江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二
第 I 卷（必做题，共 160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分.
1. 已知集合 1{ | lg 0}, | ( ) 1
2
xP x x Q x==
，则 PQ= ___________
2. 设 R ，则“||
2
π π
2
−”是“sin 0 ”的__________条件。（在一下条件中填一个：充分不必要
条件，充要条件，必要不充分条，既不充分又不必要条件）
3. 对于函数
3
1
1()
k
fx
xk=
=
+ ，给出如下四个结论：其中正确的结论有_______个。
（1）这个函数的值域为 R；
（2）这个函数在区间[0 ， )+ 上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；
（4）这个函数至少存在两个零点．
4. 已知 x 为实数，[]x 表示不超过 x 的最大整数，若函数 ( ) [ ]f x x x=− ，则函数 ( ) ( )
ex
xg x f x=+的零
点个数为_____个。
5. 已知 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线交于 ， 两点， ，
分别是该抛物线在 ， 两点处的切线， ， 相交于点 ，则 _____
F
2
4
xy = F 150 l A B 1l
2l A B 1l 2l C CA CB=
6. 已知复数 ， 是实数，那么复数 的实部与虚部满足的关系式为_________
7. 过点 的直线 与圆 相交于 两点，且圆上一点 到 的距离的最大值为
，则直线 的方程为__________．
8. 如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的侧棱长为底面边长的 2 倍， M 是侧棱 1CC
的中点，则异面直线 1AB 和 BM 所成的角的余弦值为_______
9. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为______
10. 已知 nS 是等差数列{}na 的前 n 项和，若 2018 2020 2019S S S，设 12n n n nb a a a++= ，则
数列 1{}
nb 的前 n 项和 nT 取最大值时 n 的值为______
11. 在 ABC△ 中，角 A 的平分线交 BC 于 D ， 3BD = ， 2CD = ，则 ABC△ 面积的最大值为_______
12. 已知对任意 (0, )x + ，都有 1(e 1) (1 )ln 0kxkx
x
+ − + ，则实数 k 的取值范围为_______
13. 在锐角三角形 ABC 中，若sin 2sin sinA B C= ，则 22sin sinAB+ 的最大值为_______
14.已知函数 2( ) (| | 5, )f x x bx c b c R= + + ，记 { | ( ) }, { | ( ( )) }A x f x x B x f f x x= = = = ，若集
合 1 2 1 2 3 4{ , }, { , , , }A x x B x x x x== ，且 1 2 3 4| | | | 5 1x x x x− + − + 恒成立，则bc+ 的取值范围是
____
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) ABC△ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 7cos cos
7
a B b A ac+=，
sin 2 sinAA= ．
（1）求 A 及 a ；
（2）若 2bc−=，求 BC 边上的高．
i( , )z a b a b= + R i1
z
+ z
(0,2)P l 22:9O x y+= ,MN Q
4 MN
a b 0ab 2
aa
a b a b
−
++
16. (本小题满分 14 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，点 D 在棱 BC 上， 1AD C D⊥ ,点 ,EF分别是 1 1 1,BB A B 的中
点.
（1）求证： 为 的中点；
（2）求证: //EF 平面 1ADC .
17 (本小题满分 14 分)．某地实行垃圾分类后，政府决定为 三个小区建造
一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知 在 的正西方向， 在
的北偏东 方向， 在 的北偏西 方向，且在 的北偏西 方向，小
区 与 相距 与 相距 .
（1）求垃圾处理站 与小区 之间的距离；
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费
用为每公里 元，一辆小车的行车费用为每公里 元(其中 为满足 是 内的正整数) .
现有两种运输湿垃圾的方案：
方案 1:只用一辆大车运输，从 出发，依次经 再由 返回到 ；
方案 2:先用两辆小车分别从 运送到 ，然后并各自返回到 ，一辆大车从 直接到
再返回到 .试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位
, ,A B C
A B C
30 M 20 45
2,km B 3 km
a a 100 1 99−
,,A B C
AC、
18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 ．
（1）曲线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为椭圆 上异于 ， 的点，若直线
的斜率为 1，求直线 的斜率；
（2）若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，直线 ．过 的直
线 与椭圆 相交于 ， 在第一象限）两点，与 相交于 ，
是否存在 使 的面积等于 的面积与 的面积之
和．若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
19. (本小题满分 16 分) 已知数列 na 满足奇数项 21na − 成等差，公差为 d ，偶数项 2na 成等
比，公比为 q ，且数列 的前 n 项和为 nS ， 1 1a = ， 2 2a = .
