西南名校联盟高考诊断性联考卷
秘密★启用前
2020 届“3+3+3” 高考备考诊断性联考卷(三)
理科数学
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.若复数 z 满足 ,则在复平面上复数 z 所对应的点所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已 知 集 合 , 集 合 ( 其 中 z 表 示 整 数 集 ), 则
A. {1，2, 3} B. {-1, 1} C. {1, 2} D. {1}
3.已知数列 既是等差数列又是等比数列，首项 a1=1,则它的前 2020 项的和等于
A. B. C.2020 D.0
4.任取满足 的一对实数 x，y，下列选项中，事件“x2+y2≥1”发生的概率最接近的
百分数是
A.20% B.30% C.70% D.80%
5. (1+2x2)(1-x)5 的展开式中 x 的系数等于
( )(1 )z i i i− − =
{ }4log 1xA x= < { }2 3 0,B x x x z= − ≥ ∈ ( )ZA C B = { }na 20201 1 q q − − 12021 2021 1010a d+ × 2x y+ ≤
A.3 B. 4 C. -5 D. -6
6.函数 的图象在点 T(0, f(0))处的切线 l 与坐标轴围成的三
角形面积等于
A. B. C. D.
7.方程 的图形大致形状为
8.已知 .其中 a，b 表示直线， 、β 表示平面,给出如下 5 个命题:①若 // ,则
// ②若 a⊥b，则 ⊥ :③ 与 不垂直，则 a⊥b 不可能成立:④若 .
则 ⊥β;⑤ ⊥β, ∩β=l, a⊥l,则 a⊥b.其中真命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.已知非负实数 x，y 满足: ,则 2x-3y 的取值范围是
A. [-2, B. C. [-3, 0] D. [-2, 0]
10.已知 O 是线段 KF 的中点，|KF|=4. 直线 l 经过点 K 且与 KF 垂直，PH⊥l(垂足是 H),
PO=PF=PH,则∆POF 的外接圆半径等于
A. B. C. D.
11.已知函数 ，则
A. B.
C. D.
12.已知函数 ,对 ∈[0, π]，都有
,满足 f(x2)=0 的实数 x 有且只有 3 个，给出下述四个结论:
①满足题目条件的实数 x0 有且只有 1 个; ②满足题目条件的实数 x1 有且只有 1 个;
( ) 3sin 4cosf x x x= +
4
3
5
3
7
3
8
3
2x y+ =
,a bα β⊂ ⊂ α α β a
β α β α β = , ,l a l b lα β ⊥ ⊥
α α α
2 2 0,3 2 2 0x y x y− + ≥ − − ≤
4]3
4[ 3, ]3
−
9 3
8
9 2
8
8 3
9
8 2
9
( ) cos 2 2x xf x x −= − −
1
33
4(log ) ( 2) ( 3)f f f> − >
1
3 2
3( 3) (log ) ( 2)f f f− > >
1
3 5
6( 3) ( 2) (log )f f f> − >
1
3 4
5( 2) ( 3) (log )f f f> >
0 1 2( ) 2sin( )( 0), , , [0, ]6f x x x x x
πω ω π= − > ∈ x∀
0 1( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤
③f(x)在 上单调递增; ④ 的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.如图 1,在∆MBC 中，D, E 是 BC 的两个三等分点，若
，则
14.已知等差数列| 满足: 表
示 的前 n 项之和，则
15.设 F1，F2 是双曲线 C: 的左、右焦点，M 是 C 上的第一象限的一点，若∆MF1F2
为直角三角形，则 M 的坐标为_____________.
16.如图 2 的几何体，是在用密度等于 8g/cm3 的钢材铸成的底面直径和高都等
于 cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在
圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入
进行取整).
