−
2
1)6()( max == π
gxg
min
1( ) ( )6 4g x g
π= − = −
EFGH EF HG∥
EF ⊄ BCD HG ⊂ BCD EF∥ BCD
EF ⊂ ABC ABC BCD BC= EF BC∥
AD ⊥ BCD BC ⊂ BCD AD BC⊥
EF BC∥ EF AD⊥
BC CD⊥ EF CD⊥
AD CD D= AD CD ⊂ ACD
EF ⊥ ACD数学试题第 8 页
17. 解：(1)如图， ………………… 2 分
连接 OD，则 ≌ ， ， ， ………4 分
. ………………… 5 分
(2) ， ………………… 7 分
由 ，知 ，所以函数的定义域为 ……………… 9 分
(3) ， …………………11 分
由 ，得 或 （舍去）
又 ，所以
当 时， ，函数在 上单调递减，
当 时， ，函数在 上单调递增，
所以当 时， 取最小值.
答： 时，总造价 W 取最小值 ………………… 14 分
18．解：(1) 设椭圆 的焦距为 ，
则直线 的方程为 ，即 .
因为 到直线 的距离为 ， ，
所以 ，则 . ………………….3 分
因为椭圆 的右准线的为直线 ，则 ，所以 ， ，
故椭圆 的标准方程为 . ………………….4 分
(2) 由(1)知 ： ，设 ， .
由 得 ，则 ………….6 分
1
1 ( 2 ) 12 2 4S
π πθ θ= × − × = −
ODE∆ ODA∆ tanDA θ= 2
12 1 tan tan2S θ θ= × × × =
3 1 tan 4S
πθ θ= − − +
1 2 35 4 (3tan 4 1)W aS aS aS a θ θ π= + + = − + +
2 0, 2
πθ ∈ (0, )4
πθ ∈ (0, )4
π
2
3( 4)cosW a θ
′ = −
0W′ = 3cos 2
θ = 3cos 2
θ = −
(0, )4
πθ ∈
6
πθ =
0 6
πθ< < ' 0W < 0, 6
π
6 2
π πθ< < ' 0W > ,6 2
π π
6
πθ = W
= 6
πθ
E 2c
l 2( )y x c= − 2 2 0x y c− − =
O l 2 5
5 2 2
2 0 0 2 2
52 1
c cd
× − −= =
+
2 2 5
55
c = 1c =
E 4x =
2
4a
c
= 2 4a = 2 2 2 3b a c= − =
E
2 2
14 3
x y+ =
l 2( 1)y x= − 1 1( , )B x y 2 2( , )C x y
2 2
2( 1),
3 4 12
y x
x y
= −
+ =
219 32 4 0x x− + =
2
1 2
1 2
32 4 19 4 0,
32 ,19
4 .19
x x
x x
∆ = − × × >
+ =
=数学试题第 9 页
由 ， 可知 ，
由 得 ， ………………….9 分
同理 ，
因为 ，所以 ，
由图可知 ， ………………….12 分
所以 ，
即 ，
所以 ……………….14 分
. ………………….16 分
19. 解：(1) ①因为 ，所以 .
因为曲线 与直线 在 处相切，
所以 ，所以 .
所以 ，所以 .
又切点 在直线 上，所以 ，
所以 ，所以 ；………………………4 分
② 由①知 ，可设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，所以 ，
所以存在 ，使得 ， ………………………8 分
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， ，
( 2,0)A − 1 1( , )B x y 1
1
: ( 2)2
yAB y xx
= ++
1
1
,
( 2)2
y kx
yy xx
=
= + +
1
1 1
2
( 2)M
yx k x y
= + −
2
2 2
2
( 2)N
yx k x y
= + −
OM ON= 2 21 1M Nk x k x+ = +
0M Nx x+ =
1 2 2 2 1 12 [ ( 2) ] 2 [ ( 2) ] 0y k x y y k x y+ − + + − =
1 2 2 2 1 1( 1)[ ( 2) 2( 1)] ( 1)[ ( 2) 2( 1)] 0x k x x x k x x− + − − + − + − − =
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
4( 1)( 1) 4[ ( ) 1]
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( ) 4
x x x x x xk x x x x x x x x
− − − + += =− + + − + + + −
4 324[ 1] 4(4 32 19)19 19 14 32 8 32 4 192 419 19
− + − += = =+ − ×× + −
( ) 2xf x e ax= − ( ) 2xf x e ax′ = −
( )f x :l ( 2)y e x b= − + 1x =
( )1 2 2f e a e′ = − = − 1a =
( ) 2xf x e x= − ( )1 1f e= −
(1, 1)e − l 1 2e e b− = − +
1b = 2a b+ =
1, 1a b= = ( ) ( ) ( )2 2 1 0xh x e x e x x= − − − − ≥
( ) ( ) ( )( ) 2 2 , 2x xg x h x e x e g x e′ ′= = − − − = −
ln 2x < ( ) 0g x′ < ln 2x > ( ) 0g x′ >
( )h x′ ( )0,ln 2 ( )ln 2,+∞
( ) ( )0 3 0, 1 0,0 ln 2 1h e h′ ′= − > = < < ( )ln 2 0h′ <
( )0 0,ln 2x ∈ ( )0 0h x′ =
( ) ( )00, 1,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0h x′ <
( )h x ( )00, x ( )0 ,1x ( )1,+∞
( ) ( )0 1 0h h= = ( ) 0h x ≥
( ) ( )2 1f x e x≥ − + 1x =
0x ≥ ( )2 2 1xe x e x− ≥ − +数学试题第 10 页
故当 时， ………………………10 分
(3）先证 . 构造函数 ，则 .