( )1 若 5 4 52S a a=+， 9 3 4a a a=+.①求数列 的通项公式；
②若 12m m ma a a++= ，求正整数 m 的值；
( )2 若 1d = ， 1q ，对任意给定的 ，是否存在实数 ，使得 21
2
n
n
a
a
− 对任意 *nN 恒成立？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
2
2:1
2
xCy+=
3:D y x= C A B H C A B HA
HB
C F E :4lx= F
l C P (QP l M
PFE△ MPE△ QFE△
l
20．(本小题满分 16 分)已知函数 1( ) ln ( )( )f x x x
x
= + − R ．
（1）当 1x 时，不等式 ( ) 0fx 恒成立，求 的最小值；
（2）设数列{an}满足 1 ()nan
n
=*N ，其前 n 项和为 nS ，证明： 2 ln 2
4
n
nn
aSS− + ．
第 II 卷（附加题，共 40 分）理科附加题
21．已知点 A 在变换
3: x x x yT
y y y
+ →=
作用后，再绕原点逆时针旋转90 ，得到点 B .若
点 的坐标为( )4,3− ，求点 的坐标.
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ， 为参数），以坐标原点 为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的直角坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程，曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， ， ， 是曲线 上两点，当 时，求 的取值
范围．
1C 1 cos (0
sin
xr r
yr
=+ =
O
x 1C π(2, )
3
P 2C
221xy−=
1C 2C
1(A ) 2(B π)
6
− 2C π(0, )
4
22
11
| | | |OA OB
+
23．如图，平面 EFBA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 EFBA为矩形，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB CD∥ ，
M ， N 分别为 FC ， AC 的中点， 45ADC = ， 33DC AB==， 2AE = ．
（1）证明： MN∥平面 EFBA；
（2）求二面角 F AC D−−的正弦值；
（3）线段 ED 上是否存在点 P ，使得 PN ⊥ 平面 MAC ，若存在，求出 EP 的长；若不存在，说
明理由．
24．2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家
组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传
染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，
每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率
为 ，某位患者在隔离之前，每天有 位密切接触者，其中被感染的人数为 ，
假设每位密切接触者不再接触其他患者．
（1）求一天内被感染人数为 的概率 与 、 的关系式和 的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传
播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 位密切接触者，从某一名患者被感染，按
第 1 天算起，第 天新增患者的数学期望记为 ．
求数列 的通项公式，并证明数列 为等比数列；
（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 ．当 取
最大值时，计算此时 所对应的 值和此时 对应的 值，根据计算结果说明戴口罩的必要
性．（取
（结果保留整数，参考数据： ， ，
(0 1)pp a (0 )X X a
X ()PX a p X
a
n ( 2)nEn
i（ ） {}nE {}nE
2ln(1 )
3
p p p = + − p
p 6E p 6E
10)a =
ln5 1.6 ln3 1.1 12ln2 0.7, 0.3, 0.7)
33
江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二
第 I 卷（必做题，共 160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分.