三、解答题(共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)
2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据
表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒)，人传人，传播快，传播广，病亡率高，
对人类生命形成巨大危害。在中华人民共和国，在中共中央、国务院强有力的组织领导下，
全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡
人数 3869 人)。然而，国外因国家体制、思想观念与中国的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越
来越严重。据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午 6 时公布的统计数据，选取 5 月 6 日至 5 月 10
(0, )9
π ω 13 19[ , )6 6
, ,BC mAD nAE m n R= + ∈ ___m n− =
{ }na 1 2019 20200,2020 2019 , na a a S≠ ⋅ = ⋅
{ }na 2019
2020
_____S
S
=
2
2 12
x y− =
2( 2 1)+
日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中 t 表示时间变量，日期“5 月 6 日”、“5 月 7 日”对应
于“t=6"、“t=7"， 依次下去):
由上表求得累计病亡人数与时间的相关系数 r=0.98.
(1) 在 5 月 6 日~10 日,美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性?
(2)选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为 0 的近似数，求每日累计病亡人数 y 随时
间 t 变化的线性回归方程;
(3)请估计美国 5 月 11 日新冠肺炎病亡累计人数，请初步预测病亡人数达到 9 万的日期
附:回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为
18. (本小题满分 12 分)
已知∆ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别等于 a, b, c,列举如下五个条件:
① ② ;③cosA+cos2A=0; ④a=4;⑤∆ABC 的面积等
于 .
(1)请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角 A 大小的条件来求角 A;
(2)在(1)的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求∆ABC 周长的取值范围
y a bt
∧ ∧ ∧
= +
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b a y bt
t t
∧ ∧ ∧
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
sin sin 2
B Ca B b
+= 3 cos sin 3A A+ =
4 3
19. (本小题满分 12 分)
如图 3 甲，E 是边长等于 2 的正方形的边 CD 的中点，以 AE、BE 为折痕将∆ADE 与△BCF 折
起，使 D，C 重合(仍记为 D),如图乙。
(1) 探索:折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质(写出一条即可，不含 DE⊥DA, DE⊥ DB，
说明理由);
(2)求二面角 D-BE-A 的余弦值
20. (本小题满分 12 分)
已知函数
(1) 若 f(x)在[0, 2]上是单调函数，求 a 的值;
(2) 已知对 ∈[1, 2], f(x)≤1 均成立，求 a 的取值范围
2 1( ) [ ( 2) 1] xf x x a x e −= − + +
x∀
21. ( 本小题满分 12 分)
已知椭圆 C 关于 x 轴、y 轴都对称，并且经过两点 4(0, ), B(1, )
(1)求椭圆 C 的离心率和焦点坐标;
(2) D 是椭圆 C 上到点 A 最远的点，椭圆 C 在点 B 处的切线 l 与 y 轴交于点 E,求△BDE 外接圆
的圆心坐标.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注
意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，
则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中，方程 C: 表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”( 如图 4). :
3 3
2
−
=sin 2 ( )Rρ θ ρ ∈
(1)求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标; .
(2)直角坐标系的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合.求直线 l:
上的点 M 与四叶攻瑰线上的点 N 的距离的最小值
23. (木小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 .
(1)若 ,解不等式 f(x)≤1;
(2)已知当 x>0 时， 的最小值等于 m,若 使不等式
成立，求实数 a 的取值范围.
