2020 届襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校
高三 6 月适应性考试文科数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡
上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得， ，再根据集合间包含关系即可求出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础
题．
2.已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2{ | 4 }A x y x= = − { | }B x x a= ≥ A B⊆ a
( ), 2−∞ − ( ], 2−∞ − ( )2 + ∞， [ )2 + ∞，
[ ]2,2A = −
[ ]2{ | 4 } 2,2A x y x= = − = − { | }B x x a= ≥ A B⊆
2a ≤ −
i (1 2 ) 3i z i+ = + | |z =
5 2
3
26
5 2 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数乘除法中模的性质计算．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 即 ， ， 所 以
．
故选：C．
【点睛】本题考查求复数的模，掌握模的性质是解题关键．设 是任意两个复数，则 ，
．
3.2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚
强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下
侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大
B. 16 天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数
C. 16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于
D. 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
【答案】C
【解析】
【分析】
由折线图分别观察变化趋势，估计中位数，计算极差，确认新增治愈病例数量与新增确诊与新增疑似病例
之和，判断各选项后可得结论．
【详解】从新增确诊折线看 19 日降幅最大，但并不呈下降趋势，如 20 日比 19 日就是上升的，27,28,29 三
天还是增加的趋势，A 错；
(1 2 ) 3i z i+ = + (1 2 ) 3i z i+ = + 1 2 3i z i+ = + 5 10z =
2z =
1 2,z z 1 2 1 2z z z z=
11
2 2
zz
z z
=
2000
新增确诊病例和新增疑似病例的中位数在 21、22 日前后，新增疑似病例的中位数比新增确诊病例的中位数
大，B 错；
三根折线中最大值与最小值的差都大于 2000，C 正确；
20 日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，D 错误．
故选：C．
【点睛】本题考查折线图的认识，考查学生的数据处理能力．属于基础题．
4.将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体，从
这些小正方体中任取一个，则恰好没有被涂色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 64 个，其中有 3 个面涂色的小正方体共有 8
个，只有 2 个面涂色的小正方体共有 个，只有一个面涂色的小正方体共有 个，那么没
有被涂色的小正方体共有 个，
所以恰好没有被涂色的概率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
5.已知 ，则 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质分类讨论去掉绝对值求出各段区间上的值域，再求函数 的值域．
1
8
1
4
3
8
1
2
12 2 24× = 2446 =×
64 8 24 24 8− − − =
8 1
64 8
=
( ) 1 2 |1 2 |x xf x = + − − ( )f x
( ],2−∞ ( ]0,2 ( ]0 3, [ ]1,2
( )f x
【详解】解：当 ，即 时， ，则 ，
当 ，即 时， ，
∴ 的值域是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查指数函数的性质，属于基础题．
6.在平面直角坐标系 中，已知任意角 以 轴的正半轴为始边，若终边经过点 且
，定义： ，称“ ”为“正余弦函数”；对于正余弦函数
，以下性质中正确的是（ ）
A. 函数关于 对称 B. 函数关于 对称
C. 函数在 单调递增 D. 函数值域为
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意，求出 ，然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：根据三角函数的定义可知 ， ，
所以 ，
即
因为 ，
所以 ，
即该函数的值域为 ；
因为
所以 ，故函数不关于 对称且不关于 对称，
令 ，
解得 ， ，
1 2 0x− ≥ 0x ≤ ( ) ( ) 11 2 1 2 2x x xf x += + − − = ( )0 2f x< ≤
1 2 0x− < 0x > ( ) ( )1 2 1 2 2x xf x = + + − =
( )f x ( ]0,2
xOy θ x P 0 0( , )x y
( 0)OP r r= > 0 0cos y xsi r
θ −= cossi θ
cosy si x=
2x
π= ( ,0)2
π
3[0, ]4
π
[ 2,2]−
cos 2 sin( )4y si x x
π= = −
0 cosx r x= 0 siny r x=
0 0 sin coscos sin cos 2 sin( )4
y x r x r xy si x x x xr r
π− −= = = = − = −
( ) cos 2 sin( )4y f x si x x
π= = = −
1 sin( ) 14x
π− −
2 2 sin( ) 24x
π− −
2, 2 −
( ) cos 2 sin( )4f x si x x
π= = −
cos 2 sin 12 2 2 4f si
π π π π = = − = 2x
π= ,02
π
2 22 4 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ( )k Z∈
32 24 4k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + ( )k Z∈
即函数的单调递增区间为 ， ，故 C 正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数
的表达式．
7.若正整数 除以正整数 后 余数为 ，则记为 ，例如 ．右边程序框图的
算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据算法的程序框图知，从 n=11 开始，依次增加 1，对应的正整数要同时满足 n=2（mod3），及 n=2
（mod5）时，即被 3 除余 2，被 5 除余 2，才结束循环，输出 n 的值，满足条件的 n=17.