1. 已知集合 1{ | lg 0}, | ( ) 1
2
xP x x Q x==
，则 PQ= ___________
2. 设 R ，则“||
2
π π
2
−”是“sin 0 ”的__________条件。（在一下条件中填一个：充分不必要
条件，充要条件，必要不充分条，既不充分又不必要条件） 充分不必要条件
3. 对于函数
3
1
1()
k
fx
xk=
=
+ ，给出如下四个结论：其中正确的结论有_______个。 4
（1）这个函数的值域为 R；
（2）这个函数在区间[0 ， )+ 上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；
（4）这个函数至少存在两个零点．
4. 已知 x 为实数，[]x 表示不超过 x 的最大整数，若函数 ( ) [ ]f x x x=− ，则函数 ( ) ( )
ex
xg x f x=+的零
点个数为_____个。2
5. 已知 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线交于 ， 两点， ，
分别是该抛物线在 ， 两点处的切线， ， 相交于点 ，则 ________0
F
2
4
xy = F 150 l A B 1l
2l A B 1l 2l C CA CB=
6. 已知复数 ， 是实数，那么复数 的实部与虚部满足的关系式为_________
7. 过点 的直线 与圆 相交于 两点，且圆上一点 到 的距离的最大值为
，则直线 的方程为__________． 或
8. 如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的侧棱长为底面边长的 2 倍， M 是侧棱 1CC
的中点，则异面直线 1AB 和 BM 所成的角的余弦值为_______ 3 10
20
9. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为______
10. 已知 nS 是等差数列{}na 的前 n 项和，若 2018 2020 2019S S S，设 12n n n nb a a a++= ，则
数列 1{}
nb 的前 n 项和 nT 取最大值时 n 的值为_______2019
11. 在 ABC△ 中，角 A 的平分线交 BC 于 D ， 3BD = ， 2CD = ，则 ABC△ 面积的最大值为_______．15
12. 已知对任意 (0, )x + ，都有 1(e 1) (1 )ln 0kxkx
x
+ − + ，则实数 k 的取值范围为_______ 1(
e
， )+
13. 在锐角三角形 ABC 中，若sin 2sin sinA B C= ，则 22sin sinAB+ 的最大值为_______ 3+2
2
14.已知函数 2( ) (| | 5, )f x x bx c b c R= + + ，记 { | ( ) }, { | ( ( )) }A x f x x B x f f x x= = = = ，若集
合 1 2 1 2 3 4{ , }, { , , , }A x x B x x x x== ，且 1 2 3 4| | | | 5 1x x x x− + − + 恒成立，则bc+ 的取值范围是
____ 5[ ,9]
4
−
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) ABC△ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 7cos cos
7
a B b A ac+=，
sin 2 sinAA= ．
（1）求 A 及 a ；
（2）若 2bc−=，求 BC 边上的高．
i( , )z a b a b= + R i1
z
+ z
0ab−=
(0,2)P l 22:9O x y+= ,MN Q
4 MN 3 2 0xy− + = 3 2 0xy+ − =
a b 0ab 2
aa
a b a b
−
++ 3 2 2−
【解析】（1） 7cos cos
7
a B b A ac+=，
由正弦定理得 7sin cos sin cos sin
7
A B B A a C+=，
7sin( ) sin
7
A B a C+= ，又 πA B C+ = − ， 7sin sin
7
C a C= ，又sin 0C ，
7a = ；
sin 2 sinAA= ， 2sin cos sinA A A=，又sin 0A ， 1cos
2
A = ，
又 (0,π)A ， π
3
A = .
（2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ，又 7a = ， π
3
A = ，
22 7b c bc + − = ，又 2bc=+，代入 22 7b c bc+ − = ，得 2 2 3 0cc+ − = ，
解得 1c = 或 3− （舍去）， 3b=，
sin sin
ac
AC
= ， sin 21sin
14
cAC
a
==，
设 BC 边上的高为 h ， 3 21sin
14
h b C==．
16. (本小题满分 14 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，点 D 在棱 BC 上， 1AD C D⊥ ,点 ,EF分别是 1 1 1,BB A B 的中
点.
（1）求证： 为 的中点；
（2）求证: //EF 平面 1ADC .
【解析】
（1） 正三棱柱 1 1 1ABC A B C− ， 1CC⊥ 平面 ABC ，
又 AD 平面 ， 1C C AD⊥ ，又 1AD C D⊥ ， 1 1 1C D C C C=
AD ⊥ 平面 11BCC B ，
又 正三棱柱 1 1 1ABC A B C− ，
平面 ABC ⊥ 平面 11BCC B ， AD ⊥ BC ， D 为 的中点．
（2） 连接 1AB，连接 1AC交 1AC 于点G ，连接 DG
矩形 11A ACC ， 为 的中点，
又由(1)得 为 的中点，
△ 1A BC 中， 1//DG A B
又 点 E ， F 分别是 1BB ， 11AB 的中点，
△ 11A B B 中， 1//EF A B ， //EF DG ，
又 EF 平面 1ADC ， DG 平面
//EF 平面
17 (本小题满分 14 分)．某地实行垃圾分类后，政府决定为 三个小区建造
一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知 在 的正西方向， 在
的北偏东 方向， 在 的北偏西 方向，且在 的北偏西 方向，小
区 与 相距 与 相距 .
