江苏省扬州市仙城中学2019-2020高二数学6月阶段试题（Word版含答案）

1 扬州市仙城中学 2019-2020 第二学期 6 月份阶段测试试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 3．现有 4 名男生，2 名女生．从中选出 3 人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选 中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 4 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 5.已知下表所示数据的回归直线方程为 y ，则实数 a 的值为 x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 6.已知函数 ,则函数 y=f(x)的图象大致是（ ） 7. 3 位数学家，4 位物理学家，站成两排照像.其中前排 3 人后排 4 人，要求数学家要相邻， 2 1 11x x x ′ + = +   2 1(log ) ln 2x x ′ = 3(3 ) 3 log ex x′ = 2( cos ) 2 sinx x x x′ = − ξ ),1( 2σN 2.0)3( =>ξP =−≥ )1(ξP 2 3 3 5 1 2 2 5 xkxxf ln)( −= ),2( +∞ k 0 ( )1 0.5P ξ > = ( ) xe xxxf 222 −+= ( )f x ( )f x 06- 2 > ( ) xg x xe= (1, )+∞ ( )1a g e> = ( ) 22 2a g e≠ = ( )f x (1,2) ( ) 0f x′ ≥ (1,2) ( 2) ( ) 0 xxe ax x −− ⋅ ≥ (1,2) 0xxe a− ≤ (1,2) xa xe≥ (1,2) ( ) xg x xe= (1, )+∞ 2(2) 2a g e> = a 22a e> 2(2 , )a e∈ +∞ ( ) ( )( ) 2 12 2 2 11 1 1 2 i iz ii i i − − − −= = = = − −− + − + − − 1 i− + 2z = 2 21 2 2z i i i= + + = 0 1z z− = 0z a bi= + ( ) ( )2 21 1 1a b+ + + = ( ),a b ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + = 2 2 0z a b= + ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + = 2 1+ ACD a 2a 3 5y x= − x y r | |r7 对 D，服从正态分布 ， ，则位于区域 内的概率为 0.5，故 D 正确； 故选：BD. 12.ABD 13、11 【详解】由 , 则 展开式的通项公式为： . 所以 的展开式中 的系数为： 的展开式中含 的项: 展开式中 的系数为： 的展开式中 的系数为: 故答案为：11 14、640 【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有 种方案 剩余 3 人参观的方案有以下三种： 作为一组参观有 4 种方案， 3 人分成两组，一组 1 人，另一组 2 人，参观 4 个学校有 ， 3 人分成 3 组，每组 1 人，参观 4 个学校有 ， 所以共有 。 15.（1） ；（2）1 3 16.2 17.【解析】（1）设 z＝x+yi（x，y∈R）， 则 z+2i＝x+（y+2）i 为实数， ∴y＝﹣2． (1N 2 )( 0)σ σ > (1, )+∞ 4 4 4 41 1( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x xx x + − − = − + − − − 4( 1)x − ( ) ( )4 4 1 4 41 1r rr r r r rT C x C x− − + = − = − 4( 1)x x − 3x ( )2 2 41 =6C− 41 ( 1)xx − 3x ( )0 0 41 =1C− 4( 1)x − 3x ( )1 1 41 = 4C− − 41( 1)( 1)x xx + − − 3x ( )6+1 4 =11− − 2 5 10C = 2 3 3 4 36C A⋅ = 3 4 24A = ( )10 4 36+24 =640× + 2 3 38 ∵ 푧 2 ― 푖 = 푥 ― 2푖 2 ― 푖 = (푥 ― 2푖)(2 + 푖) (2 ― 푖)(2 + 푖) = 2푥 + 2 + (푥 ― 4)푖 5 = 2푥 + 2 5 + 푥 ― 4 5 푖为实数， ∴푥 ― 4 5 = 0，解得 x＝4． 则 z＝4﹣2i； （2）∵（z+ai）2＝（4﹣2y+ai）2＝（12+4a﹣a2）+8（a﹣2）i 在第一象限， ∴{12 + 4푎 ― 푎2＞0 8(푎 ― 2)＞0 ， 解得 2＜a＜6． 18、解：因为 f(x)＝ 1 3x3－2x2＋ax，所以 f ′(x)＝x2－4x＋a. 由题意可知，方程 f ′(x)＝x2－4x＋a＝－1 有两个相等的实根． 所以 Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以 a＝3.所以 f ′(x)＝x2－4x＋3＝－1 化为 x2－4x＋4＝ 0. 解得切点横坐标为 x＝2，所以 f(2)＝ 1 3×8－2×4＋2×3＝ 2 3. 所以切线 l 的方程为 y－ 2 3＝(－1)(x－2)，即 3x＋3y－8＝0.所以 a＝3，切线 l 的方程 为 3x＋3y－8＝0. 19.【解析】（1）二项展开式的通项 . 依题意得， ， 所以 ， 解得 . （2）由（1）得 ， 当 ，3，6 时为有理项， 故有理有 ， ， . 20、【答案】(1)证明见解析；(2) . 详解：(1)在 中， . 所以 ，所以 为直角三角形， . 又因为 平面 ，所以 . 1 4 3 3 1 3 1 1( 1)2 2 n r r n rr r r r n nr xT C C x x − − + +    = − = −      4 2 2 2 14( 1) 2n nC C= − ( ) ( ) ! ! 