故选 A.
8.已知 ， ， ， ， 的，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对 可根据不等式以对数函数的单调性，得到 的大致范围，对 根据余弦函数的单调性得到大致范围，对
的
32 , 24 4k k
π ππ π − + +
( )k Z∈
cosy si θ=
N m n (mod )N n m= 10 4(mod6)=
n
17 16 15 13
0 1y x< < < 1x y+ = log 2xy
x ya
+= cosb y= 1( )yc x
= , ,a b c
c b a> > c a b> >
a b c> > b c a> >
a a b
根据指数函数的单调性确定大致范围，从而比较出 的大小.
【详解】由 ， ，则 ， ，
由 ，故 ；
由 ，则 ，得 ，即 ；
由 ，则 ， ，得 ，得 ；
故 .
故选：A
【点睛】本题考查了比较数的大小，根据函数的单调性，得到大致范围，从而比较出数的大小.
9.数列的发展史，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要作用，比如意大利数学家列昂
纳多·斐波拉契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 ···也即
，
，若此数列被 整除后的余数构成一个新的数列 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 题意 可得 ： ， ， ， ， ， ； ， ， ， ，
， ， ．可得数列 是周期为 6 的数列，从而求出数列的前 2020 项和；
【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ； ， ， ，
， ， ， ．
数列 是周期为 6 的数列，
所以
故选：A
c , ,a b c
0 1y x< < < 1x y+ =
2 1
2 4
x yxy
+ < =
1
2logxya = =
1
2
1
log ( )xy
1 1
2 2
1log ( ) log 24xy > = 10 2a< <
0 1 3y
π< < < cos0 cos cos1y> > cos 3
π> 11 cos 2y> > 1 12 b< <
0 1y x< < < 1 1x
> 0y > 01 1( ) ( )yc x x
= > 1c >
c b a> >
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
(1) (2) 1F F= = ( ) ( 1) ( 2)F n F n F n= − + −
( 3, )n n N ∗≥ ∈ 4 { }nb 1 2 3 2020b b b b+ + + + =
2695 3535 2023 2020
1 1b = 2 1b = 3 2b = 4 3b = 5 1b = 6 0b = 7 1b = 8 1b = 9 2b = 10 3b =
11 1b = 12 0b = …… { }nb
1 1b = 2 1b = 3 2b = 4 3b = 5 1b = 6 0b = 7 1b = 8 1b = 9 2b =
10 3b = 11 1b = 12 0b = ……
∴ { }nb
( )1 2 3 2020 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4336b b b b b b b b b b b b b b+ + + + = + + + + + × + + + +
( )1 1 2 3 1 0 336 1 1 2 3 2695= + + + + + × + + + + =
【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
10.已知双曲线 ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上一点，且位于第
一象限，若三角形 为锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为 位于第一象限，所以 恒为锐角，由 为锐角可得 ， ，由
为锐角得 ，利用平面向量积可得答案.
【详解】由 得 、 ，
因为 位于第一象限，所以 恒为锐角，
因为三角形 为锐角三角形，所以 为锐角， 为锐角，
由 为锐角得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由 为锐角得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
综上所述： .