故当 时， ， 在 上递增，当 时， ，
在 上递减，
所以 ，即 ………………………………12 分
又当 ，且 时， 等价于
故原题等价于 时， 有解.
因为 （当 时取
等号），
所以 . ………………………………………16 分
20. (1) 解：由 ，令 ，得 ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
所以 ，
所以 . ………………3 分
(2) 证明：由 得：
， ，……， ，相乘得： ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
当 时： ，所以 ，
即 ， 即 ， 因 为 ， 所 以
，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以数列 是等差数列. ………………9 分
(3) 解 ： 当 ， 时 ， 由 (2) 知 ， 所 以 ， 即
，
不妨设 ，则 ， ，所以 ，
即 对任意正整数 （ ）恒成立，
0x ≥ ( )( ) 2f x e x b≥ − +
1xe x≥ + ( ) 1xp x e x= − − ( ) 1xp x e′ = −
(0, )x∈ +∞ ( ) 0p x′ > ( )p x (0, )+∞ ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0p x′ <
( )p x ( ,0)−∞
( ) (0) 0p x p≥ = 1xe x≥ +
0a = (0, )x∈ +∞ 2 ( ) 2ln 1x f x mx x≤ + +
2 2ln 1xx e xm x
− −≥
(0, )x∈ +∞
2 2ln 1xx e xm x
− −≥
22 lnx 22ln 1 2ln 1 ln 1 2ln 1 1
x xx e x e x x x x
x x x
+− − − − + + − −= ≥ = 2ln 0x x+ =
1m ≥
+1 2
=n n
n n
S a
S a +
1n = 1 1
2 3
=S a
S a
{ }na 2 1 2 3= + =S a a a
3 1 2 3 3= 2 3S a a a a+ + = =
3
3= 2a
+1 2
=n n
n n
S a
S a +
1 1
2 3
=S a
S a
2 2
3 4
=S a
S a
3 3
4 5
=S a
S a
1 1
1
=n n
n n
S a
S a
− −
+
1 1 2
1
=
n n n
S a a
S a a +
{ }na 2 1=n n na S a a +
2n ≥ 2 1 1=n n na S a a− − 2 2 1 1 1=n n n n n na S a S a a a a− + −− −
( ) ( )2 1 1 1=n n n n na S S a a a− + −− − ( )2 1 1=n n n na a a a a+ −− 0na ≠
1 1 2=n na a a+ −−
{ }2 1na − 1a 2a
2021 1 2 1= +1010 =2021a a a a 2 1=2a a
( ) ( )2 1 1 2 1= + 1 2 1na a n a n a− − = − ( )2 2 2 1= + 1 2na a n a na− = 1=na na
1 1=n na a a+ − { }na
1 =1a 2 =2a =na n 2 22 2n ma
m
a
na aλ≤ −−
2 22 2n m n mλ≤ −−
m n> 2 2m n> 2 2m n> 2 22 2m n m nλ λ≤ −−
2 22 2m nm nλ λ≤ −− m n， m n>数学试题第 11 页
则 ，即 对任意正整数 恒成立，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当 且 时， ，
所以不存在满足条件的实数 . ………………16 分
三、加试题
21. 解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ，
则 = ，即 = ，
故 ， ， ， .
