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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第三讲 函数的概念和性质
答案部分
2019 年
1.解析 由 ，得 ，解得 ．
所以函数 的定义域是 ．
2.解析 设 ，则 ，
所以 f(-x)= ，
因为设 为奇函数，所以 ，
即 ．
故选 D．
3.解析 ①草莓和西瓜各一盒的价格为 ，则支付 元；
②设促销前顾客应付 元，由题意有 ，解得 ，而促销活动条件
是 ，所以 .
4.解析 由基本初等函数的图像与性质可知，只有 符合题意.故选 A.
5.解析 是定义域为 的偶函数，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又 在 上单调递减，所以 . 故选 C．
2010-2018 年
1．D【解析】当 时，函数 是减函数，则 ，作出 的
27 6 0x x+ −
2 6 7 0x x− − 1 7x−
27 6y x x= + − [ 1,7]−
e 1x− −
( ) e 1xf x −− = −
( ) e 1xf x −= − +
60 80 140 120+ = > 140 10 130− =
y ( )80% 70%y x−
1
8x y
120y max
min
1 1 120 158 8x y = = × =
1
2y x=
( )f x R 3 3
1(log ) (log 4)4f f=
3 3log 4 log 3 1> = 23
0320 2 2 2 1
−−< < < = 23 32 30 2 2 log 4 −−< < < ( )f x (0, )+∞ 23 32 3 1(2 ) (2 ) (log )4f f f −− > >
0x≤ ( ) 2 xf x −= ( ) (0) 1f x f =≥ ( )f x
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大 致 图 象 如 图 所 示 ， 结 合 图 象 可 知 ， 要 使 ， 则 需 或
，所以 ，故选 D．
2．D【解析】设 ，其定义域关于坐标原点对称，
又 ，所以 是奇函数，故排除选项 A，B；
令 ，所以 ，所以 ( )，所以 ( )，故排除
选项 C．故选 D．
3．C【解析】解法一 ∵ 是定义域为 的奇函数， ．
且 ．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 是周期函数，且一个
周期为 4，∴ ， ，
，
∴ ，
故选 C．
解法二 由题意可设 ，作出 的部分图象如图所示．
x
y
O
( 1) (2 )+
1x ≥ ( ) ( )2 1f x x= − ( ) ( )1f a f a≠ +
0 1a< < ( ) ( +1)f a f a= 2( 1 1)a a= + − 1 4a = 1 (4) 2(4 1) 6f fa = = − =
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9．D【解析】由 在 上单调递减可知 D 符合题意，故选 D.
10．D【解析】当 时， 为奇函数，且当 时， ，
所以 ．而 ，
所以 ，故选 D．
11．C【解析】由题意得
，故选 C．
12．B【解析】根据偶函数的定义 ，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选
项定义域为 不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选 B．
13．D【解析】A 为奇函数，B 为偶函数，C 是偶函数，只有 D 既不是奇函数，也不是偶函
数．
14．C【解析】∵ ，∴ ．
15．D【解析】因为 ，故函数是奇函数，
所以排除 A, B；取 ，则 ，故选 D．
16．C【解析】由函数 的表达式可知，函数 的定义域应满足条件：
，即 ，即函数 的定义域为 ，故选
C．
17．D【解析】当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；故选 D．
18．C【解析】由 ，即
所以， ， 由 ，
12 ( )2
x xy −= = R
1 1( ) ( )cos ( )cos ( )f x x x x x f xx x
− = − + = − − = −
x π= 1 1( ) ( )cos ( ) 0f π π π ππ π= − = − − < ( )y f x= ( )f x ( )f x (2, 3) (3, 4] ( ) ( )f x f x= − − 2 1 2 1 ,2 2 x x x xa a − − + += −− − (1 )(2 1) 0, 1xa a− + = = 2 1( ) ,2 1 x xf x += − 2 1( ) 32 1 x xf x += >−
1 1x− ( )f x 1
2x > ( 1) ( )f x f x+ =
(6) (5 1 1) (1)f f f= × + = 3(1) ( 1) [( 1) 1] 2f f= − − = − − − =
(6) 2f =
1
| 1| | 1| | 1| 2 1 1 3( 2 ) ( 2) 2 2 2 2 | 1| 2 2 2
a a af f a a− − −− > − ⇒ − > − ⇒ < ⇒ − < ⇒ < < ( ) ( )f x f x− = (0, )+∞ 2 1( 2) 2 4f −− = = 1 1 1( ( 2)) ( ) 14 4 2f f f− = = − = 2 4 | | 0 5 6 03 x x x x − − + > −
≥ 4 4
2 3
x
x x
−
> ≠
≤ ≤
或
0x > | |x x= sgn 1x = | | sgnx x x=
0x < | |x x= − sgn 1x = − | | sgnx x x= 0x = | | 0x x= = sgn 0x = | | sgnx x x=
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得， ， ，故选 C．
19．D【解析】由题意， 由 得，
或 ，解得 ，故选 D．
20．A【解析】函数 ，函数的定义域为 ，函数
，所以函数是奇函数．
