高三高考数学专题复习 导数与切线（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

1 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） 专题 4 导数与切线 函数在某点的导函数值就是过该点切线的斜率。高考中切线问题多数年份出现在客观题 和解答题第（1）题中，考查知识点相对单一，比较容易。少数年份出现在解答题（2）、 （3）题，往往与方程结合起来考查，难度较大，解题时要注意数形结合。 两个函数若相切 作差构造再求导 判断导数正负号 想方设法零点找 思路点拨 第（1）题只需求出 的导函数，并令其为 0，然后分区间讨论符号即可确定单调区间； 第（2）先求各自的斜率，令其相等，化简即得；第（3）题分别求出两个函数的切线方程， 若两个函数有公切线，则这两条切线表示同一条直线，通过待定系数法转化为二元方程组解 的问题，通过消元将方程组化为一元方程.而方程是否有解问题可归结为连续函数的零点定 理，即只要在区间上存在零点，其函数值异号即可. ( )h x 引例（2018 天津理科第 20 题）已知函数 ， ，其中 a>1. （1）求函数 的单调区间； （2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处 的切线平行，证明 ； （3）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线. ( ) xf x a= ( ) logag x x= ( ) ( ) lnh x f x x a= − ( )y f x= ( )( )1 1,x f x ( )y g x= ( )( )2 2,x g x ( )1 2 2lnln ln ax g x a + = − 1 ea e≥ ( )y f x= ( )y g x= 函数 y=f(x)与 y=g(x)图象相切 构造函数 h(x)=f(x)–g(x) 根据具体问题，运用 分 析 法 确 定 区 间 [a,b](区间不唯一) 判 断 在 区 间 [a,b] 上 的正负,使 h(a)h(b)1，可知当 x 变化时， ， 的变化情况如下表： x 0 0 + 极小值 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （3）由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 因为这两条切线平行，故有 ，即 . ( ) xh x a xlna= − ( ) −′ = xh x a lna lna ( ) 0h x′ = ( )h x′ ( )h x ( ),0−∞ ( )0,+∞ ( )h x′ − ( )h x ( )h x ( ),0−∞ ( )0,+∞ ( ) xf x a lna′ = ( )y f x= ( )( )1 1,x f x 1xa lna ( ) 1g x xlna =′ ( )y g x= ( )( )2 2,x g x 2 1 x lna 1 2 1xa lna x lna = ( )1 2 2 1xx a lna = 若函数 ， 有公切线 ( ) xf x a= ( ) logag x x= 在点 处的切 线 l2： ( )y g x= 2 2( ,log )ax x 2 2 2 1log ( )lnay x x xx a − = ⋅ − 在 点 处 的 切 线 l1 ： ( )y f x= 1 1( , )xx a 1 1 1ln ( )x xy a a a x x− = ⋅ − 令 ，证明 r(x)有零点 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1ln ln 1 2ln ln 2ln ln (ln 1) 1ln log ln  = ⇒ + + = −  − = − x x x a a a x a a x x a x a x a a x a ① ②3 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） 两边取以 a 为底的对数，得 ，所以 . （ 3 ） 曲 线 在 点 处 的 切 线 l1 ： ， 曲 线 在点 处的切线 l2： . 要证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切 线，只需证明当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合. 即只需证明当 时，方程组 有解， 由①有 , 代入②得 . 再由①有 , 故有 ③ 下面证明方程③有正实数解. 令 , 则 . 那么由连 续零点定理可知, 只要找到一个 , 使得 即可. 又 , 而当 时, 易得 . 当 时，容易得到若 , →0,那么 只要控制 的大小, 使得其值小于 1 即可. 不妨通过控制 , , 这三部分的值, 达到使得其和小于 1 的效果. 如果把步子迈得大一点,令 解得 , 令 解得 ; 但是解 却不那么容易, 不妨借助于 与 , 在 满足这两个不等式的前提下, 只要 即可, 即 . 故若 ④ 则有 , , , 此时 , 且 , 所以对满足④的 都有 2 1 22 0alog x x log lna+ + = ( )1 2 2lnlnax g x lna + = − ( )y f x= 1 1( , )xx a 1 1 1ln ( )x xy a a a x x− = ⋅ − ( )y g x= 2 2( ,log )ax x 2 2 2 1log ( )lnay x x xx a − = ⋅ − 1 eea ≥ ( )y f x= ( )y g x= 1 eea ≥ 1 ( , )x ∈ −∞ +∞ 2 (0, )x ∈ +∞ 1 eea ≥ 1 1 1 2 1 2 1ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a  =  − = − ① ② ( ) 2ln ln 2 0r e a= − − ≤4 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） ,所以方程 在 上必有根. 当 时，则 ，前述证明仍然成立. 所以，当 时，存在 , 使得 . 