2020 年红河州第三次高中毕业生复习统一检测
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指
定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿
纸和答题卡的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的
非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用 2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应
的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2． 是虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3．等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A.32 B.30 C.60 D.70
4．以下说法中正确的是（ ）
① ， ；
②若 为真命题，则 为真命题：
③ 是 的充分不必要条件;
④“若 ，则 ”的逆否命题为真命题。
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受
{ }1A x x= > − { }2 1B x x= − < ≤ A B∩ =
( )1,1− ( ]1,1− [ ]1,1− ( ]2,1−
i 2 iiz = + z
1 2i+ 1 2i− 1 i+ 1 i−
{ }na n nS 2 3 4 42a a a+ + = 5S =
x R∀ ∈ 2 1 0x x− + >
p q∨ p q∧
1x > 2 2 0x x+ − >
x y> 2 2x y>国内外人士所喜爱。简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作．现有一张正方形纸片
（图 1），将其沿对角线 对折得图 2，再沿图 2 中的虚线对折得图 3，然后用剪刀沿图 3 虚线裁剪，则图
3 展开后所得窗花形状应是（ ）
A. B. C. D.
6．设 ， 是空间中不同两条直线， ， 是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是（ ）
A.若 ， ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ， ，则
7．执行右图所示程序框图，输出结果为（ ）
A. B. C.19 D.20
8．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘。古希腊数学家毕达哥拉斯发现 220 和 284 具有如
下性质：220 的所有真因数之和恰好等于 284，同时 284 的所有真因数之和也等于 220，他把具有这种性质
的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮。已知 220
和 284，1184 和 1210，2924 和 2620 是 3 对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组 2 个数，另一组 4
MNPQ
NQ
m n α β
//m α //n β //α β //m n α β⊥ m β⊥ //m α
m n⊥ m α⊥ //α β //n β α β⊥ lα β∩ = //m α m l⊥ m β⊥
20− 19−个数，则 20 和 284 在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
9．函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10．将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函
数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线 于点 、 两点，则
等于（ ）
A. B. C.1 D.4
12．设 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题
13．已知向量 ， ，若 ，则 ______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为 、 ，点 关于右顶点 的对称点为 ，若右焦点 恰好是线段
的中点，则双曲线的离心率是______．
15．已知数列 的首项是 ，且 ，则数列 的通项公式为______．
1
15
2
5
7
15
1
5
( ) sin cosf x x x x= −
π π2cos cos6 3y x x = − +
( )0ϕ ϕ >
ϕ
π
3
π
4
π
6
π
12
C 2y x= F F 3 C A B
AF BF⋅
1
3
4
3
0a ≠ x ∈ R ( ) ( )11 2 0a xax e + − − ≥ a
ln 2 1− 1
ln 2 1− 2e − 1
2e −
( )2,3a = ( ), 6b m= − //a b m =
1F 2F 1F A P 2F
AP
{ }na 1
1
2a = 1 2
n
n
naa n+ = + { }na16．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，设 为 中点，且