（1）求垃圾处理站 与小区 之间的距离；
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费
用为每公里 元，一辆小车的行车费用为每公里 元(其中 为满足 是 内的正整数) .
现有两种运输湿垃圾的方案：
方案 1:只用一辆大车运输，从 出发，依次经 再由 返回到 ；
方案 2:先用两辆小车分别从 运送到 ，然后并各自返回到 ，一辆大车从 直接到
再返回到 .试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位
【解析】（1）在 中， ， ， ， .
, ,A B C
A B C
30 M 20 45
2,km B 3 km
a a 100 1 99−
,,A B C
AC、
MBC 50MBC= 105MCB = 3BC = 25BMC=
由正弦定理得： ， .
所以垃圾处理站 与小区 间的距离为 公里.
（2）在 中，由 得：
在 中， ， ，
， .
方案一费用: ，
方案二费用:
当 时，方案二合算，此时 ；
当 时，方案一合算， 此时 ；
综上，当 时， 方案二合算；当 时，方案一合算.
18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 ．
（1）曲线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为椭圆 上异于 ， 的点，若直线
的斜率为 1，求直线 的斜率；
（2）若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，直线 ．过 的直线 与椭圆 相交于 ，
在第一象限）两点，与 相交于 ，是否存在 使 的面积等于 的面积与
的面积之和．若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知设 ， ， ， ， ，
记直线 HA，HB 的斜率分别为 kHA，kHB，
于是有 ， ，相减得 ，
又 ，
3
sin 50 sin 25
MC = 3sin 50 5.438 5.44
sin 25
MC =
M C 5.44
MBC 3
sin105 sin 25
MB = 3sin105 6.857
sin 25
MB ==
70MBA= 2AB =
2 2 2 2 cos 70MA AB MB AB MB= + − 6.452MA
( ) ( )1 6.452 2 3 5.438 16.890y a MA AB BC CM a a= + + + = + + + =
( ) ( )2 2 2 13.713 10y a MB a AB BC a= + + = +
12yy 0 0.32
12yy 0.32 1
2
2:1
2
xCy+=
3:D y x= C A B H C A B HA
HB
C F E :4lx= F l C P
(QP l M PFE△ MPE△
QFE△ l
( , )H x y 1(Ax 1 )y 1(Bx− 1 )y−
2222xy+= 22
1122xy+= 2 2 2 2
112( )x x y y− = −
22
1 1 1
22
1 1 1
1
2HA HB
y y y y y ykk
x x x x x x
− + −= = = −
− + −
， ．即直线 的斜率为 .
（2）设 ， ， ， ， ，
则 ，
．
由 得 ，①
设 ，令 ，得 ， ②，
把 代入 得 ．
③，
④，
②③联立得 ， ⑤．
把⑤代入④得 ．
化简得 ，由于此方程无解，故所求直线 不存在．
19. (本小题满分 16 分) 已知数列 na 满足奇数项 21na − 成等差，公差为 d ，偶数项 2na 成等
比，公比为 q ，且数列 的前 n 项和为 nS ， 1 1a = ， 2 2a = .