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角
2
2: 14
xC y− = 1 2,F F 0 0( , )P x y C
1 2PF F 0y
5( , )5
+∞ 2 5( , )5
+∞ 5 1( , )5 2
1 2 5( , )2 5
P 1 2PF F∠ 2 1PF F∠
02 5x< < 0
1(0, )2y ∈
1 2F PF∠
1 2 0PF PF⋅ >
2
2 14
x y− = 1( 5,0)F − 2 ( 5,0)F
P 1 2PF F∠
1 2PF F 2 1PF F∠ 1 2F PF∠
2 1PF F∠
02 5x< <
2
2 0
0
11 (0, )4 4
xy = − ∈ 0 0y > 0
1(0, )2y ∈
1 2F PF∠
1 2 0PF PF⋅ >
0 0 0 0( 5 , ) ( 5 , ) 0x y x y− − − ⋅ − − >
2
0 0 0( 5 )( 5 ) 0x x y− − − + >
2 2
0 0 5 0x y+ − >
2
20
0 14
x y− = 2 2
0 04 4 5 0y y+ + − > 2
0
1
5y > 0 0y >
0
5
5y >
0
5 1( , )5 2y ∈
形的概念，属于基础题.
11.平面四边形 为凸四边形，且 ， ， ， ，则 的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理求出 ，作出直角三角形 （ 是 的交点），点 在线段 （不含端点）上，
求出 ，再求出 到直线 的距离即可得出结论．
【 详 解 】 设 ， 在 中 ， ， 所 以
，解得 ，
延长 交于点 ，则由 得 ， ，
若 ，则 ，
显然点 在线段 （不含端点）上，所以 的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握余弦定理是解题关键．
12.如图，在棱长为 2 的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面
内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，以下说法正确的个数是（ ）
ABCD 60A∠ = AD DC⊥ 3AB = 2BD = BC
7[ ,2)2
7( ,2)2
( )2 7， 7[ , 7)2
AD ADE E ,DC AB C ED
7BE = B DE
AD x= ABD△ 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD A= + − ⋅
24 3 2 3 cos60x x= + − ° 3 7
2x
+=
,DC AB E AD CD⊥ 3 7AE = + 7BE =
BC CD⊥ 7
2BC =
C ED BC 7[ , 7)2
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1, ,AB BC CC P
ABCD 1D P EFG
①三棱锥 的体积为定值；
② 的面积的最小值为 ；
③ 平面 ；
④经过 三点 截面把正方体分成体积相等的两部分.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得， 平面 ，连接 ，则 ，可得 平面 ， 平面
，由此得平面 平面 ，则点 在直线 上，从而有 的面积 为定值，由此
可判断①；结合题意得，当点 为 的交点时， ， 有最小值 ，由此
可判断②；由题意可得 平面 ，从而推出 ， ，由此可判断③；将平面
补成平面 （ 均为各条棱的中点），结合图象可判断④．
【详解】解：∵直线 与平面 不存在公共点，
∴ 平面 ，
连接 ，则 ，
的
P EFG−
1PBB 2
1B D ⊥ EFG
, ,E F G
1 2 3 4
1 //D P EFG 1 1 1, , ,AD AC CD BC 1 1//AD BC //AC EFG 1 //AD
EFG 1 //ACD EFG P AC PEF PEFS△
P ,AC BD AC PB⊥ PB 1 22PB BD= =
AC ⊥ 1 1BB D D 1EF B D⊥ 1GF B D⊥
EFG EFGHIJ , ,H I J
1D P EFG
1 //D P EFG
1 1 1, , ,AD AC CD BC 1 1//AD BC
∵ 分别是棱 的中点，
∴ ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
同理， 平面 ，
又 ，
∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴点 在直线 上，
∵ ，
∴ 的面积 为定值，
∴三棱锥 的体积 为定值，则①对；
∵ ，
∴当点 为 的交点时， ， 有最小值 ，
此时，直角 的面积有最小值，且 ，则②对；
∵在正方体 中， ，
由 平面 得， ，
∴ 平面 ，∴ ，则 ，
同理， ，
∴ 平面 ，则③对；
将平面 补成平面 （ 均为各条棱的中点），如图，
则平面 将正方体分成两个大小形状完全相同的部分（均由一个正六棱锥和三个三棱锥拼接而成），则④
对；
故选：D．
, ,E F G 1, ,AB BC CC
//EF AC 1 1/// /GF BC AD
AC ⊄ EFG EF ⊂ EFG
//AC EFG
1 //AD EFG
1AC AD A=
1 //ACD EFG
1 //D P EFG 1ACD ∩ ABCD AC= 1D P ⊂ 1ACD
P AC
//EF AC
PEF PEFS△
P EFG− P EFG G PEFV V− −=
//EF AC
P ,AC BD AC PB⊥ PB 1 22PB BD= =
1PBB 1 1
1
2PBBS PB BB= ⋅ ⋅
1 2 2 22
= × × =
1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD⊥
1BB ⊥ ABCD 1AC BB⊥
AC ⊥ 1 1BB D D 1AC B D⊥ 1EF B D⊥
1GF B D⊥
1B D ⊥ EFG
EFG EFGHIJ , ,H I J
EFG
【点睛】本题主要考查空间中的点、线、面的位置关系，考查几何体的体积的求法，属于中档题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知抛物线 的焦点是双曲线 的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得出关于 的方程，解出正数 的值，可得出双曲线的标准方程，进而可得出双曲线的渐近线
方程.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，
由题意可知，点 为双曲线 的一个焦点，则 ，整理得 ，
，解得 ，所以，双曲线的标准方程为 .