直线 与平面 所成角的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为______．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．第 17－21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．2020 年初，新型冠状病毒肺炎（COVID－19）在我国爆发，全国人民团结一心、积极抗疫，为全世界
疫情防控争取了宝贵的时间，积累了丰富的经验。某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，
在官方网站．上搜集了 7 组数据，并依据数据制成如下散点图：
图中 表示日期代号（例如 2 月 1 日记为“1”，2150 月 2 日记为“2”，以此类推）．通过对散点图的分析，
结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型 来拟合，为求出 关于 的回归方
程 ， 可 令 ， 则 与 线 性 相 关 ． 初 步 整 理 后 ， 得 到 如 下 数 据 ： ，
．
（1）根据所给数据，求出 关于 的线性回归方程：
（2）求 关于 的回归方程；若防控不当，请问 为何值时，累计确诊人数的预报值将超过 1000 人?（参
考数据： ，结果保留整数）
附：对于一组数据 ，其线性回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为 ， ．
19．如图，在多边形 中（图1）．四边形 为长方形， 为正三角形， ， ，
现以 为折痕将 折起，使点 在平面 内的射影恰好是 的中点（图 2）．
（1）证明： 平面 ：
P ABC− PA ⊥ ABC 120BAC∠ = ° 2AC = 1AB = D BC
PD ABC 5
5
ABC△ A B C a b c ( )3 cos cos 0a c B b C+ + =
sin B
3a = 2 3b = ABC△
x
ebx ay += y x
ln yω = ω x 3.5ω ≈
( )( )7
1
15.4i i
i
x x ω ω
=
− − ≈∑
ω x
y x x
ln1000 6.9≈
( ), ( 1,2,3, , )i iu v i n= ⋅⋅⋅ ˆˆ ˆv bu a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
b =
=
=
− −
−
∑
∑
ˆˆa v bu= −
ABPCD ABCD BPC△ 3AB = 32BC =
BC BPC△ P ABCD AD
AB ⊥ PAD（2）若点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值．
20．已知椭圆 ： （ ）的右顶点为 ．左、右焦点分别为 ， ，过点 且
垂直于 轴的直线交椭圆于点 （ 在第象限），直线 的斜率为 ，与 轴交于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）过点 的直线与椭圆交于 、 两点（ 、 不与 、 重合），若 ，求直线
的方程．
21．已知两数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程：
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，求实数 的取值范围，井探索 ， ， 三者之
间的关系．
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，已知点 ，参数 ，直线 的方向向量为 ，
且过定点 ．
（1）在平面直角坐标系 中求点 的轨迹方程；
（2）若直线 上有一点 ，求 的最小值．
23．[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
E PB 1
3PE PB= E DC B− −
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > ( )2,0A 1F 2F 1F
x B B AB 1
2 y P
C
P M N M N A B 3PM PN= − MN
( ) ( )ln 1
af x x a Rx
= − ∈+
( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x 1x 2x a ( )1f x ( )2f x ( )1f
xOy ( )1 cos ,sinP α α+ [ ]0,πα ∈ l ( )1,1a =
( )1,0A −
xOy P
l Q PQ
( ) 2f x x x= + +
( ) 6f x ≥（2）记 的最小值为 ，设 ， ， ，求证： ．
2020 年红河州高三毕业班第三次州统测试卷
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C D D C A D A B
1．选 B．解析：由题意知
2．选 A．解析：由题意知： ，因此
3．选 D．解析：因为 ，所以 ， ，即
4．选 B．解析：①函数 开口向上， ，因此 ， ，正确；② 为
真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此 不一定为真命题，错误；③由 得
或 ，因此 ，但 即 是 的充分不必要
条件．正确；④ ，原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题．错误．
5．选 C．解析：由折纸过程易知选 C.
