2019 级高一下学期阶段性检测题
数学
一、单项选择题
1．若向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．设两个单位向量 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
C．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定是棱柱
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
7．已知函数 ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
8．已知 是边长为 的正 的边 上的动点， 为 的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
( )3,2a = ( )1,b m= − a b⊥ m =
2
3
2
3
− 3
2
3
2
−
( )2019 1 2z i i= − −
2 i− 2 i+ 2 i− − 2 i− +
,a b 2
3
π
3 4a b+ =
1 13 37 7
( )3,1a = ( )1, 3b = a bλ− ( )Rλ ∈
1 3
2 2 3
ABC△ 2cos sin sinB A C⋅ = ABC△
( ) 3 cos 2 cos22f x x x
π = − −
( )f x
6
π
6
π
12
π
12
π
M 1 ABC△ AC N AB BM MN⋅
3 23,4 64
− −
3 1,4 2
− −
2 1,5 5
− −
2 1,5 5
− −
二、多项选择题
9．下列命题中，不正确的是（ ）
A．两个复数不能比较大小
B．若 ，则当且仅当 且 时， 为纯虚数
C． ，则
D．若实数 与 对应，则实数集与纯虚数集一一对应
10．给出下列命题正确的是（ ）
A．一个向量在另一个向量上的投影是向量
B． 与 方向相同
C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D．若向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一直线上
11．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ， ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 是函数 的零点，则 是 的整数倍
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的图象与函数 的图象相同
D．函数 的图象可由 的图象先向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度得到
二、填空题
13．复平面内表示复数 的点位于第______象限.
14．若正四棱柱的高为 ，体对角线长为 ，则该正四棱柱的侧面积为______.
15．若函数 ， 的图象与直线 恰有两个不同交点，则 的取值
( ),z a bi a b R= + ∈ 0a = 0b ≠ z
( ) ( )2 2
1 2 2 3 0z z z z− + − = 1 2 3z z z= =
a ai
a b a b a+ = + ⇔ b
AB CD , , ,A B C D
ABC△ , ,A B C , ,a b c cos cosa A b B= 2c = 3sin 5C = ABC△
3 2
3
1
3 6
( ) 24cos 4sin cos 6f x x x x
π = + +
1 2,x x ( )f x 1 2x x−
2
π
( )f x ,16
π −
( )f x 2 3 cos 2 16y x
π = − +
( )f x 2 3sin 2y x= 1 3
π
1 2
1 2
iz i
−= +
3 cm 17 cm
( ) 3sin 2 36f x x
π = − + 0, 2x
π ∈ y m= m
范围是______.
16．在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ， 且 ，
则 ______；若 为 的中点，则 ______.
三、解答题
17．（1）已知 ，且 为第四象限角，求 与 值；
（2）已知 ，求 的值.
18．已知向量 ， .
（1）求 的值；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
19．已知向量 ， ，设 .
（1）求函数 的最小正周期和对称中心；
（2）已知 为锐角， ， ， ，求 的值.
20． 内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
21．已知向量 ， ，且 .
（1）求 及 ；
（2）若 的最小值为 ，求 的值.
22．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形，其外接圆的半径为 ，求 的周长的取值范围.
2019 级高一下学期模拟检测十
ABC△ , ,A B C , ,a b c 1b = 2c = ( )2cos cos cosA b C c B a+ =
A = M BC AM =
1sin 3
α = α sin 2
πα − tanα
tan 2α = cos sinα α
( )1,1a = ( )3,4b = −
a b−
a a b−
( )sin ,cos 1a x x= − ( )3, 1b = − ( )f x a b= ⋅
( )f x
α ( )0,β π∈ 13
6 5f
πα + =
( ) 12sin 13
α β+ = ( )sin 2α β+
ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )2cos cos cosC a B b A c+ =
C
7c = ABC△ 3 3
2 ABC△
3 3cos ,sin2 2a x x = cos , sin2 2
x xb = − 0, 2x
π ∈
a b⋅ a b+
( ) 2f x a b a bλ= ⋅ − + 3
2
− λ
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 2sin sin sin sin sinA C A C B+ − =
B
ABC△ 5 3
3 ABC△
数学参考答案
一、单项选择题
1．C
2．C【解析】 ， ，故选 C.
3．B【解析】∵ ，∴ .
4．A【解析】向量 ， ，
当 时， 有最小值 .故选 A.
5．C【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 为等腰三角形.
6．B
7．C【解析】由题意可得，函数 ，设平移量为 ，得到函数
，又 为奇函数，所以 ， ，即 ， .所
以选 C.
8．A【解析】取 的中点 ，以 为原点，直线 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ， ， ，设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，且 ，
∴ 时， 取最小值 ； 时， 取最大值 ，
∴ 的取值范围是 .