从而，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线푦 = 푓(푥)的切线，也是曲线 的切 线. 评注 本题的难点在于证明方程③有正实数解，为此构造函数 ，证明该函数在某 个区间有解，其方法就是零点定理，关键是确定区间两个端点，其函数值异号.确定区间端 点有时比较困难，因为端点不确定在哪里，需要自己根据条件进行估计判断，往往需要解超 越不等式，为解此不等式就要做适当放缩，这无形中加大题目难度. 本题的背景是函数 与 交点个数，其结论为: (1) 时, 有 3 个交点; (2) 时, 有 1 个交点, 即为切点; (3) 时, 有 1 个交点; (4) 时, 有 2 个交点; (5) 时, 有 1 个交点, 即为切点; (6) 时, 没有交点. 对于第（3）题而言,当 时, 与 的图像相切, 切点处的切线是公 切线, 不妨就取这条公切线; 当 时, 与 的图像相离, 且凹凸性相 异, 但它们存在一条公切线，就是这道考题. 对方程组①、②也可以这样转化： 由①得 ，代入②，得 . ③ 因此，只需证明当 时，关于 x1 的方程③存在实数解. 设函数 ，即要证明当 时，函数 存在零点. ，可知 时， ； 1 2ln ln 0a+ ≤ 1 2ln ln 0ln ln a x a x +− ≥ 1 eea ≥ 1 eea ≥ ( )y g x= ( )r x xy a= logay x= ( )1 2 2 1 x x a lna = 1 1 1 1 1 2 0x x lnlnaa x a lna x lna lna − + + + = 1 ea e≥ ( ) 1 2x x lnlnau x a xa lna x lna lna = − + + + 1 ea e≥ ( )y u x= ( ) ( )21 xu x lna xa′ = − ( ),0x∈ −∞ ( ) 0u x′ >5 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） 时， 单调递减，又 ， ， 故存在唯一的 x0，且 x0>0，使得 ，即 . 由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处取 得极大值 . 因为 ，故 ，所以 . 下面证明存在实数 t，使得 . 由（I）可得 ，当 时， 有 ， 所以存在实数 t，使得 （在 中，因为 是定值， 非正，因此，总存在 ，使 ） 因此，当 时，存在 ，使得 . 所以，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线. 10. ( )0,x∈ +∞ ( )u x′ ( )0 1 0u′ = > ( ) ( )2 1 2 1 1 0lnau a lna   = − ( ) ( )( ) 1 21 1 lnlnau x xlna xlna x lna lna ≤ + − + + + ( )2 2 1 21 lnlnalna x x lna lna = − + + + + ( ) 0u t < 2 2( ) (ln )u x a x= − 1 2ln ln1 ln ln ax a a + + + + 1 2ln ln1 ln ln a a a + + 2 2(ln )a x− ( ,t ∈ −∞ +∞） ( ) 0u t < 1 ea e≥ ( )1 ,x ∈ −∞ +∞ ( )1 0u x = 1 ea e≥ ( )y f x= ( )y g x= 例2（2016年四川理第9题）设直线 ， 分别是函数 图象上点 ， 处的切线， 与 垂直相交于点P，且 ， 分别与y轴相交于点A，B，则 的面积的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 1l 2l ln , 0 1,( ) ln , 1, x xf x x x − <  1P 2P 1l 2l 1l 2l PAB△ ( )0,1 (0, 2) (0, )+ ∞ (1, )+ ∞6 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） 思路点拨 设 ，且 ，则由于 分别是点 处的切线，因 所以， 的斜率 为 ， 的斜率 为 . 又 与 垂直，且 ，可得： ， . 由此可得： 的方程分别为： ： ， ① 的方程分别为： ： ， ② 此 时 点 的 坐 标 为 ， 的 坐 标 为 ， 所 以 . ①、②两式联立可解得交点 的横坐标为 ， 的面积为： . 当且仅当 ，即 时等号成立，因 ，所以 ，故选（A）. 解 1 设曲线 ，曲线 ，由 求得曲 线在点 处的切线斜率 ，故切线方程 ，当 时， 为直线，不符合题意，当 时，设切线 与曲线 相切于点 ，根据题意可列方程组 ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y 1 20 1x x< < < 1 2,l l 1 2,P P ( ) 1 ,0 1 ' 1 , 1 xxf x xx − <  ， ， 1l 1k 1 1 x − 2l 2k 2 1 x 1l 2l 1 20 x x< < 1 1 1 2 1 1 1k k x x ⋅ = − ⋅ = − 1 2 1x x⋅ = 1l 1l ( )1 1 1 1 lny x x xx = − − − 2l 2l ( )2 2 2 1 lny x x xx = − + A ( )10,1 ln x− B ( )20, 1 ln x− + ( )1 2 1 22 ln ln 2 ln 2AB x x x x= − − = − ⋅ = P 1 2 1 2 1 2 2 ln 2x xx x x x x −= =+ + PAB∆ 1 2 1 1 1 1 2 22 112 2PAB xS AB P x x x x ∆ = ⋅ = × × = ≤+ + 1 1 1x x = 1 1x = 10 1x< < 1PABS∆ < ( ) lnf x x x= + ( )g x 2ax= ( 2) 1a x+ + + 1( ) 1f x x ′ = + (1,1) (1) 2k f ′= = : 2l y x= 1− 0a = 2 ( 2) 1y ax a x= + + + 0a ≠ l ( )g x 0 0( , )x y 例 3（2015 年新课标Ⅱ文第 16 题）已知曲线 在点 处的切线与曲 线 相切，则 . lny x x= + (1,1) 2 ( 2) 1y ax a x= + + + a =7 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） ，解得 ，又 ，解得 . 