6．选 D．解析：① 和 还有可能垂直，异面．② 可能在 内．③ 可能在 内
7．选 D．解析： ， ； ， ； ， ； ， ，所以输出时
8．选 C．解析：由题意
9．选 A．解析：函数 为奇函数，排除 B，D 选项；又 ， 时，
，函数在 上单调递增，故排除 C．
10．选 D．解析：由题知 ，平
移后为 ，因为平移后函数为偶函数，所以 ，
( )f x m 1a 2a 3 0a > 3 1 2
1 2 3 3
a a a ma a a a
+ + >+
{ }1 1A B x x∩ = − < ≤
2
2
2 2 2 1 1 21
i i i iz ii i
+ + −= = = = −− 1 2z i= +
2 4 32a a a+ = 2 3 4 33 42a a a a+ + = = 3 14a = 5 35 70S a= =
2 1y x x= − + 0∆ < x R∀ ∈ 2 1 0x x− + > p q∨
p q∧ 2 2 0x x+ − > 1x >
2x < − 21 2 0x x x> ⇒ + − > 2 2 0 1x x x+ − > ⇒ >/ 1x > 2 2 0x x+ − >
2 2x y x y> ≠ >
m n m α n β
1S = 1i = 6S = 3i = 19S = 5i = 20S = 7i = 20S =
2 2
2 4
2
6
7
15
C CP C
+= =
( ) sin cosf x x x x= − ( ) sinf x x x′ = ( )0,πx∈
( ) 0f x′ > ( )0,πx∈
π π π π 2π2cos cos 2sin cos sin 26 3 3 3 3y x x x x x = − + = + + = +
( ) 2π 2πsin 2 sin 2 23 3y x xϕ ϕ = − + = − +
2π π2 π3 2 kϕ− + = +因为 ，所以 的最小值是 ．
11 ． 选 A ． 解 析 ： ， ，
12 ． 选 B. 解 析 ： 等 价 于 与 同 号 ． 令 ，
，则 和 都是 上的单调函数，且都过定点 ，因此当且仅当 和
有相同的零点时同号（如图），由 得 ，代入 得 ，解得
．
二、填空题
题号 13 14 15 16
答案 3
13．解析：因为 ， ，因为 ，所以 ，所以
14．解析：易知 ， ，故 ，又 ，即 ，所以离心率是 3．
15．解析：由题意得： ，所以 ， ，所
以 ．
16．解析：在 中， ， ， ，由余弦定理得：
π π
12 2
kϕ = − 0ϕ > ϕ π
12
1 cos 1 cos60
P PAF α= =− − ° 1 cos 1 cos60
P PBF α= =+ + °
2
2
1
14
31 cos60 1 cos60 sin 60 3
4
P p pAF BF = × = = =− ° + ° °
( ) ( )11 2 0a xax e + − − ≥ 1ax − ( )1 2a xe + − ( ) 1f x ax= −
( ) ( )1 2a xg x e += − ( )f x ( )g x R ( )0, 1− ( )f x
( )g x ( ) 1 0f x ax= − = 1x a
= ( )g x
1
2 0
a
ae
+
− =
1
ln 2 1a = −
4− ( )
1
1na
n n
=
+
37 π3
( )2,3a = ( ), 6b m= − //a b ( )2 6 3m× − = 4m = −
( )1 ,0F c− ( ),0A a ( )2 ,0P c a+ 2 2c a c a= + + 3c a=
1
2
n
n
a n
a n
+ = +
32 4
1 2 3 1
1 2 3 1
3 4 5 1
n
n
a aa a n
a a a a n−
−⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = × × ×⋅⋅⋅× + ( )1
2
1
na
a n n
= +
( )
1
1na n n
= +
ABC△ 120BAC∠ = ° 2AC = 1AB =，即
解得： ．设 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 解得：
； 且 ， 又 为 中 点 ， 在
中 ， ， ， ． 由 余 弦 定 理 得 ：
， 即 ： ， 解 得
．又因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，由 ，
得 ，所以在 中， ．
设三棱锥 的外接球半径为 ，所以 ，
三棱锥 外接球表面积为： ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．解析：（1）由正弦定理得：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）由余弦定理得：
2 2 2 2 cosBC AC AB AC BC BAC= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 22 1 2 2 1 cos120 7BC = + − × × × ° =