( )1 若 5 4 52S a a=+， 9 3 4a a a=+.①求数列 的通项公式；
②若 12m m ma a a++= ，求正整数 m 的值；
( )2 若 1d = ， 1q ，对任意给定的 ，是否存在实数 ，使得 21
2
n
n
a
a
− 对任意 *nN 恒成立？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
1HAk = 1
2HBk =− HB 1
2
−
0(4, )My 3(Px 3 )y 4(Qx 4 )y
0 3 0 3
1 1 1| | | | | | ( )
2 2 2MPES FE y FE y FE y y= − = −△
34
11| | , | | ( )
22PFE QFES FE y S FE y= = −△ △
PFE MPE QFES S S=+△ △ △ 0 3 42y y y=+
: 1( 0)l' x my m= − 4x = 0
5y
m
= 34
52yy
m
+=
1x my=−
2
2 1
2
x y+= 22( 2) 2 1 0m y my+ − − =
34 2
2
2
myy
m
+=
+
34 2
1
2
yy
m
=−
+
3 2
52
2
my
mm
=−
+ 4 2
45
2
my
mm
=−
+
2 2 2
5 2 4 5 1( )( )
2 2 2
mm
m m m m m
− − = −
+ + +
4219 50 0mm+ + = l
解：( )1 ①因为 5 4 52S a a=+， 9 3 4a a a=+，所以 1 2 3 4a a a a+ + = ， ，即
42
32
dq
dq
+=
=
解得 2d = ， 3q = .
当 n 为奇数时，设 21nk=−，则 ( )2 1 1 1 2 1nka a a k d k n−= = + − = − =
当 为偶数时，设 2nk= ，则 11 2
22 23
n
k
nka a a q −−= = = 综上 1
2
, 2 1
2 3 , 2
nn
n n k
a
nk−
=−=
=
， *kN .
②当 m 为奇数时， 12m m ma a a++= ，即 1
22 3 2
m
mm
−
= + ，即
1
2 22 3 1
m
m
−
= + ，当 1m = 时，不合
题意；当 3m 时，右边小于 2，左边大于 2，等式不成立；
当 为偶数时， ， 13m +=,所以 2m = .综上， .
( )2 当 0 = 时，由于 21nan− = ， 1
2 2 n
naq−= 各项，所以 21
2
0n
n
a
a
− ，所以 符合题意；
当 0 时，假设 21
2
n
n
a
a
− 对任意 *nN 恒成立，即 12 n
n
q
− 对任意 恒成立，
所以 2
n
n
qq
，令 0
2
q
= ，即 0n
n
q
对任意 恒成立
先证：ln xx 对任意 0x 恒成立，
令 ( ) lnf x x x=−，则 ( ) 1 1 2
22
xfx
xxx
− = − = ，
所以 ( )fx在( )0, 4 上递减，在( )4,+ 上递增，
所以 ( ) ( )min 4 2 ln 4 0f x f= = − ，即 对任意 恒成立，所以ln nn ，
所以 ( )2ln ln ln 2 ln ln 2 ln 2nq n n q n n q n n n q− = − − = − ，所以当 2
4
ln
n
q
时，
2nqn ,即 02 n
nn
nq
，解得
0
1n
，
所以当
0
1n
且 2
4
ln
n
q
时， 02
1
n
nn
q n n
= 这与 0n
n
q
对任意 *nN 恒成立矛盾，所以当
0 时不合题意；综上 的取值范围为 0 .
20．(本小题满分 16 分)已知函数 1( ) ln ( )( )f x x x
x
= + − R ．
（1）当 1x 时，不等式 ( ) 0fx 恒成立，求 的最小值；
（2）设数列{an}满足 1 ()nan
n
=*N ，其前 n 项和为 nS ，证明： 2 ln 2
4
n
nn
aSS− + ．
【解析】（1）由 1( ) ln ( )( )f x x x
x
= + − R ，得
2
2() xxfx
x
− + − = ，
①当 1
2
时，方程 2 0xx− + − = 的 21 4 0=− ，因式 2xx− + − 在区间 (1, )+ 上恒为负数，
所以 1x 时， ( ) 0fx ，函数 ()fx在区间(1, )+ 上单调递减，
又 f （1） 0= ，所以函数 ( ) 0fx 在区间 (1, )+ 上恒成立；
② 当 10
2
时，方程 2 0xx− + − = 有 两 个 不 等 实 根 ， 且 满 足
22
12
1 1 4 1 1 41
22
xx
− − + −= = ，
所 以 函 数 ()fx的 导 函 数 ()fx 在 区 间
21 1 4(1, )
2
+− 上 大 于 零 ， 所 以 函 数 ()fx在 区 间
21 1 4(1, )
2
+− 上单调递增，
又 f （1） 0= ，所以函数 ()fx在区间
21 1 4(1, )
2
+− 上恒大于零，不满足题意；
