嘉兴市第五高级中学 2019 学年第二学期期中测试
高二数学 试题卷
满分[150]分 ,时间[120]分钟 2020 年 6 月
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C. D.
3. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
4.对任意的正实数 及 ,下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象( )
A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
6.函数 的图象可能是( )
7. 如图,在铁路建设中,需要确定隧道两端的距离(单位:百米).已测得隧道两端点 A,B
到某一点 C 的距离分别为 5 和 8, ,则 A,B 之间的距离为( )
A.7 B.
C.6 D.8
y
x
y
x
y
x
y
x–1 1
C
–1 1
B
–1 1
A
–1 1
D
OOO O
{1,3,5}A = {3,5,7}B = A B =
{1,3,5,7} {1,7} {3,5} {5}
2
1
i
i
− =+
1 3
2 2 i− 1 3
2 2 i+ 3 3
2 2 i− 3 3
2 2 i+
α ∈R sin 2
π α − =
sinα sinα− cosα cosα−
a ,m n Q∈
( )nm m na a += ( ) nnm ma a= ( )nm m na a −= ( )nm mna a=
( ) sin 4f x x
π = − ( ) sing x x=
8
π
8
π
4
π
4
π
( ) lnf x x x= ⋅
60ACB∠ = °
10 1298. 在 的展开式中,常数项为( )
A. B.120
C. D.160
9. 函数 按照下述方式定义:当 时, ;当 时, ,
方程 的所有实数根之和是( )
A. B. C. D.
10. 已知数列 中, 且 .若不等式 对任
意的 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11. 函数 的定义域是________.
12. 若 , ,则 , .
13. 已知随机变量的分布列为:
0 2
P x y
若 ,则 ; .
14. 若 ,则 等于 ; 等
于 .
15. 过原点作曲线 的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率
为 .
16. 已知函数 ,有以下命题:
① 是奇函数;② 单调递增函数;③方程 仅有 1 个实数根;
④如果对任意 有 ,则 的最大值为 2.
61 2xx
−
120−
160−
( )f x 2x ≤ ( ) 2= 2f x x x− + 2x> ( ) ( )1= 22f x f x −
( ) 1= 5f x
8 13 18 25
{ }na 1 1a = ( )2
*
1
13 2,2
n
n na a n n
−
−
− = × − ≥ ∈ N 1 5nma≤ ≤
*n∈N m
31, 2
51, 4
[ ]0,1 3 ,24
( ) 22 logf x x x= − +
0, 2
πα ∈
5cos 3
α = sinα = tanα =
ξ 1−
1
3
( ) 1
3E ξ = x y+ = ( )D ξ =
( )6 2 6
0 1 2 62 x a a x a x a x− = + + + ⋅⋅⋅ + 0a 61 2 3a a a a+ + + ⋅⋅⋅ +
lny x=
( ) e ex xf x −= −
( )f x ( )f x ( ) 2 2f x x x= +
( )0x∈ + ∞, ( )f x kx> k则上述命题正确的有 .(写出所有正确命题的编号)
17. 已知函数 的零点不少于两个,则实数 a 的取值范围 .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 已知函数 .
(1)求 的值;
(2)求函数 的最小正周期;
(3)求 ,求 的单调递增区间.
19. 已知等比数列 的各项为正数, 为其前 项的和, , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,求数列 的通项公式及其前
项的和 .
( ) 2
2e 4
x xf x ax a= − + −
2( ) 2cos 1,f x x x= − ∈R
6f
π
( )f x
( ) 3cos24g x f x x
π = − + ( )g x
{ }na nS n 3 8a = 3 14S =
{ }na
{ }n nb a− { }nb n
nT20. 在 中,内角 所对的边分别为 .已知 .
(1)求角 的大小;
(2)若 , ,求角 的大小;
(3)求 的范围.
21.已知关于 的函数 ,其导函数 ,且函数 在 处有
极值 .
(1)求实数 的值;
(2)求函数 在 上的最大值和最小值.
22. 设 .
(1)若 ,求 在区间 上的最大值;
(2)若 ,写出函数 的单调区间;
ABC△ A B C、 、 a b c、 、 1cos 2A =
A
1b = 3a = B
sin sinB C+
x ( ) 3 21
3f x x bx cx bc= − + + + ( )f x′ ( )f x 1x =
4
3
−
b c、
( )f x [ ]1,2−
( ) ( )2f x x x a x a= − + ∈R
2a = ( )f x [ ]0,3
2a > ( )f x(3)若存在 ,使得方程 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值
范围.
[ ]2,4a∈ − ( ) ( )f x tf a=嘉兴市第五高级中学 2019 学年第二学期期中测试
高二数学 参考答案及评分标准
命题人:熊萍 审核人:邢广柱
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1-5:CACDC 6-10:DACCB
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11. 12. 13. 14.