7BC = ABC△ r 7 2 72 sin sin120 3
BCr BAC
= = =∠ °
7 21
33
r = =
( )22 22 2 2 1 7 2 2 7cos 2 72 1 7
AB BC ACABC AB BC
+ −+ −∠ = = =⋅ × × D BC
ABD△ 1 7
2 2BD BC= = 1AB = 2 7cos 7ABD∠ =
2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD ABD= + − ⋅ ∠
2
2 2 7 7 2 7 31 2 12 2 7 4AD
= + − × × × =
3
2AD = PA ⊥ ABC PDA∠ PD ABC 5cos 5PDA∠ =
tan 2PDA∠ = Rt PAD△ 3tan 2 32PA AD PDA= ⋅ ∠ = ⋅ =
P ABC− R
2 22
2 3 21 37
2 2 3 12
PAR r
= + = + =
P ABC− 2 374π π3S R= =
3sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C+ + =
( )3sin cos sin 0A B B C+ + =
3sin cos sin 0A B A+ =
( )0,πA∈
sin 0A > 1cos 3B = −
2 2sin 3B =
2 2 2 - 2 cosb a c ac B= +∴ 或 （舍去）
∴
18．（1） ，
，
故 关于 的线性回归方程为 ．
（2）把 代入 ，
可得 关于 的回归方程为 ．
由 ，得
解得 ，即当 时，累计确诊人数将超过 1000 人．
19．（1）作 的中点 ，连接 ，由题知 平面 ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，则， ， ， ，以 为坐标原点，以 ，
， 分别为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ，
， ，
，
设平面 的一个法向量为
2 112 9 2 3 3c c = + − × × −
212 9 2c c= + +
1c = 3−
1 1 2 2sin 3 1 22 2 3ABCS ac B= = × × × =△
( )1 1 2 3 4 5 6 7 47x = × + + + + + + = ( )7 2
1
28i
i
x x
=
− =∑
( )( )
( )
7
1
7 2
1
15.4ˆ 0.5528
i i
i
i
i
x x
b
x x
ω ω
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 1.3a bxω= − =
ω x ˆ 0.55 1.3xω = +
ˆ ˆln yω = ˆ 0.55 1.3xω = +
y x 0.55 1.3ˆ xy e +=
0.55 13 1000xe + > 0.55 1.3 ln1000 6.9x + > ≈
10.2x > 11x =
AD O PO PO ⊥ ABCD
AB ABCD⊂ PO AB⊥
AB AD⊥ PO AB O∩ =
AB ⊥ ABCD
BC F OF PO OA⊥ PO OF⊥ OA OF⊥ O OA
OF OP x y z
1 3 2
2 2OA OD BC= = = 2 2 2 3 2
2OP PB BF OF= − − =
2 ,1, 22E
3 2 ,0,02D
−
3 2 ,3,02C
−
( )2 2, 1, 2ED = − − − ( )0,3,0DC =
EDC ( ), ,n x y z=则有 ，令 ，所以
易知平面 的一个法向量为
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
20．解：（1） ， ，由题意得
解得 ，
因此椭圆 的标准方程为 ．
（2）由 得 ，即
若直线 的斜率不存在，则 ， ，不满足
因此直线 的斜率存在，设为 ，
由 ，得
恒成立
设 ， ，则
由 ， ， 得
，从而
2 2 2 0
3 0
x y z
y
− − − = =
1x = ( ) 1,0, 2n = −
DCB ( )0,0,1m =
2 2 5cos , 55
m nm n
m n
⋅ −= = = −
E DC B− − 2 5
5
( )1 ,0F c−
2
, bB c a
− −
2
2 2 2
2
1
2 2
a
b
a
c
a b c
=
− =− −
= +
2a = 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
0 1
0 2 2
Py − =− 1Py = − ( )0, 1P −
MN ( )0, 3M ( )0, 3N − 3PM PN= −
MN 1y kx= −
2 2
1
14 3
y kx
x y
= −
+ =
( )2 24 3 8 8 0k x kx+ − − =