，已知在 上 ，所以 在 上单
调递增，故选 A．
21．A【解析】∵ ，∴当 时， ，则 ，此等式
显然不成立，当 时， ，解得 ，
∴ = ，故选 A．
22．B【解析】 为奇函数， 为偶函数，故 为奇函数， | |为
奇函数，| | 为偶函数，| |为偶函数，故选 B．
23．C【解析】 ，解得 ．
24．D【解析】由 可知，准偶函数的图象关于 轴对称，排除 A，C，而
B 的对称轴为 轴，所以不符合题意；故选 D．
25．C【解析】由已知得 ，解得 ，又
，所以 ．
26．B【解析】四个函数的图象如下
5 5 5( ) 3 ,6 6 2f b b= × − = − 5( ( )) 46f f =
5
2
5 12
2 4b
b
−
− ≥
=
1
2b =
( ) 2
1 1 1' 1 1 1f x x x x
= + =+ − − ( )' 0f x >
1 2 2x< < 0 1x< < 5 12 53( ) 42 b b b − 2log ( 1) 3a− + = − 7a =
(6 )f a− = ( 1)f − 1 1 72 2 4
− − − = −
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
2
2 2 2(log ) 1 0 log 1 log 1x x x− > ⇒ > < −或 12 0 2x x> <
1( ) 2 1 2f x x= − ≤ 1 3
2 4x< ≤ 1 3 3 4x≤ ≤ ( )f x 1( ) 2f x ≤ 3 1 1 3[ , ] [ , ]4 3 3 4 − − ∪ 1( 1) 2f x − ≤ 1 2 4 7[ , ] [ , ]4 3 3 4 ∪ 1 1lg 2 lg lg(2 ) lg1 02 2 + = × = = 2 2( ) ( ) ln( 1 9 3 ) 1 ln[ 1 9( ) 3( )] 1f x f x x x x x+ − = + − + + + − − − + 2 2ln( 1 9 3 ) ln( 1 9 3 ) 2x x x x= + − + + + +
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33．D【解析】∵| |= ，∴由| |≥ 得，
且 ，由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 =1 时，易证 对 恒成立，故 =1 不适合，排除 C，故选 D．
34．C【解析】是奇函数的为 与 ,故选 C．
35．C【解析】 ，∴
36．A【解析】 ．
37．A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知 ，即函数
为偶函数，排除 C；由函数过 点，排除 B，D．
38．C【解析】 是奇函数， 是非奇非偶函数，而 D 在 单调递增．选
C．
39．B【解析】由已知两式相加得， ．
40．C【解析】因为 ，又因为
，所以 ，
所以 3，故选 C．
41．D【解析】由题意 f(1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f(－1.1)＝－1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，
故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数 a，有 f(a＋x)＝a＋
x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，故 f(x)在 R 上为周期函数．故选 D．
42．C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除 A；取 ＝－
( )f x
2 2 , 0
ln( 1), 0
x x x
x x
− ≤
+ >
( )f x ax 2
0
2
x
x x ax
≤
− ≥
0
ln( 1)
x
x ax
>
+ ≥ 2
0
2
x
x x ax
≤
− ≥
2a x≥ − a
a ln( 1)x x+ < 0x > a
3y x= 2siny x=
)()( xfxf −=
)0,0(
(0, )+∞
(lg(lg 2))f =
2 2ln ( 1 9 3 )( 1 9 3 ) 2x x x x = + − + + +
2 2ln ( 1 9 ) (3 ) 2x x = + − +
ln1 2 2= + =
1 0
1 0
x
x
+ >
− ≠
1
1
x
x
> −
≠
( ) ( )1 1 2f f− − − = −
1y x
= xy e−=
( )1 3g =
2
1(lg(log 10)) (lg( )) ( lg(lg 2)) 5lg 2f f f= = − =
( ) ( ) 8f x f x+ − = ( lg(lg 2)) (lg(lg 2)) 5 (lg(lg 2)) 8f f f− + = + =
x
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1，y＝ ＝ ＞0，故再排除 B；当 →＋∞时， －1 远远大于 的值且都为正，
故 →0 且大于 0，故排除 D，选 C．
43．B【解析】函数 为偶函数，且当 时，函数 为增函
数，所以在 上也为增函数，选 B．
44．B【解析】∵π 是无理数 ∴ ，则 ，故选 B．
45．B【解析】 故选 B．
46．D【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和 C 都不是定义域内的增函数，排除，只有 D
正确，因此选 D．
47．A【解析】 ，所以 ，故 ．
48．B【解析】 为奇函数， 在 上为减函数， 在 上
为减函数．
49．B【解析】令函数 ，则 ，所以 在 上
为增函数，又 ，所以不等式可转化为 ，由
的单调性可得 ．
50．A【解析】当 时，由 得 ，无解；当 时，由
得 ，解得 ，故选 A．
51．A【解析】∵ 为奇函数，∴ ，得 ．
52．A【解析】因为 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，
∴ ，选 A．
53．B【解】由 得 是偶函数，所以函数 的图象关于 轴对
2
1 0,
1 1, 1 0 0 2.