解 2 由 求得曲线在点 处的切线斜率 ，故切线方程 ， 当 时， 为直线，不符合题意，当 时，由 得 ，依据 解得 . 解 （Ⅰ）由 ，可得 。 令 ，解得 ，或 ，由 ，得 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 所以， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 2 1 g x ax a y x ′ = + + =  = − 0 0 1 2 2 x y  = −  = − 0 0( )y g x= 8a = 11y x ′ = + (1,1) 2k = : 2 1l y x= − 0a = 2 ( 2) 1y ax a x= + + + 0a ≠ 2 ( 2) 1 2 1 y ax a x y x  = + + +  = − 2 2 0ax ax+ + = 0∆ = 8a = 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b= − − − + 2( ) 3 12 3 ( 4)f x x x a a′ = − − − [ ]3( ) (4 )x a x a= − − − ( ) 0f x′ = x a= 4x a= − 1a ≤ 4a a< − x ( )f x′ ( )f x x ( , )a−∞ ( ,4 )a a− (4 , )a− +∞ ( )f x′ + − + ( )f x ↑ ↓ ↑ ( )f x ( )a−∞, (4 )a− + ∞, ( ,4 )a a− 例 4 （ 2017 年 天 津 ， 文 19 ） 设 ， . 已 知 函 数 ， . （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点 处有相同的切线， （i）求证： 在 处的导数等于 0； （ii）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围. ,a b R∈ 1a ≤ 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b= − − − + ( ) ( )xg x e f x= ( )f x ( )y g x= xy e= 0 0( )x y， ( )f x 0x x= x ( ) xg x e≤ 0 0[ 1, 1]x x− + b8 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） （ Ⅱ ）（ i ） 因 为 ， 由 题 意 知 ， 所 以 ，解得 . 所以， 在 处的导数等于 0. （ii）因为 ， ，由 ，可得 . 又因为 ， ，故 为 的极大值点，由（Ⅰ）知 . 另一方面，由于 ，故 ，由（Ⅰ）知 在 内单调递增，在 内单调递减，故当 时， 在 上恒成立，从而 在区间 上恒成立. 由 ，得 ， . 令 ， ，所以 ，令 ，解得 （舍去），或 . 因为 ， ， ，故 的值域为 . 所以， 的取值范围是 . 解 ( ) ( ( ) ( ))xg x e f x f x′ ′= + 0 0 0 0 ( ) ( ) x x g x e g x e  = ′ = 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ( ) ( )) x x x x f x e e e f x f x e  = ′+ = 0 0 ( ) 1 ( ) 0 f x f x =  ′ = ( )f x 0x x= ( ) xg x e≤ [ ]0 01, 1x x x∈ − + 0xe > ( ) 1f x ≤ 0( ) 1f x = 0( ) 0f x′ = 0x ( )f x 0x a= 1a ≤ 1 4a a+ < − ( )f x ( 1 )a a− ， ( 1)a a +， 0x a= ( ) ( ) 1f x f a≤ = [ ]1 1a a− +， ( ) xg x e≤ [ ]0 01, 1x x− + ( ) ( )3 26 3 4 1f a a a a a a b= − − − + = 3 22 6 1b a a= − + 1 1a− ≤ ≤ 3 2( ) 2 6 1t x x x= − + [ ]11x∈ − ， 2( ) 6 12t x x x′ = − ( ) 0t x′ = 2x = 0x = ( 1) 7t − = − (1) 3t = − (0) 1t = ( )t x [ 7,1]− b [ 7,1]− 例 5 （15·天津文）已知函数 (1)求 的单调区间； (2)设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的实数 ，都有 ; （3）若方程 （ 为实数）有两个实数根 且 求证： . ( ) ., Rxxxxf ∈−= 44 ( )xf ( )xfy = x P P ( )xgy = x ( ) ( )xgxf ≤ ( ) axf = a ,, 21 xx ,xx 21 < 3 1 12 43- +−≤ axx9 用思维导图突破导数压轴题 专题 4 导数与切线 （精讲篇） （1）解：由 得 当 即 时，函数 单调递增； 当 即 时，函数 单调递减.所以， 的单调递增区间为 单 调递减区间为 （2）设点 的坐标为点 ,则 曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 令函数 即 ,则 . 因 在区间 上单调递减,且 所以 当 时， ； 当 时， 所以 在 上单调递增，在 上 单调递减，所以对于任意实数 ， 即对任意实数 ，都有 . （3）由（2）知 ,设方程 的根为 ，可得 因为 在区间 上单调递减，又由（2）知 因此 类似地，设曲线 在原点处的切线方程为 ， 可 得 对 于 任 意 的 有 ，即 设 方 程 的 根 为 可 得 因 为 在 上 单 调 递 增 ， 且 因 此 由此可得 ( ) ( )xgxf ≤ ( ) ,xxxf 44 −= ( ) 34 4 .f x x′ = − ( ) ,xf 0>′ 1