15. 16. ①②④ 17.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 解析:(1) . ……………… 4 分
(2) ,
故 的最小正周期为 . ………………………… 8 分
(3)由条件有
,
…………………………………… 11 分
由 ,得 .
故 的单调递增区间为 . ……………… 14 分
19. 解析:(1)设正项等比数列 的公比为 且 ,
( ]0 2, 2 2 5;3 5
2 14;3 9
64; 63−
( ) 1e,1 ; e 1a ≤ −
2
2 3 12cos 1 2 16 6 2 2f
π π = − = × − =
2( ) 2cos 1 (1 cos2 ) 1 cos2f x x x x= − = + − =
( )f x 2
2
π π=
( ) 3cos24
cos 2 3cos22
sin 2 3cos2
g x f x x
x x
x x
π
π
= − +
= − +
= +
2sin 2 3x
π = +
2 2 2 ,2 3 2k x k k
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈Z 5 ,12 12k x k k
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈Z
( )g x 5 , ,12 12k k k
π ππ π − + + ∈ Z
{ }na ( 0q q > 1)q ≠由已知得 , …………………………………… 2 分
解得 或 (舍 . …………………………………… 5 分
; …………………………………… 7 分
(2)由题意, . …………………………… 9 分
故 , …………………………… 10 分
则
. …………………… 15 分
20. 解析:(1) 因为 ,所以 . ……………… 2 分
(2)由正弦定理有: ,即 ,
所以 , ………………………… 6 分
又因为 ,所以 ,所以 ………………………… 8 分
(3)由题意得
. ………………………… 12 分
因为 ,所以 ,
所以
故 的取值范围是 . ………………………… 15 分
21.解析:(1) . ………………………… 2 分
因为函数 在 处有极值 .
( )
2
1
2
1
8
1 14
a q
a q q
= + + =
1 2
2
a
q
=
=
1 18
2
3
a
q
= = −
)
∴ 2n
na =
1 3( 1) 3 2n nb a n n− = + − = −
3 2 3 2 2n
n nb n a n= − + = − +
2 3
1 2 (1 4 7 3 2) (2 2 2 2 )n
n nT b b b n= + +…+ = + + +…+ − + + + +…+
1 2(1 3 2) 2(1 2 ) 32 22 1 2 2 2
n
nn n nn++ − −= + = + − −−
( )1cos , 0,2A A π= ∈
3A
π=
sin sin
b a
B A
=
1 3
sin sin 3
B π=
1sin 2B =
b a<
3B A
π< = .6B
π=
2sin sin sin sin 3B C B B
π + = + −
3 3sin cos2 2B B= +
3sin 6B
π = +
20 3B
π< < 5
6 6 6B
π π π< + <
3 3sin 32 6B
π < + ≤
sin sinB C+ 3 , 32
( ) 2' 2f x x bx c= − + +
( )f x 1x = 4
3
−所以 ………………………… 4 分
解得 或 ………………………… 6 分
(i)当 时, ,
所以 在 上单调递减,不存在极值.
(ii)当 时, ,
当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减.
所以 在 处存在极大值,符合题意.
综上所述,满足条件的值为 . ………………………… 8 分
(2)由(1)知, ,则 ,
由 ,得 , ………………………… 10 分
所以
-1 1 2
+ 0 -
所以 , . ………………………… 15 分
22. 解析:(1)当 时, ,
所以 在 上递增,在 上递减,在 上递增,
又 , ,所以 ………………………… 4 分
(2)原函数为 ,
( )
( )
' 1 1 2 0
1 41 3 3
f b c
f b c bc
= − + + = = − + + + = −
1
1
b
c
=
= −
1
3
b
c
= −
=
1, 1b c= = − ( ) ( )2' 1 0f x x= − − ≤
( )f x R
1, 3b c= − = ( ) ( )( )' 3 1f x x x= − + −
( )3,1x∈ − ( )' 0f x > ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x
( )f x 1x =
1, 3b c= − =
( ) 3 21 3 33f x x x x= − − + − ( ) 2 2 3f x x x′ = − − +
( ) ( )( )3 1 0f x x x′ = − + − = 1 23, 1x x= − =
x ( )2,1− ( )1,2
( )f x′
( )f x 20
3
− 4
3
− 11
3
−
( ) ( )min
201 3f x f= − = − ( ) ( )max
41 3f x f= = −
2a = ( ) 2
2
2 ,0 22 2
, 2 3
x x xf x x x x
x x
− + ≤ ≤= − + = < ≤
( )f x [ ]0,1 [ ]1,2 [ ]2,3
( )1 1f = ( )3 9f = ( ) ( )max 3 9.f x f= =
( ) ( )
( )
2
2
2 ,
2 ,
x a x x a
f x
x a x x a
− − ≥= − + + 2 2
2 2
a a a
− +< <
( )f x 2, 2
a + −∞
[ ),a +∞
2 ,2
a a
+
( ) ( )
( )
2
2
2 ,
2 ,
x a x x a
f x
x a x x a
− − ≥= − + +