四川省阆中中学2019-2020高二数学（理）下学期第二次月考试题（Word版含答案）

2020 春高 2018 级第二次学段测试 数 学 试 题 (理 ) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2．已知 为虚数单位，复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价 格进行试销，得到如下数据： 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程y ^ ＝－4x＋a,则 a=（ ） A.100 B.104 C.106 D.108 4. 已知 X～B(n，p)，且 E(X)＝2，D(X)＝ 4 3，则 n＝（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 6． 方程 表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）（ ） A． B． C． D． 7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为（ ） A．πa2 B. 7 3πa2 C. 11 3 πa2 D．5πa2 8. 对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 ，则必有（ ） A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2) > F 3y x= C ,A B AF BF⊥ C 2 1 2 − 2 1− 3 1 2 − 3 1− 3 P ABC− O PA ⊥ ABC 2=PA 120ABC∠ = ° O 7 7 3 π 28 7 3 π 19 19 3 π 76 19 3 π ( ) ( )( ) ( ) ( )1 cos sin cos sin 3 sin cos 4 12f x x x x x a x x a x= − + + − + − ,02 π −   a 1 ,17      11, 7  −   [ )1, 1,7  −∞ − +∞    [ )1,+∞ 1e 2e 60 21 23 eem −= m = ( )4 xy a= − : 1 2 . q m a m p q+ ≤ ≤ 若 是 ( ) lnx axf x x −= k ( ) ( )2 0f k f k  − >  a样的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中二等奖代表队有 5 人（同队 内男女生仍采用分层抽样） 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ？ 30 ◎ 女生 30 20 30 （1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 人上台领奖，用 表示女生上台领奖 的人数，求 的分布列和数学期望 。 （2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生 内的两个均匀随 机数 ， ，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示 “中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队 队员获得奖品的概率。 19．（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 中，底面 是边长为 的正方形，对角线 与 相交于点 ，点 在线段 上，且 ， 与底面 所成角为 。 （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于不同 的 A、B 两点． (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA→ ·OB→ 的值； (2)如果OA→ ·OB→ ＝－4，证明: 直线 l 必过一定点，并求出该定点． 21．（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)＝ lnx＋1 x . (1)求曲线 y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)当 x≥1 时，不等式 f(x)－ 1 x≥ a（x2－1） x 恒成立，求 a 的取值范围． 3 X X )(XE [ ]2,2− x y HKLEABCD − ABCD 3 AC BD O F AH 02 =+ HFAF BE ABCD 3 π AC BE⊥ F BE D− −22．（共 10 分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析， 规定：大于或等于 120 分为优秀，120 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列 联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 3 11. 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按 99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； 参考公式与临界值表：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）. P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 理科数学 一、选择题：BBCBA BBADC BD 二、填空题：13. 15 ． 14. 15． 16． 17． 解：(1)由题知 sinα＝ 4 5，sin(β＋α)＝ 12 13. 