4! 4 ! 2! 2 ! n n n n =− − 6n = 1(6 4 )3 1 6 1( 1) 2 rr r r rT C x − − + = − ⋅ 0r = 1 2 1T x = 2 4 5 2T x= − 6 7 64 xT = 4 19 19 BCD∆ 2 22 1 2 1 2 60 3BD cos= + − × × = 2 2 2BC BD DC= + BCD∆ BD CD⊥ AC ⊥ BCD AC BD⊥9 而 ，所以 平面 . (2)如图延长 ， 相交于 ，连接 ， 则平面 平面 . 二面角 就是平面 与平面 所成二面角. 因为 ，所以 是 的中位线. ，这样 是等边三角形. 取 的中点为 ，连接 ，因为 平面 . 所以 就是二面角 的平面角. 在 ，所以 . 21.【解析】依题意： 故 则 ， 故管理时间 与土地使用面积 线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 AC CD C∩ = BD ⊥ ACDE AE CD G BG AEB ∩ BCD BG= A BG C− − BCD BAE , 2DE AC AC DE= DE AGC∆ 1GD DC= = 2, 60 ,GC BC BCD BGC= = ⊥ = ∆ BG H ,AH CH AC ⊥ BCD AHC∠ A BG C− − , 4, 3Rt AHC AC CH∆ = = 4 4 19 1919 sin AHC∠ = = 1 2 3 4 5 8 10 13 25 243, 165 5x y + + + + + + + += = = = 5 1 ( )( ) ( 2) ( 8) ( 1) ( 6) 1 9 2 8 47 i x x y y = − − = − × − ÷ − × − + × + × =∑ 5 5 2 2 1 1 ( ) 4 1 1 4 10, ( ) 64 36 9 81 64 254 i i x x y y = = − = + + + = − = + + + + =∑ ∑ 5 1 5 5 2 2 1 1 1 1 ( )( ) 47 47 0.933 10 254 2 635( ) ( ) i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ y x10 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得 的观测值为 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意， 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参 与管理的男性村民的概率为 ， 故 故 的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由 ，得 22.【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小 值． （2）f（x）有两个极值点，导数有 2 个零点，求出导数，设 h（x）=lnx﹣2ax+1，则 ．判断函数的单调性，通过 a 的范围求解函数的极值，然后推出结果． （3）结论： ．由（1）知：f（x）在 上单调减，在 上单调增，通过基本不等式以及对数的运算法则，转化证明 ． 【解答】解：（1）∵a=0，∴f（x）=xlnx，x∈（0，+∞） ∴f'（x）=lnx+1，令 f'（x）=0，解得： ，列表得：， 2k 2 2 300 (150 50 50 50) 300 5000 5000 18.75 10.828200 100 200 100 200 100 200 100k × × − × × ×= = = >× × × × × × x 1 6 35 125( 0) ( ) ,6 216P X = = = 1 2 3 5 1 25( 1) ( ) ,6 6 72P X C= = × × = 2 3 3 3 3 2 5 1 5( 2) ( 1 1( 3) 6 2) ,72 16 66 PP X X CC  = = =  ×  = = × = x 125 216 25 72 5 72 1 216 125 25 5 1 1( ) 0 1 2 3216 72 72 216 2E X = × + × + × + × = 1(3, )6X B∼ 1 1( ) 3 6 2E X = × =11 x f'（x） ﹣ 0 + f（x） 单调减 极小值 单调增 ∴ f （ x ） 的 单 调 减 区 间 为 ， 单 调 增 区 间 为 ， ； …………（3 分） （2）∵f（x）有两个极值点 ∴ 在（0，+∞）上有两个不同的零点，且零点左 右 的 f' （ x ） 的 符 号 的 相 反． ………………（5 分） 设 h（x）=lnx﹣2ax+1，则 ． 当 a≤0 时，h'（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，所以 h（x）在（0，+∞）上单调增，h （x）在（0，+∞）上最多有一个零点，不合题意； 当 a＞0 时，由 ，解得： ∴ 时，h'（x）＞0， 时，h'（x）＜0 ∴h（x）在 上单调增，则 上单调减， 若 ，则 ，所以 ，h（x）在（0，+∞）上最多有一个零 点，不合题意； 若 ， ， 又 ， （取其他小于 0 的函数值也可） 设 H（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞），则 在（1，+∞）上恒成立 ∴H（x）在（1，+∞）上单调减，∴H（x）＜H（1）=﹣1，则 x＞1 时，lnx﹣x＜﹣1 ∵ ∴ ，∴12 ∴h（x）在 、 上各有一个零点，且零点两侧的函数符号相反 ∴ （若用分离变量做，不取值说明零点存在，扣 2 分） ………（10 分） （3）结论： ．下面证明： 由（1）知：f（x）在 上单调减，在 上单调增 ∵ ，∴f（x1+x2）＞f（x1），即（x1+x2）ln（x1+x2）＞x1lnx1 ∴ ，同理 ∴ ∵ ，当且仅当 x1=x2 时取等号，且 ln（x1+x2）＜0 ∴ ，则 lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2） ∴ ， ∴ ．………………（16 分）