2020 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三）
理科数学参考答案
1
1
x t
y t
= −
= +
( ) 2f x x x a= + +
1a = −
2 3 1 2 3( )( )x x x x x x− − −+ + + + 0x R∃ ∈
0 0( ) ( )f x a f x m− > +
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C A C D A C B B A D
【解析】
1． ，故选 B．
2． ， ， ，则 ，故选 D．
3． 既是等差数列又是等比数列， ，则 (常数数列)，前 2020 项的和等
于 2020，故选 C．
4．考虑用几何概型，如图 1， 表示边长等于 2 的正方
形区域， 表示半径等于 1 的单位圆的外部，两个区
域 的 中 心 重 合 ， 事 件 “ ” 发 生 的 概 率
21.5%，对比四个选项，故选 A．
5 ． 其 中 的 展 开 式 中 含 的 项 是
， 的展开式中没有含 的项，故选 C．
6 ． 则 切 线 的 方 程 为
取 解得切线 在 轴上的截距 取 解得切线 在 轴上
的截距 则直线 与坐标轴围成的三角形面积 ，故选 D．
7．取 得 ，图形在 轴上的截距等于 ；取 得 ，图形在 轴上的截
距等于 ；取 得 ，则点 在图形上，排除 B，C，D，故选 A．
另解：当 时， ，将抛
物线弧（凹的） 上移 2 个单位得到
的图象，再因 的图形关于两条坐标轴对称，选 A，或者排除 B，C，D，故选
A．
i i (1 i) 1 1i i1 i 2 2 2z
+− = = = − +−
， 1 3 i2 2z = − +
(0 4)A = ， { || | 3 }B x x x= ∈Z≥ ， ( ) { 1 0 1}BZ
= − ， ， ( ) {1}A BZ
=
{ }na 1 1a = *1( )na n= ∈N
| | | | 2x y+ ≤
2 2 1x y+ ≥
2 2 1x y+ ≥ P =
4 π π14 4
− = − ≈
2 5(1 2 )(1 )x x+ − 5 2 51 (1 ) 2 (1 )x x x= − + − ， 51 (1 )x− x
1 1
5C ( ) 5x x− = − 2 52 (1 )x x− x
( ) 3sin 4cosf x x x= + ， ( ) 3cos 4sinf x x x′ = − ， (0) 4f = ， (0) 3f ′ = ， l
4 3( 0)y x− = − ， 0x = ， l y 4b = ， 0y = ， l x
4
3a = − ， l 1 8| || |2 3S a b= =△
0x = ， 2y = ± y 2± 0y = ， 4x = ± x
4± 1x = ， 1y = ± (1 1)±，
0 0x y≥ ， ≥ 2| | | | 2 2 ( 2) ( 0 0 2)x y x y y x x y+ = ⇔ = − ⇔ − = ≥ ， ≤ ≤
2 ( 0 2 0)y x x y= −≥ ， ≤ ≤ 2( 2) ( 0 0 2)y x x y− = ≥ ， ≤ ≤
| | | | 2x y+ =
图 1
8．命题①⑤是真命题，其它是假命题，故选 C．
9．设 作出四个不等式 ， ， ， 组合后表
示的可行域（四边形），解得可行域的四个顶点： ， ， ， ，
一一代入计算，比较得 ， ，所以 的取值范围是 ，故选 B．
10．已知 则点 位于以 为焦点、直线 为准线的抛物线上，以 的中点 为原
点、直线 为 轴建立直角坐标系（ 在正半轴上），依据 ，求得抛物线方程为
，焦点 ，作 轴( 是垂足)，由 知 平分 ，求得
， 由 对 称 性 ， 只 需 取 ， 设 外 接 圆 的 方 程 为
，将点 ， ， 的坐标代入求得 ，
， ，所以 外接圆的半径 ，故选 B．
11．设 ，求得 ，当 时， ，则 在 上
递 增 ， 易 知 是 上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 递 减 ，
， ，故选 A．
12． ， ，设 进
行 替 换 ， 作 的 图 象 如 图 2 ， 在 上 满 足
的 实 数 有 且 只 有 3 个 ， 即 函 数 在
上 有 且 只 有 3 个 零 点 ，由 图 象 可 知
， ，结论④正确；由图象知， 在 上只
有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误；当 时，
，由 知 ，所以 在
上递增，则 在 上单调递增，结论③正确，故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2 3x y z− = ， 0x≥ 0y≥ 2 2 0x y− + ≥ 3 2 2 0x y− − ≤
(0 0)O ， 2 03A
， (2 2)B ， (0 1)C ，
min 3z = − max
4
3z = z 43 3
− ，
PF PH= ， P F l KF O
KF x F | | 4KF =