因此，双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用抛物线与双曲线的焦点求参数，考查计算
能力，属于基础题.
14.已知圆 ，当圆的面积最小时，直线 与圆相切，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆的面积最小得圆的半径最小，可得 ，再根据圆心到直线的距离等于半径可得答案.
【详解】将 化为标准方程为 ，
所以圆的半径为 ，
当圆面积最小时，圆的半径最小，此时 ，圆的方程为 ，
( )2 2 0y px p= >
2 2
18
x y
p
− =
y x= ±
p p
( )2 2 0y px p= > ,02
p
,02
p
2 2
18
x y
p
− = 8 2
pp+ = 2 4 32 0p p− − =
0p > 8p = 2 2
18 8
x y− =
y x= ±
y x= ±
2 22 2 2 1 0x x y my m− + − + − = y x b= + b =
2±
1m =
2 22 2 2 1 0x x y my m− + − + − = 2 2 2( 1) ( ) 2 2x y m m m− + − = − +
2 2 2m m− +
1m = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − =
因为直线 与圆相切，所以 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了直线与圆相切的位置关系，考查了点到直
线的距离，属于基础题.
15.已知正方形 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设 ，根据 ，得到 的方程，再利用三角换元，通过三角恒等变换
得到 ，然后利用正弦函数的性质求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
因为正方形 的边长为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
y x b= + |1 1 | 1
2
b− + = 2b = ±
2±
ABCD 2 ABCD P 1CP = PD PA⋅
5 2 5+
( ),P x y 1CP = ,x y
PD PA⋅ ( )5 2 5 sin ,tan 2α ϕ ϕ= + + =
ABCD 2
( ) ( ) ( )0,0 , 2,2 , 0,2A C D
( ),P x y ( ) ( ) ( )2, 2 , ,2 , ,CP x y PD x y PA x y= − − = − − = − −
1CP =
( ) ( )2 22 2 1x y− + − =
令 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
所以 的最大值是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的模，数量积的坐标运算以及三角恒等变换，还考查了数形结合的思想和
运算求解的能力，属于中档题.
16.对于任意实数 ，当 时，有 恒成立，则实数 的取值范
围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
转化 在 上单调递增，再利用导数可得到结果.
【详解】当 时， 恒成立等价于 恒成立，等
价于 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为当 时， ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成
立问题，属于基础题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个
为
2 cos , 2 sinx yα α= + = +
( ) ( ),2 , ,PD x y PA x y= − − = − −
( )22 1 1PD PA x y⋅ = + − −
5 2sin 4cosα α= + +
( )5 2 5 sin ,tan 2α ϕ ϕ= + + =
PD PA⋅ 5 2 5+
5 2 5+
1 2,x x 1 20 x x e< < < 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax− > − a
0a ≤
ln( ) x ag x x
+= (0, )e
1 20 x x e< < < 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax− > − 2 1
2 1
ln lnx a x a
x x
+ +>
ln( ) x ag x x
+= (0, )e
2 2
1 ln 1 ln( ) 0
x x a x axg x x x
⋅ − − − −′ = = ≥ (0, )e
1 lna x≤ − (0, )e
(0, )x e∈ 1 ln 1 ln 0x e− ≥ − =
0a ≤
0a ≤
试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17.疫情过后，某商场开业一周累计生成 2 万张购物单，从中随机抽出 100 张，对每单消费金额进行统计得
到下表：
消费金额（单位：元）
购物单张数 25 25 30 ？ ？
由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图
所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等（用频率估计概率），完成下列问题：
（1）估计该商场开业一周累计生成的购物单中，单笔消费额超过 800 元的购物单张数；
（2）为鼓励顾客消费，拉动内需，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 600 元者，
可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值 元、 元、 元的奖品.已知中奖
率为 100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列，其中一等奖的中奖率为 .若今年国
庆期间该商场的购物单数量预计比疫情后开业一周的购物单数量增长 5%，试预测商场今年国庆期间采办奖
品的开销.