③当 0 时，在区间( )1, + 上 1( ) ln ( ) lnf x x x x
x
= + − ，
函数 lnyx= 在区间 (1, )+ 上恒为正数，
所以在区间 (1, )+ 上 ()fx恒为正数，不满足题意；
综上可知：当 1x 时，不等式 ( ) 0fx 恒成立， 的最小值为 1
2
．
（2）由（1）知：当 1x 时， 1 1 ( 1)( 1)ln ( )
22
xxxx
xx
+− − − = ，
若 n *N ，则
11[(1 ) 1] [(1 ) 1]1 2 1ln(1 ) 1 2 ( 1)2(1 )
nnn
n n n
n
+ + + − ++ =
++
，
即 11ln( 1) ln
2 2( 1)
nn
nn
+ − +
+ 成立，
将 n 换成 1n + ，得 11ln[(1 ) 1] ln( 1)
2( 1) 2[( 1) 1]
nn
nn
+ + − + +
+ + + 成立，
即 11ln( 2) ln( 1)
2( 1) 2( 2)
nn
nn
+ − + +
++，
以此类推，得 11ln( 3) ln( 2)
2( 2) 2( 3)
nn
nn
+ − + +
++， 11ln 2 ln(2 1)
2(2 1) 4
nn
nn
− − +
−
， ，
上述各式相加，得 1 1 1 1 1ln 2 ln ln 2
2 1 2 2 1 4
nn
n n n n n
− = + + + + +
+ + −
，
又 2
1 1 1 1
1 2 2 1 2nnSS
n n n n
− = + + + +
+ + −
，
所以 2 ln 2
4
n
nn
aSS− + ．
第 II 卷（附加题，共 40 分）理科附加题
21．已知点 A 在变换
3: x x x yT
y y y
+ →=
作用后，再绕原点逆时针旋转90 ，得到点 B .若
点 的坐标为( )4,3− ，求点 的坐标.
【答案】( )9, 4−
【解析】设 ( ),A x y ，则 在变换 T 下的坐标为( )3,x y y+ ，又绕原点逆时针旋转 对应的矩阵
为
01
10
−
，
所以
0 1 3 4
1 0 3 3
x y y
y x y
− + − − == +
，得
4
33
y
xy
− = −
+=
，解得
9
4
x
y
=−
=
所以点 A 的坐标为( )9, 4− .
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ， 为参数），以坐标原点 为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的直角坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程，曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， ， ， 是曲线 上两点，当 时，求 的取值
范围．
【解析】（1）将曲线 的参数方程转化成普通方程为： ，
由 ， ，
得点 的直角坐标为 ，代入曲线 得 ，
曲线 的普通方程为 ，
可化为 ，即 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
（2）将点 ， ， ， 代入曲线 的极坐标方程，
得 ， ，
．
1C 1 cos (0
sin
xr r
yr
=+ =
O
x 1C π(2, )
3
P 2C
221xy−=
1C 2C
1(A ) 2(B π)
6
− 2C π(0, )
4
22
11
| | | |OA OB
+
1C 2 2 2( 1)x y r− + =
cosx = siny =
π(2, )
3
P (1, 3) 1C 2 3r =
1C 22( 1) 3xy− + =
2C 2 2 2 2cos sin 1 −=2 cos 2 1=
2C 2 cos 2 1=
1(A ) 2(B π)
6
− 2C
2
1 cos 2 1= 2
2
πcos(2 ) 1
3
−=
2 2 2 2
12
1 1 1 1 πcos 2 cos(2 )
| | | | 3OA OB
+ = + = + −
33 πcos 2 sin 2 3 sin(2 )
2 2 3
= + = +
当 时， ，
于是 ．
所以 的取值范围是 ．
23．如图，平面 EFBA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 EFBA为矩形，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB CD∥ ，
M ， N 分别为 FC ， AC 的中点， 45ADC = ， 33DC AB==， 2AE = ．
（1）证明： MN∥平面 EFBA；
（2）求二面角 F AC D−−的正弦值；
（3）线段 ED 上是否存在点 P ，使得 PN ⊥ 平面 MAC ，若存在，求出 EP 的长；若不存在，说
明理由．
【解析】（1）连接 AF ， M ， N 分别为 FC ， AC 的中点， MN AF ∥ ，
MN 平面 EFBA， AF 平面 EFBA，
MN ∥平面 EFBA．