2 8y x= (2 0)F ， PM x⊥ M PO PF= ， M OF
(1 2 2)P ±， (1 2 2)P ， POF△
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = (0 0)O ， (2 0)F ， (1 2 2)P ， 0F =
2D = − 7 2
4E = − POF△ 2 21 9 2
2 8r D E= + =
( ) 2 2x xg x −= + ( ) (2 2 )ln 2x xg x −′ = − 0x > ( )>0g x′ ( )g x [0 )+ ∞，
( ) cos 2 2x xf x x −= − − R π0 2
，
3
3 4 5 6
π2 3 log 2 log 3 log 4 log 5 0 2
∈ ， ， ， ， ， ， 3
4log 3 2 3< < 0ω > [0 π]x∈ ⇒， π π ππ6 6 6xω ω − ∈ − − ， π
6x tω − =
siny x= [0 π]，
2( ) 0f x = 2x siny x=
π ππ6 6
ω − − ，
π2π π 3π6
ω −
y t
ˆˆ ˆy b t a= +
6 7 8 9 10 85t
+ + + += =
23 55 69 85 10070000 100 766405y
+ + + += + × =
t t− y y−
t 8t =
76640y =
t t−
y y−
1
2
1
( )( )
ˆ ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b a y bt
t t
- -
-
-
å
å
，=
=
= =
2 2 2 2 2
( 2)( 4340) ( 1)( 1140) 0 260 1 1860 2 3360ˆ 1840( 2) ( 1) 0 1 2b
− − + − − + × + × + ×= =− + − + + +
ˆˆ 76640 1840 8 61920a y b t= − = − × =
y t ˆ 1840 61920y t= +
11t = ˆ 1840 11 61920 82160y = × + =
所以，估计 5 月 11 日累计病亡人数是 82160．
………………………………………………………………………………………（10 分）
令 ，解得 ，…………………………（11 分）
病亡人数要达到或超过 9 万，必须且只需 ， 对应于 5 月 16 日，
因此预测 5 月 16 日美国新冠肺炎病亡人数超过 9 万人．
………………………………………………………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）选择① 作为依据，
由正弦定理得 ，……………………………（2 分）
由 得 ，……………………………（3 分）
……………………………（4 分）
，……………………………（5 分）
， ．………………………………………………（6 分）
（2）选择添加条件⑤ 的面积等于 ，
则 ， ．……………………………（8 分）
由余弦定理和基本不等式： 周长
，……………………………（9 分）
当且仅当 时取等号，……………………………（10 分）
所以 的周长 的最小值等于 12．……………………………（11 分）
， ，可以让 ，此时周长 ．
的周长 的取值范围是 ．……………………………………………（12 分）
若选择添加“④ ”作为条件，用余弦定理和基本不等式，
ˆ 1840 61920 90000y t= + ≥ 15.26t ≥
16t ≥ 16t =
sin sin 2
B Ca B b
+=
πsin sin sin sin 2 2
AA B B = −
sin 0B ≠ ， sin cos 2
AA =
π2sin cos cos 02 2 2 2 2
A A A A = < (1 + )x∈ ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [0 2]， 3 1a + > ， 2a > −
( 1)x∈ −∞， ( ) 0f x′ < (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ >
( )f x [0 2]，
( )f x [0 2]， a 2a = −
[1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤
1x = ， (1) 1f a= − ≤
则 ， ，则 时， ， 在 上增，……………（8 分）
“对 ， 均成立”等价于
，………………………………………（9 分）
，………………………………………（10 分）
与 取交集，仍然得 ，所求 的取值范围是 ………（12 分）
解法二：根据（1），
若 ，则 在 上单减，
“在区间 上， 恒成立”等价于 ，不成立；
………………………………………（7 分）
若 即 ，则 时， ，函数 在 上单减，
在区间 上， ，“在区间 上， 恒成立”不成立；
………………………………………（8 分）
若 即 ，则 时， ，函数 在 上单增，
在区间 上， ，………………………………………（9 分）