( )2 264 32 4 3 0k k∆ = + + >
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
4 3
kx x k
+ = +
( )1 1, 1PM x y= + ( )2 2, 1PN x y= + 3PM PN= −
( )1 2
1 2
3
1 3 1
x x
y y
= −
+ = − +
1 2 2
1 2 2
2
2 4
x x x
y y y
+ = −
+ = − −即
代入椭圆方程，得
解得 ，即
因此直线 的方程为 ，即 或 ．
21．解：（1）由 得
∴切线的斜率为
又 ，因此切线方程为
即 ．
（2） ，
由题意知， ， 是方程 在 内的两个不同实数解，
令 ，
注意到 ，其对称轴为直线 ，故只需
，
解得 ，即实数 的取值范围为 ；
由 ， 是方程 的两根，得
， ，
( )
1 2
2 2
2
1 2
2 1 2 2
4
2 4 3
8 32 12 2 4 3
x x kx k
y y k ky x x k
+ = = − − + + + = − = − + − = − − +
( )
( )
( )
222
2 22 2
8 316 1
4 4 3 3 4 3
kk
k k
+
+ =
+ +
2 3
2k = 6
2k = ±
MN 6 12y = ± − 6 2 2 0x y− − = 6 2 2 0x y+ + =
( ) ln 1
af x x x
= − + ( ) ( )2
1
1
af x x x
′ = +
+
( )1 1 4
ak f ′= = +
( )1 2
af = − ( )1 12 4
a ay x + = + −
( )4 4 4 3 0a x y a+ − − − =
( ) ( )
( )
( ) ( )2
2 2
2 11 0
1 1
x a xaf x xx x x x
+ + +′ = + = >
+ +
1x 2x ( ) 0f x′ = ( )0,+∞
( ) ( ) ( )2 2 1 0g x x a x x= + + + >
( )0 1 0g = > 2x a= − −
( )2
2 0
2 4 0
a
a
− − >
∆ = + − >
4a < − a ( ), 4−∞ −
1x 2x ( )2 2 1 0x a x+ + + =
1 2 2x x a+ = − − 1 2 1x x =因此
又 ，所以 ， ， 三者满足关系： ．
（或答： ， ， 成等差数列．）
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
解：（1）由题知：点 的坐标满足 （ ）
所以点 的轨迹方程为
（2）直线 的参数方程为 （ 是参数）
所以直线 的直角坐标方程为：
所以
23．[选修 4－5：不等式选讲]
解：（1）
所以不等式 等价于 或
故解集为： 或
（2）由 的图象可知 ，所以 ．
( ) ( )1 2 1 2
1 2
ln ln1 1
a af x f x x xx x
+ = − + − + +
( ) 1 2
1 2
1 2 1 2
2ln 1
x xx x a x x x x
+ += − ⋅ + + +
2 2
1 2 1
aa a
− − += − ⋅ − − +
a= −
( )1 2
af = − ( )1f x ( )2f x ( )1f ( ) ( ) ( )1 2 2 1f x f x f+ =
( )1f x ( )1f ( )2f x
P 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
[ ]0,πα ∈
P ( ) ( )2 21 1 0x y y− + = ≥
l 1x t
y t
= − +
=
t
l 1y x= +
min 2 2
1 0 1 1 2 1
1 1
PQ
− += − = −
+
( )
2 2, 2
2 2, 2 0
2 2, 0
x x
f x x x x
x x
− − < −
= + + = − ≤ +
3 1 2
1 2 3 3
2a a a
a a a a
+ + >+
3 2 31
1 2 3 3
1 2a a aa
a a a a
++ + − >+
3 2 31
1 2 3 3
3a a aa
a a a a
++ + >+
1a 2a 3 0a > 3
1
0a
a
> 1
2 3
0a
a a
>+
2 3
3
0a a
a
+ >
3 2 31
1 2 3 3 3 2 313
1 2 3 3
13
a a aa
a a a a a a aa
a a a a
++ ++ +≥ ⋅ ⋅ =+
3 2 31
1 2 3 3
3a a aa
a a a a
++ + ≥+
3 2 31
1 2 3 3
a a aa
a a a a
+= =+ =
1 3a a= 2 0a = 1a 2a 3 0a > =
3 1 2
1 2 3 3
2a a a
a a a a
+ + >+
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