（2）过点 A 作 AH CD⊥ ，垂足为 H ，以 A 为坐标原点，分别以 AH ，AB ，AE 所在直线为 x ，
y ， z 轴建立空间直角坐标系 A−xyz 如图所示，
则 (0A ，0， 0) ， (1C ，2， 0) ， (0F ，1， 2) ， (1D ， 1− ，0) ， (1AC = ，2，0) ，
(0AF = ，1， 2) ，
π(0, )
4
π π 5π2 ( , )
3 3 6
+
π 33 sin(2 ) ( , 3]
32
+
22
11
| | | |OA OB
+ 3( , 3]
2
设平面 FAC 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，得 ，2， ，
平面 的一个法向量为 ，
，
．
二面角 的正弦值为 ．
（3）假设存在这样一个点 ，设 ， ， ，
设 ，即 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，平面 的法向量为 ，2， ，
平面 ， ，
， 且 且 ，即不存在这样的 ，
故不存在点 ，使得 平面 ．
(x=n y )z
20
20
AC x y
AF y z
= + =
= + =
n
n
2y = (4=−n 1)−
ACD (0,0,1)=m
1cos ,
| | | | 21
−==
mnmn
mn
2 20 2 105sin , 1 cos ,
21 21
= − = =m n m n
F AC D−− 2 105
21
P (Px y )z
EP ED= (x y 2) (1z −= 1− 2)−
x = y =− 22z =− (P − 2 2 )−
1(
2
PN =− 1 + 2 2) − MAC (4=−n 1)−
PN ⊥ MAC PN∥n
1
1 2 22
4 2 1
− +−==
−−
5
2
=− 3
5
= 17
18
=
P PN ⊥ MAC
24．2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家
组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传
染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，
每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率
为 ，某位患者在隔离之前，每天有 位密切接触者，其中被感染的人数为 ，
假设每位密切接触者不再接触其他患者．
（1）求一天内被感染人数为 的概率 与 、 的关系式和 的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传
播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 位密切接触者，从某一名患者被感染，按
第 1 天算起，第 天新增患者的数学期望记为 ．
求数列 的通项公式，并证明数列 为等比数列；
（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 ．当 取
最大值时，计算此时 所对应的 值和此时 对应的 值，根据计算结果说明戴口罩的必要
性．（取
（结果保留整数，参考数据： ， ，
【解析】（1）由题意 ，
则 ，
．
（2） 第 天被感染人数为 ，第 天被感染人数为 ，
由题目中均值定义得：
．
(0 1)pp a (0 )X X a
X ()PX a p X
a
n ( 2)nEn
i（ ） {}nE {}nE
2ln(1 )
3
p p p = + − p
p 6E p 6E
10)a =
ln5 1.6 ln3 1.1 12ln2 0.7, 0.3, 0.7)
33
~ ( , )X B a p
( ) C (1 )x x a x
aP X p p −=−
EX ap=
(i) n (1 )nap+ 1n − 1(1 )nap −+
11(1 ) (1 ) (1 )n n n
nE ap ap ap ap−−= + − + = +
∴ ，且 ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
．
则当 ， ，
，
，
∵ ， ∴戴口罩很有必要．
1
1n
n
E ap
E −
=+ 1E ap=
{}nE ap 1 ap+
(ii) 2( ) ln(1 )
3
f p p p= + − 1 2 2 1()
1 3 3( 1)
pfp
pp
−+ = − =
++
()fp 1(0, )
2
1(
2
1)
max
1 3 1 1( ) ( ) ln ln3 ln2 1.1 0.7 0.3 0.1
2 2 3 3
f p f= = − = − − − − =
10a = 110 (1 10 )n
nE p p −=+
5
6 10 0.1 (1 10 0.1) 32E = + =
5
6 10 0.5 (1 10 0.5) 38880E = + =
66EE
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