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2020 年高考模拟训练
数学试题 2020．06
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知全集 U 为实数集，集合 则集合 A∩B 为
A． B． C． D．
2 若复数 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 则复数 =
A． B．1 C． D．
3．已知直线 : 直线 若 ,则
A． B． C． D．
4 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称登泰山的线路有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村
汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，
且均没走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路.
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是
A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路
5 ． 已 知 直 线 与 圆 相 交 于 A 、 B 两 点 (O 为 坐 标 原 点 ) ， 则
的
{ | 1 3}, { | ln(1 )},A x x B x y x= − < < = = −
{ }|1 3x x≤ < { }| 3x x < { }| 1x x ≤ − { }| 1 1x x− < <
1 2,z z 1 2z i= − 1
2
z
z
1− 3 4
5 5 i− + 3 4
5 5 i−
1l sin 1 0,x yα + − = 2 :l 3 cos 1 0,x y α− + = 1 2l l⊥ sin 2α =
2
3
3
5
± 3
5
− 3
5
2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ =
5 0a OA OB= ⋅ = “ ” 是“ ”2
A 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6 如右图所示，点 F 是抛物线 的焦点，点 A、B 分别在抛物线 及圆 的实
线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则 的周长取值范围是
A． B． C． D．
7.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.
它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图 2 所示.已知
球的半径为 R，酒杯内壁表面积为 .设酒杯上部分(圆柱)的体积为 ，下部分(半球)的体积为 ，则
=
2 8y x= 2 8y x= ( )2 22 16x y− + =
FAB∆
( )2,6 ( )6,8 ( )8,12 ( )10,14
214
3 Rπ 1V 2V 1
2
V
V3
A．2 B． C．1 D.
8 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为左顶点，过点 A 且斜率为 的直
线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若 · 则该双曲线的离心率是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间
月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月
C．2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
10．如图，正方体 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 ，则下列结论
中正确的是
3
2
3
4
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a bba
− = > > 1 2, ,F F A 3
3
1MF
2 0,MF =
2 21
3
13
3
5
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1
2EF =4
A．线段 上存在点 E、F 使得 AF∥BF
B．EF∥平面 ABCD
的面积与 的面积相等
D．三棱锥 A-BEF 的体积为定值
11．已知函数 其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数，关于 有下述四个
结论正确的是：
的一个周期是 2π; 是非奇非偶函数；
在 单调递减； 的最大值大于 ．
12．若存在实常数 k 和 b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：
和 恒 成 立 ， 则 称 此 直 线 为 和 的 “ 隔 离 直 线 ” ， 已 知 函 数
为自然对数的底数)，则
在 内单调递增；
和 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为
C． 和 间存在“隔离直线"，且 k 的取值范围是 ；
和 之间存在唯一的“隔离直线"
1 1B D
.C AEF∆ BEF∆
( ) sin[cos ] cos[sin ],f x x x= + ( )f x
( ).A f x ( ).B f x
( ).C f x ( )0,π ( ).D f x 2
( )F x ( )G x ( )F x k bx +
( )G x bkx + y kx b= + ( )F x ( )G x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1, 0 , n (R 2 lf x x x g x x h x e x ex
= ∈ = < =
( ) ( ) ( ).A m x f x g x= −
3
1 ,0
2
x
∈ −
( ).B f x ( )g x 4−
( )f x ( )g x [ ]4,1−
. ( )D f x ( )h x 2y ex e= −5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 则实数 λ=▲
14．已知 则 ▲
15．函数 的部分图象如图所示，则 φ=▲;将函数 的图像沿 x 轴
向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 b=▲(第一个空 2 分，第二个空 3 分).
16．设集合 则集合 A 中满足条件：“2≤ ”
的元素个数为▲
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(10 分)① ② 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在已知等比数列{an|的公比 q>0 前 n 项和为 若▲，数列 满足
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列 的前 n 项和 ，并证明 .
18．(12 分)
的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设
(1)求 tanA；
(2)若 D 是 AC 边上的中点 .
( ) ( )1,0 , ,2 ,| 2 | | |,λ= = − = +a b a b a b
( ) ( ) ( ) ( )10 2 10
0 1 2 101 1 1 1 ,x a a x a x a x+ = + − + − + + − 8a =
( ) ( )sin 0,| | 2f x x
πϕ ω ϕω = + > 1 2,F F 2C 2 4 ( 0)y mx m= > 1C
( )2 1,0 .F 1 2C C、 2.3
:l y kx= , (M N N7
且|MO|=|NQ|．问满足条件的直线有几条，说明理由。
21．(12 分在
为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验试验.方案如下：每一轮选取两
只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，
再安排下一轮试验.4 轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是和 .
求 2 轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只的概率；
(2)已知 A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为 3 千元和
千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和 A 公司各承担该轮试验耗
材总费用的 若甲药治愈，乙药未治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 75%，其余由科研机构
承担.若甲药未治愈，乙药治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 25%，其余由科研机构承担.以 A 公
司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求 A 公司 4 轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元?
22．(12 分)
已知函数 其中
(1)判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
(2)讨论在 上函数 的零点个数.
3( , )2
5 5 5
4β β ∈ 和
3(1) ,5
β =若
(10 1)β −
50%;
( ) ln sin ,f x x ax x= + + ( )0, .x π∈
( )f x
,2
π π
( )f x89101112131415
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