“在区间 上， 恒成立” ，
解得 ，与 相交取交集，得 ；…………………………（10 分）
若 即 ，则 时， ， 时，
，函数 在 上递增，在 上递减，
在区间 上， ，
“在区间 上， 恒成立” ．
………………………………………（11 分）
构造辅助函数处理，设 ，
则 ， 在 上递增， ，
1a −≥ 3 2a + ≥ (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]，
[1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤
max
1 2( ) (2) 1e
af x f
−= = ≤
1 e
2a
−≥
1a −≥ 1 e
2a
−≥ a 1 e
2
− + ∞ ， ．
2a = − ( )f x R
[1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) (1)f x f= 2 1= ≤
3 1a + < ， 2a < − (1 )x∈ + ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [1 2]， [1 2]， max( ) (1) 2f x f a= = − > [1 2]， ( ) 1f x ≤
3 2a + ≥ ， 1a −≥ [1 2]x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]，
[1 2]， max
1 2( ) (2) e
af x f
−= =
[1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) 1f x⇔ ≤ 1 2(2) 1e
af
−⇔ = ≤
1 e
2a
−≥ 1a −≥ 1 e
2a
−≥
1 3 2a< + < ， 2 1a− < < − (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ > ( 3 2)x a∈ + ，
( ) 0f x′ < ( )f x (1 3)a +， ( 3 2)a + ， [1 2]， max 2 4( ) ( 3) ea af x f a + += + = [1 2]， ( ) 1f x ≤ 2 4 1ea a + +⇔ ≤ 2e 4 0a a+⇔ − − ≥ 2( ) e 4( 2 1)xg x x x+= − − − < < − 2( ) e 1xg x +′ = − ( )g x′ ( 2 1)− −， ( ) ( 2) 0g x g′ > − =
则函数 在 上递增， ，
因此 时， 均不成立．
综上，所求 的取值范围是
……………………………………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（1）已知椭圆 C 关于 轴、 轴都对称，设其方程为 （这样设可回避
焦点在哪条轴上的分类讨论）．…………………………………………（1 分）
由 在椭圆上，得 ，联立解得 ，
，…………………………………………（3 分）
得椭圆 C 的方程是 ．…………………………………………………………（4
分）
用 依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距，
则 ， ，则 ， ， ．…………………（5 分）
所以，椭圆 C 的离心率 ，焦点坐标为
…………………………………………………………………………………（6 分）
（2）设 ，则 ，即 ，
．…………………………………………（7 分）
函数 在区间 上递减，
则 取最大时， ，此时 ，
所以，椭圆 C 上到点 最远的点是 ……………………………（8 分）
设椭圆 C 在点 处的切线 的方程为 ，即 ，
与 联立消去 后整理得 ，
( )g x ( 2 1)− −， ( ) ( 1) e 3 0g x g< − = − < 2 1a− < < − ( )g a = 2e 4 0a a+ − − ≥ a 1 e 2 − + ∞ ， ． x y 2 2 1mx ny+ = 3(0 3) 1 2A B − ， ， ， 93 1 14n m n= + =， 1 4m = 1 3n = 2 2 14 3 x y+ = a b c， ， 2 24 3a b= =， 2 2 2 1c a b= − = 2a = 3b = 1c = 1 2 ce a = = 1 2( 1 0) (1 0)F F− ， ， ， ． ( )D x y， 2 2 14 3 x y+ = 2 244 ( 3 3)3x y y= − − ≤ ≤ 2 2 2| | ( 0) ( 3)DA x y= − + − 2 244 ( 2 3 3)3 y y y = − + − + 21 ( 3 3) 163 y= − + + 21| | ( ) ( 3 3) 163DA f y y= = − + + [ 3 3]− ， | |DA 3y = − 0x = A (0 3)D −， ． 31 2B − ， l 3 ( 1)2y k x+ = − 3 2y kx k = − + 2 2 14 3 x y+ = y 2 2 2(3 4 ) 4 (2 3) (2 3) 12 0k x k k x k+ − + + + − =