【答案】（1）1000（张）（2）采购奖品的开销可估计为 （元）
【解析】
【分析】
（1）由中位数的定义，根据概率为 ，求得中位数，设消费在区间 内的概率为 ，根据中位
数与平均数恰好相等解得 即可.
（2）根据中奖率为 100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列，其中一等奖的中奖率
为 ，设等差数列的公差为 ，由 ，解得 ，得到一等奖、二等奖、
三等奖的中奖率，再根据购物单数量增长 5%，得到今年的购物具有抽奖资格的单数，从而得到一等奖、二
等奖、三等奖中奖单数，即可得到采购奖品的开销.
【详解】（1） ，
中位数为 ，
又
(0,200] (200,400] (400,600] (600,800] (800,1000]
300 100 50
1
21
330000
1
2 (800,1000] p
p
1
21
( 0)d d > 1 1 1( ) ( 2 ) 121 21 21d d+ + + + = d
25 25 1
100 2
+ =
∴ 400
25 25 30 0.8100
+ + =
设消费在区间 内的概率为 ，
则消费在区间 内的概率为
由中位数与平均数恰好相等可知， ，
解得 ，
故单笔消费超过 800 元的购物单张数为： （张）.
（2）设等差数列的公差为 ，
则 ，
解得 ，
故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为
今年的购物具有抽奖资格的单数约为 ，
故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为 ，
采购奖品 开销可估计为 （元）.
【点睛】本题主要考查频率分布表的应用，中位数，平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
18.已知等比数列 前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用 可得数列 的递推关系，由 可得 的关系，由等比数列可求得
，从而得通项公式；
（2）由（1）求出 ， 前 5 项是负数，从第 6 项起各项非负，可对 分类讨论： 或 ，然后
的
∴ (800,1000] p
(600,800] 0.2 p−
100 0.25 300 0.25 500 0.3 700 (0.2 ) 900 400p p× + × + × + × − + × =
0.05p =
20000 0.05 1000× =
( 0)d d >
1 1 1( ) ( 2 ) 121 21 21d d+ + + + =
2
7d =
1 1 13, ,21 3 21
20000 1.05 0.2 4200× × =
200,1400,2600
200 300 1400 100 2600 50 330000× + × + × =
{ }na n nS 1
1
32n nS a += − ( )n ∗∈N
{ }na
2logn nb a= {| |}nb n nT
62n
na −=
2
2
11 , 62
11 30, 62
n
n n n
T
n n n
− 2 0
2 2
n
n
− 0n <
( 2, 1)a∈ − −
3 2
2
1 1 ( 2) 2 03 2( )
02
x a x ax x
f x a x x
+ + + ≤=
>
( )f x
（2）设函数 在点 处的切线互相平行，证明： .
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）分段求出导函数，分类研究单调性，注意函数的连续性，有些单调区间可以连接起来．
（2）易知 是直线 与函数 图象的三个交点，结合图象可得 的关系，
从而可得证结论．
【详解】解：（1）当 时，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递减
又因为 在 上连续，故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由图可知，直线 与函数 的图象有三个交点，横坐标为 ，
不妨 ，则
又 ，所以
则 ，化简得
令 ， ， ，因为 ，则 ，所以 ， 在
上单调递增， ，即 ．
( )f x ( , ( ))( 1,2,3)i i iQ x f x i = 1 2 3 2x x x+ + <
( )f x ( , 2)−∞ − ( 2, )− +∞
( 1,2,3)iQ i = y m= ( )y f x′= 1 2 3, ,x x x
0x ≤ 2( ) ( 2) 2 ( 2)( )f x x a x a x x a= + +′ + = + +
( ) 0f x′ = 2x = −
( , 2)x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,0)x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
0x > ( ) 0f x ax= ( )g t
(1,2) ( ) (2) 2g t g< = 1 2 3 2x x x+ +
微信/支付宝扫码支付