数学试题
1．若 3 个班分别从 6 个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种．
A． B． C． D．
2、下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程 ，变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 5 个单位；
③线性回归方程 必过 ；
④在一个 列联表中，由计算得是 ，则有 的把握确认这两个变量间
有关系. 其中错误的个数是（ ）本题可以参考独立性检验临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．0 B．1 C．2 D．3
3、已知函 f(x)＝ x3+mx2+nx+1 的单调递减区间是（-3，1），则 m+n 的值为（ ）
A、－4 B、－2 C、2 D、4
4．已知随机变量 ，若 ，则 ， 分别是( )
A．4 和 2.4 B．2 和 2.4 C．6 和 2.4 D．4 和 5.6
5．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”
三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均
为 ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A． B． C． D．
6、已知 的展开式中，含 项的系数为 70，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共
3
1
猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、
公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成 3
组派去三地执行公务（每地至少去 1 人），则不同的方案有（ ）种．
A．150 B．180 C．240 D．300
8、方程 x3－3x－m=0 在区间 [– ，3] 上有唯一根，则 m 的取值集合为（ ）
A．｛m｜ ≤m≤18｝ B．｛m｜－2≤m≤18｝
C．｛m｜m=2 或－2< m≤ ｝ D．｛m｜m=－2 或 2< m≤18｝ 9、设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2) 10、若函数 f(x)＝x(x－c)2 在 x=2 处有极大值，则常数 c 的值为（ ） A、2 B、6 C、2 或 6 D、以上答案均不对 11、某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每 科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的 概率是（ ）A． B． C． D． 12、设函数 f ′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf ′(x)－f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
13、函数 f(x)=cosx+sin2x 在 处的切线方程为
14、 “2020 武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方
驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选派
2 人支援湖北省黄石市，已知男医生 2 名，女医生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1
2x
π=
名男医生的概率是___________．
15、若 ，则
16、已知函数 f(x)=x(lnx－ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
17、王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随
着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对春节前 7 天参加
抽奖活动的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
1 2 3 4 5 6 7
5 8 8 10 14 15 17
经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（2）若该活动只持续 10 天，估计共有多少名顾客参加抽奖．
参与公式： ， ， ．
18、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高
为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平
方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周
率).
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.
19．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 元的顾客，将获得一次摸
奖机会，规则如下：一个袋子装有 只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，
三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励 元；若两
只球都是绿色，则奖励 元；若两只球颜色不同，则不奖励．（每位顾客摸奖后，将两
只玻璃球放回袋中）
π π
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得 元的概率；
（2）记 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量 的分布列和数
学期望．
20、函数 f(x)= (a +1) lnx+ax2+1
（1）若 ，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)设函数g(x)=f(x)+4x，若函数y=g(x)在 (0，+ ∞)上为单调递减，求a的取值范围。
21、2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的 COVID-9 病毒基因序列公布后，科学家们
便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝
一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检
测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3 天为一个接种周期.已知小白
鼠接种后当天出现抗体的概率为 ，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
（1）求一个接种周期内出现抗体次数 k 的分布列；
（2）已知每天接种一次花费 100 元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验
持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 元；
②若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持
续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方
案。
22.设函数 f(x)=ex(ax2+x+1)，其中 e 为自然对数的底数，e=2.718...
(1)当 a > 0 时， 讨论函数 y=f（x）的单调性；
(2)若曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线与 x 轴平行，
证明：对于任意的 x1，x2∈[0,1]都有｜f(x1)－f(x2)｜< 2 1 2a = −
数学试题答案
1、D 2、B 3、B 4、A 5、A 6、A
7、A 8、D 9、D 10、B 11、C 12、A
13、 14、 15、 365 16、（0， ）
17、（1）依题意： ，………………………….1 分
， ………………………….2 分
33 2y x
π= − + 7
10
1
2
， ………………………….3 分
， ………………………….5 分
则 关于 的线性回归方程为 ． ………………………….6 分
（2）预测 时， ， 时， ， 时， ， …….8 分
此次活动参加抽奖的人数约为 人…….10 分
18、
19、（1）记一名顾客摸球中奖 元为事件
从袋中摸出两只球共有： 种取法；摸出的两只球均是红球共有： 种取法
………………….4 分
（2）记一名顾客摸球中奖 元为事件 ，不中奖为事件
则： ， …………………5 分
由题意可知， 所有可能的取值为： ， ， ， ，
则 ； ；
； ；
………………….10 分
随机变量 的分布列为：
………………….12 分
20、
21、（1）由题意可知，随机变量 服从二项分布 ，
故 .
则 的分布列为
0 1 2 3
………….4 分
（2）①设一个接种周期的接种费用为 元，则 可能的取值为 200，300，
因为 ， ，
所以 .
所以三个接种周期的平均花费为 .………….7 分
②随机变量 可能的取值为 300，600，900，
设事件 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”，由（1）知， .
所以 ，
，
，
所以 . ………….11 分
因为 .
所以选择方案二 ………….12 分
22、
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