判别式 ，
由相切条件得 ， ，……………………………………（9 分）
所以椭圆 C 在点 处的切线 的方程是 ，
令 得 ，得切线 与 轴的交点坐标 ．……………………（10 分）
设 外接圆的方程为 ，
由三点 都在圆上，
得 解得 …………………………………（11 分）
， ，
所以 外接圆的圆心坐标是
………………………………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）
……………………………………（2 分）
所以 ， ，…………………………………………（3 分）
取 ，得 ，…………………………………………（4 分）
从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为 ，
化成直角坐标就是
………………………………………………………………………………………（5 分）
（2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线 对称．
2 2 2 2 216 (2 3) 4(4 3)[(2 3) 12] 36(2 1)k k k k k∆ = + − + + − = −
236(2 1) 0k∆ = − = 1
2k =
31 2B − ， l 1 22y x= −
0x = ， 2y = − l y (0 2)E −，
BDE△ 2 2 0x y mx ny p+ + + + =
31 (0 3)2B D − − ， ， ， ， (0 2)E −，
3 13 02 4
3 3 0
2 4 0
m n p
n p
n p
− + + =
− + + =
− + + =
，
，
，
1 2 3
4
2 3
2 3
m
n
p
+= −
= +
=
，
，
，
1 2 3
2 8
m +− = 312 2
n− = − −
BDE△ 1 2 3 318 2
+ − −
， ．
sin 2 ( ) | sin 2 | ( 0)Rρ θ ρ ρ θ ρ= ∈ ⇔ = ≥ ．
| sin 2 | | sin 2 | 1 sin 2 11
ρ θ θ θρ
= ⇒ = ⇒ = ± =
， ，
π2 π( )2 k kθ = + ∈Z π π
4 2
kθ = +
0 1 2 3k = ，， ， π 3π 5π 7π
4 4 4 4
θ = ， ， ，
π 3π 5π 7π1 1 1 14 4 4 4A B C D
， ， ， ， ， ， ，
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2A B C D
− − − −
， ， ， ， ， ， ， ．
y x=
事实上，将极坐标方程 化作直角坐标方程得 ，
将 互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线 对称； ………（6 分）
将 换作 ， 换作 后方程不变，说明四叶玫瑰线关
于直线 对称；………………………………………（7 分）
直线 的普通方程是 ，………………………………（8 分）
直线 与直线 垂直，且玫瑰线在直线 的同侧，
故 的最小值等于点 到直线 的距离：………………（9 分）
．……………………………………………………（10 分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
解：（1）当 时， ………………………（1 分）
或 或 ………………（3 分）
或 ，……………………………（4 分）
所以，当 时，不等式 的解集是 ．
………………………………………………………………………………………（5 分）
（2）当 时，利用柯西不等式，
，
………………………………………（6 分）
sin 2 ( )ρ θ ρ= ∈R 2 2 2 2( ) 2x y x y xy+ + =
x y， y x=
x y− y x−
y x= −
1
1
x tl y t
= −
= +
，： 2 0x y+ − =
l y x= l
| |MN 2 2
2 2A
， 2 0x y+ − =
min
2 2 22 2
| | 2 1
2
MN
+ −
= = −
1a = − ( ) 1f x ≤ 2 | 1| 1x x⇔ + − ≤
1
2 ( 1) 1
x
x x
⇔ + −
≥ ，
≤
1
2 (1 ) 1
x
x x
+ 2( ) | | 2 | | 9x a x x x a⇔ − + > + + + 2 9 | | | |a x x a⇔ + < − + | | | | | ( ) | | |x x a x x a a− + − + =≤ ( 0) ( 0)2 2 a ax a x a< − > > − + max2 9 (| | | |) | |a x x a a+ < − + = 3a < − ， a { | 3}a a < − ．
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