所以矩阵 A 的逆矩阵为 . ………5 分
矩阵 的特征多项式为
令 ，解得 的特征值为 ． ………………………10 分
22. 解：曲线 的直角坐标方程为 ，表示圆心为 ，半径为 的圆
由 ，得 ， ．………2 分
设圆心到直线 的距离为 ，则 ， …………4 分
所以 ，
令 ，得 或 ．…………………10 分
23. 解：连接 CE，因为△BCD 为正三角形，所以 DB
又因为 平面 ， 平面 BCD，所以 AE⊥CE
以 为正交基底建立如图空间直角坐标系，
2 2+1 +12 2n nn nλ λ≤ −− （ ） 2 2 0n nλ λ− − ≤ n
22n
nC n= − ( )2+1 2
+1 2 +1 2 + =2 2 1n n n
n nC C n n n− = − − − −
2 2 1n
nD n= − − 1
+1 2 2( 1) 1 2 2 1 2 2n n n
n nD D n n+− = − + − − + + = −
5n ≥ +1 0n nD D− > 5 0nD D> > 5 0nC C> > 22n n>
22 2 2n nn nλ λ λ λ− − > − − 5n ≥ 2+n λ λ λ≥ + 2 2 0n nλ λ− − >
λ
a b
c d
1 0
0 2
−
a b
c d
1 0
0 1
2 2
a b
c d
− −
1 0
0 1
1a = − 0b = 0c = 1
2d =
1
1 0
10 2
A−
−
=
1A− ( ) ( )
1 0 111 20 2
f
λ
λ λ λ
λ
+ = = + − −
( ) 0f λ = 1−A 1 2
11, 2
λ λ= − =
C ( )22 4x y m+ − = ( )0,m 2
cos 13
πρ θ + =
1 3cos sin 12 2
ρ θ ρ θ− = 3 2 0x y− − =
l d 2
| 0 3 2 | | 3 2 |
21 3
m md
− − += =
+
( )2
3 2
2 4 4
m
PQ
+
= −
( )2
3 2
2 4 2 34
m +
− = 0m = 4 3
3m = −
AE ⊥
AE ⊥ BCD CE ⊂
{ }, ,EB EC EA 数学试题第 12 页
则 ，
因为 F 为线段 AB 上一动点，且 ，
则 ，所以 .
（1）当 时， ， ，
所以 ；…………4 分
（2） ，
设平面 的一个法向量为 =
由 , 得 ， 化 简 得
，
取
又平面 的一个法向量为
设平面 与平面 所成角为 ，则 .
解得 或 （舍去），所以 . …………10
分
24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 A，则 ．
答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为 ． ………………………3 分
(2) X 的取值为：1、2、3、4.
其中 =1 时，7 只白猫相邻，则 ；
时， ；
；
( ) ( ) ( )0,0, 3 , 1,0,0 , 0, 3,0 , ( 1,0,0)A B C D −
BF
BA
λ=
( )= 1,0, 3 ( ,0, 3 )BF BAλ λ λ λ= − = − (1 ,0, 3 )F λ λ−
1
4
λ = 3 3( ,0, )4 4F 7 3( ,0, ), (1, 3,0)4 4DF CB= = −
2 2 2 2
7
7 134cos , 527 3( ) ( ) 1 ( 3)4 4
DF CB< >= =
+ ⋅ + −
(2 ,0, 3 )DF λ λ= − ( )1, 3,0DC =
CDF 1n ( ), ,x y z
1n DF⊥ 1n DC⊥
( ) ( )
( ) ( )
, , 2- ,0, 3 0
, , 1, 3,0 0
x y z
x y z
λ λ ⋅ =
⋅ =
( )2 3 0
3 0
x z
x y
λ λ − + =
+ =
1n 23, 1,1 λ
= − −
BCD ( )2 0,0,1n =
BCD ACD θ 1 2 2
21 3 13cos | cos , | 1323 1 1 1
n n λθ
λ
−
= < > = =
+ + − ×
1
2
λ = 1λ = − 1
2
λ =
( ) 3! 7! 8 1
10! 15P A
× ×= =
1
15
X ( ) 4! 7! 11 10! 30P X
×= = =
2X = ( ) (6 2 6 2 6 2) 7! 3! 32 10! 10P X
× + × + × × ×= = =
( ) ( )1 2 1 2 2
3 6 3 6 27! 2 13 10! 2
C A C A A
P X
+
= = =
x
y
z
E
B
A
C
DF数学试题第 13 页
；
所以 . ………………………10 分
( ) 3
67! 14 10! 6
AP X = = =
( ) 1 3 1 1 141 2 3 430 10 2 6 5E X = × + × + × + × =
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