所以 sinβ＝sin[(β＋α)－α]＝sin(β＋α)cosα－cos(β＋α)sinα＝ 12 13× 3 5－ 5 13× 4 5＝ 16 65. (2)因为 0＜α＜ π 2 ，cosα＝3 5，所以 sinα＝4 5. 所以 sin2α cos2α＋cos2α＝ 2sinαcosα 2cos2α－sin2α＝ 2 × 4 5 × 3 5 2 × (3 5 ) 2 －(4 5 )2 ＝12. 18. (1)设代表队共有 人，则 ，所以 ，设一等奖代表队男生人数为 ， 则 ，解得 ，则一等奖代表队的男生人数为 ， 故前排就坐的一等奖代表队有 3 男 3 女，共 6 人。……………2 分 则 的可能取值为 ， ， ， 。 7 ( )1,∞− 1 1ln2 1 ln3 12 3a− ≤ < − n n 50 16 5 = 160=n x 16030)10(302030 =+−++++ xx 30=x 30 X 0 1 2 3则 , , ， ，所以 的分布列 ……………5 分 ……………6 分 (2) 试验的全部结果所构成的区域为 ， 面积为 ， ……………8 分 事件 表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为 ， 如图阴影部分的面积为 ，……………10 分 这是一个几何概型，所以 。 即代表队队员获得奖品的概率为 。 ………12 分 19．（本小题满分 12 分） （1）因为在长方体 中，有 平面 ，所以 ， 因为四边形 是正方形，所以 ，又 从而 平面 ．而 平面 ，所以 。 ……………4 分 （2）因为在长方体 中，有 ， ， 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系 如图所示． 由(1)知 为直线 与平面 所成的角 又因为 与平面 所成角为 ， 所以 ，所以 ．由 可知 ， 20 1)0( 3 6 3 3 0 3 === C CCXP 20 9)1( 3 6 2 3 1 3 === C CCXP 20 9)2( 3 6 1 3 2 3 === C CCXP 20 1)3( 3 6 0 3 3 3 === C CCXP X 2 3 20 1320 9220 9120 10)( =×+×+×+×=XE ( ){ }22,22, ≤≤−≤≤−=Ω yxyx 1644 =×=ΩS A ( )                   −≥+ ≤+ ≤≤− ≤≤− = 2 1 22 22 , yx yx y x yxA 2 19332 1222 144 =××−××−×=AS 32 19 16 2 19 )( === ΩS SAP A 32 19 HKLEABCD − DE ⊥ ABCD DE AC⊥ ABCD AC BD⊥ DDEBD = AC ⊥ BDE ⊂BE BDE BEAC ⊥ HKLEABCD − DA DC DE D xyz− DBE∠ BE ABCD BE ABCD 3 π 3 π=∠DBE 3ED DB = 3AD = 3 6DE = X 0 1 2 3 P 20 1 20 9 20 9 20 1所以 ，又 ，即 ，故 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 即 ，令 ，则 ……………7 分 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ， 所以 ． 因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．……… 20． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设 l：x＝ty＋1，代入抛物线 y2＝4x，消去 x 得 y2－4ty－4＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)设 l：x＝ty＋b 代入抛物线 y2＝4x， 消去 x 得 y2－4ty－4b＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令 b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线 l 过定点(2，0)． ∴若OA→ ·OB→ ＝－4，则直线 l 必过一定点(2，0)． 21． 解：(1)根据题意可得，f(e)＝ 2 e，f′(x)＝ －lnx x2 ， 所以 f′(e)＝ －lne e2 ＝－ 1 e2，即 k＝－ 1 e2， 所以在点(e，f(e))处的切线方程为 y－ 2 e＝－ 1 e2(x－e)，即 x＋e2y－3e＝0. (2)根据题意可得， f(x)－ 1 x－ a（x2－1） x ＝ lnx－a（x2－1） x ≥0 在 x≥1 时恒成立， 令 g(x)＝lnx－a(x2－1)(x≥1)，所以 g′(x)＝ 1 x－2ax， (ⅰ)当 a≤0 时，g′(x)>0， 所以函数 y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以 g(x)≥g(1)＝0，即 a≤0 符合题意； 63=AH 02 =+ HFAF AHAF 3 1= 6AF = ( )3,0,0A ( )3,0, 6F ( )0,0,3 6E ( )3,3,0B ( )0,3,0C ( )0, 3, 6BF = − ( )3,0, 2 6EF = − BEF ( ), ,x y z=n 0 0 BF EF  ⋅ =  ⋅ =   n n 3 6 0 3 2 6 0 y z x z − + = − = 6z = ( )4,2, 6=n AC ⊥ BDE CA BDE ( )3, 3,0CA = − 6 13cos< , > 1326 3 2 CACA CA ⋅= = = ×      n n n F BE D− − 13 13(ⅱ)当 a>0 时，令 1 x－2ax＝0，解得 x＝ 1 2a，令 1 2a＝1，解得 a＝ 1 2， ①当 01， 所以在(1, 1 2a)上 g′(x)>0，在( 1 2a，＋∞)上 g′(x)0 恒成立， 又 0