( ) ( )2019 1 2 1 2 2z i i i i i= − − = − − − = − + 2z i= − −
2 2 2 13 4 9 16 24 9 16 24 132a b a b a b + = + + ⋅ = + + × − = 3 4 13a b+ =
( )3,1a = ( )1, 3b = ( )3 ,1 3a bλ λ λ− = − −
( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 3 13 1 3 2 12 4a b a bλ λ λ λ λ − = − = − + − = − + ≥
3
2
λ = a bλ− 1
2cos sin sinB A C⋅ =
2 2 2
2 2 2 2
a c b a c
ac R R
+ −× ⋅ = a b=
ABC△
( ) 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x x x x
π = − = −
θ
( ) 2sin 2 2 6g x x
πθ = + −
( )g x 2 6 k
πθ π− = k Z∈
12 2
kπ πθ = + k Z∈
AC O O AC x
1 ,02A −
30, 2B
1 3,4 4N
−
( ),0M x 1 1
2 2x− ≤ ≤
3, 2BM x
= −
1 3,4 4MN x
= − −
2
2 1 3 1 23
4 8 8 64BM MN x x x ⋅ = − − − = − + −
1 1
2 2x− ≤ ≤
1
2x = BM MN⋅ 3
4
− 1
8x = − BM MN⋅ 23
64
−
BM MN⋅ 3 23,4 64
− −
9．ACD【解析】A 中，当两个复数的虚部都为 时，此时可以比较大小；
B 中， ， ， ，此时 ， 为纯虚数；
C 中，当 ， 时， 也成立，此时没有 ；
D 中，若 ，则 不是纯虚数，故不正确.
10．ABC【解析】A 中，向量的投影是数量，A 正确；
由向量相等的定义可知 C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点 不一定在同一直线上.
11．AC【解析】由 ，利用正弦定理可得 ，
即 ，
∵ ，∴ 或 ，
又 ，∴ ，
当 为锐角时，∵ ，∴ ，∴ ，
由 ，∴ ，∴ 中 边上的高为 ，∴ ；
当 为钝角时，∵ ，∴ ，∴ ，
由 ，∴ ，
∴ 中 边上的高为 ，∴ .
12．BC【解析】 ，
0
( ),z a bi a b R= + ∈ 0a = 0b ≠ z bi= z
1 2z z a− = ( )2 3 0z z ai a− = ≠ ( ) ( )2 2
1 2 2 3 0z z z z− + − = 1 2 3z z z= =
0a = ai
, , ,A B C D
cos cosa A b B= sin cos sin cosA A B B=
sin 2 sin 2A B=
( ), 0,A B π∈ A B=
2A B
π+ =
3sin 5C = A B=
C 3sin 5C = 4cos 5C = 10sin 2 10
C =
2 2sin 2
c c
C
a b
= = 10b a= = ABC△ AB 3 1 2 3 32S = × × =
C 3sin 5C = 4cos 5C = − 3 10sin 2 10
C =
2 2sin 2
c c
C
a b
= = 10
3b a= =
ABC△ AB 1
3
1 1 122 3 3S = × × =
( ) 24cos 4sin cos 2 3sin 2 16 3f x x x x x
π π = + + = + +
画出函数的图象，如图所示：
的图象与 轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为 ，故 A 错；
函数 的图象关于点 对称，故 B 正确；
函数 ，故 C 正确；
函数 的图象可由 先向上平移 个单位，再向左平移 个单位长度得到，故 D 错误.
二、填空题
13．三【解析】因为 ，
所以复数 所对应的复平面内的点为 ，位于第三象限.
14．
15． 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以
，作出函数的图像，由图可知
( )f x x 2
π
( )f x ,16
π −
( ) 2 3sin 2 1 2 3 cos 2 13 6f x x x
π π = + + = − +
( )f x 2 3sin 2y x= 1 6
π
( )
( )( )
21 21 2 3 4
1 2 1 2 1 2 5 5
iiz ii i i
−−= = = − −+ + −
1 2
1 2
iz i
−= +
3 4,5 5z − −
224 cm
9 ,62
0, 2x
π ∈
52 ,6 6 6x
π π π − ∈ −
1sin 2 ,16 2x
π − ∈ −
( ) 3 ,62f x ∈
9 ,62m ∈
16． ； 【解析】 ，
利用正弦定理得到 ，
得到 ，
∴ ，∴ ，
为边 的中点， ，
则 ，
∴ .
三、解答题
17．解：（1）因为 ，且 为第四象限角，所以
，
（2）因为 ，
18．解：（1）向量 ， ，则 ，
∴ .
（2）由（1）向量 与 夹角的余弦值为 ，
3
π 7
2
( )2cos cos cosA b C c B a+ =
( )2cos sin cos sin cos sinA B C C B A+ =
( )2cos sin sinA B C A+ =
2cos sin sinA A A= 1cos 2 3A A
π= ⇒ =
M BC ( )1
2AM AB AC= +
( )2 2 2 21 1 1 1 72 1 4 2 1 24 4 4 2 4AM AB AC AB AC AB AC = + = + + ⋅ = + + × × × =
7
2AM =
1sin 3
α = − α
2 2 2cos 1 sin 3
α α= − = 2 2sin cos2 3
πα α − = =
2tan 4
α = −
tan 2α = 2 2 2
sin cos tan 2sin cos sin cos tan 1 5
α α αα α α α α= = =+ +
( )1,1a = ( )3,4b = − ( )4, 3a b− = −
( )224 3 5a b− = + − =
a a b− cos a<
19．解：由题意得 ，
（1） 的最小正周期 ，令 ，则 ，
又 ，∴ 对称中心为 ， .
（2） ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴
.
20．解：（1）由已知及正丝毫定理得
，即 ，
故 .可得 ，所以 .
（2）由已知得 .又 ，所以 .
由已知及余弦定理得 ，
故 ，从而 ，所以 .
所以 的周长为 .
21．（1） ， ；（2） .
( ) 1 2
102 5
a a b
a b
a a b
⋅ −
− > = =
×⋅ −
( ) 3sin cos 1 2sin 16f x a b x x x
π = ⋅ = − + = − +
( )f x 2T π= ( )
6x k k Z
π π− = ∈ ( )
6x k k Z
ππ= + ∈
( )2sin 1 16f k k
ππ π + = + =
( )f x ,16k
ππ + k Z∈
13 42sin 1 2sin 1 sin6 6 6 5 5f
π π πα α α α + = + − + = + = ⇒ =
0, 2
πα ∈
3cos 5
α =
0, 2
πα ∈
( )0,β π∈ 30, 2
πα β + ∈
( ) 12sin 013
α β+ = − < 3, 2 πα β π + ∈ ( ) 5cos 13 α β+ = − ( ) ( ) ( ) ( )sin 2 sin sin cos cos sinα β α β α α β α α β α+ = + + = + + + 12 3 5 4 56 13 5 13 5 65 = − × + − × = − ( )2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+ = ( )2cos sin sinC A B C+ = 2sin cos sinC C C= 1cos 2C = 3C π= 1 3 3sin2 2ab C = 3C π= 6ab = 2 2 2 cos 7a b ab C+ − = 2 2 13a b+ = ( )2 25a b+ = 5a b+ = ABC△ 5 7+ cos2a b x⋅ = 2cosa b x+ = 1 2 λ =
【解】（1）由已知可得 ，
，
∵ ，∴ ，∴ .
（2）由（1）得 ，
∵ ， .
①当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，这与已知矛盾；
②当 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
由已知可得 ，解得 ；
③当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，
由已知可得 ，解得 ，与 矛盾，
综上所得， .
22．（1） ；（2） .
【解】（1）由题意 ，
由正弦定理得 ， ， ，即 ，
又∵ ， .
（2）由（1）知 ，且外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 ，解得 ，
由正弦定理得 ，可得 ，
又 ， ，
3 3cos cos sin sin cos22 2 2 2
x xa b x x x⋅ = − ⋅ =
2 2 22 2 2cos2 2 cosa b a a b b x x+ = + ⋅ + = + =
0, 2x
π ∈ cos 0x ≥ 2cosa b x+ =
( ) ( )22 2cos2 4 cos 2cos 4 cos 1 2 cos 1 2f x x x x x xλ λ λ λ= − = − − = − − −
0, 2x
π ∈ 0 1x≤ ≤
0λ < cos 0x = ( )f x 1− 0 1λ≤ ≤ cos x λ= ( )f x 1 2λ− − 2 31 2 2 λ− − = − 1 2 λ = 1λ > cos 1x = ( )f x 1 4λ−
31 4 2
λ− = − 5
8
λ = 1λ >
1
2
λ =
3B
π= (5 5 3,15+
2 2 2sin sin sin sin sinA C A C B+ − =
2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2a b b ac+ − =
2 2 2 1
2 2
a b b
ac
+ − = 1cos 2B =
( )0,B π∈
3B
π=
3B
π= 5 3
3
5 32 33
2
b = × 5b =
5 3 10 32sin sin 3 3
a c
A C
= = × = ( )10 3 sin sin3a c A C+ = +
2
3A C
π+ = 10 3 2sin sin 10sin3 3 6a c A A A
π π + = + − = +
为锐角三角形， 且 ，
又 ，得 ， ， ，
故 的周长的取值范围是 .
ABC△ 0 2A
π< < 0 2C π< < 2 3C A π= − 6 2A π π< < 3sin ,16 2A π + ∈ (5 3,10a c + ∈ ABC△ (5 5 3,15+
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