4 0,
x
x x x
x
+ >
+ ≠ ∴− < < < ≤ − ≥ 或 2 xy −= ( ) ( )f x f x− = ( )y f x= ( )y f x= y 1 1 13 − − 3 2 x 3x 3x 3 3 1x x − xy 2log= 0>x xxy 22 loglog ==
)2,1(
( ) 0g π = ( ( )) (0) 0f g fπ = =
1
2
log (2 1) 0x + > 0 2 1 1x< + < 1 02 x− < < 3y x= 2 1y x= − + (0, )+∞ (0, )+∞ ( ) ( ) 2 4g x f x x= − − ( ) ( ) 2 0g x f x′ ′= − > ( )g x R
( 1) ( 1) 2 4 0g f− = − + − = ( ) ( 1)g x g> − ( )g x
1x > −
0a > ( ) (1) 0f a f+ = 2 2 0a + = 0a < ( ) (1) 0f a f+ = 1 2 0a + + = 3a = − ))(12()( axx xxf −+= ( 1) (1) 0f f− + = 1 2a = )(xf 0x 2( ) 2f x x x= − 2(1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 3f f= − − = − × − + − = −
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称，可知 B，D 符合；由 得 是周期为 2 的周期函数，选项 D
的图像的最小正周期是 4，不符合，选项 B 的图像的最小正周期是 2，符合，故选
B．
54．A【解析】因为 ，所以 ，故选 A。
55．C【解析】∵ ，∴ ．于是，
由 得 ．故选 ．
56．B【解析】 ．
57．A【解析】∵ 是 上周期为 5 的奇函数，
∴
58． 【解析】要使函数 有意义，则 ，即 ，则函数 的
定义域是 ．
59． 【解析】因为函数 满足 ( )，所以函数 的最小正
周期是 4．因为在区间 上， ，
所以 ．
60．12【解析】∵ 是奇函数，所以 ．
61． 【解析】当 时，不等式为 恒成立；
当 ，不等式 恒成立；
当 时，不等式为 ，解得 ，即 ；
综上， 的取值范围为 ．
62．6【解析】由 ，得 ，所以函数 的周期 ，
( 2) ( )f x f x+ = ( )y f x=
( ) 2120 0 =+=f ( )( ) ( ) aafff 242220 2 +=+==
( )( ) aff 40 = 2424 =⇒=+ aaa C
( )f x R
3 1 1x + > ( ) ( )2 2log 3 1 log 1 0xf x = + > =
( ) 3 3 ( ), ( ) 3 3 ( )x x x xf x f x g x g x− −− = + = − = − = −
(3) (4) ( 2) ( 1) (2) (1) 2 1 1f f f f f f− = − − − = − + = − + = −
[2, )+∞ ( )f x 2log 1 0x − ≥ 2x≥ ( )f x
[2, )+∞
2
2 ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = x∈R ( )f x
( 2,2]−
cos ,0 2,2( ) 1| |, 2 0,2
x x
f x
x x
π
10 2x< ≤ 12 1 12 x x+ − + >
0x≤ 11 1 12x x+ + − + > 1
4x > − 1 04 x− < ≤ x 1( , )4 − +∞ ( 4) ( 2)f x f x+ = − ( 6) ( )f x f x+ = ( )f x 6T =
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所以 ．
63． 【解析】∵ ，∴
①当 时， ，
所以 的最大值 ，即 （舍去）
②当 时， ，此时命题成立．
③当 时， ，则
或 ，
解得 或 ，
综上可得，实数 的取值范围是 ．
64． 【解析】因为 ，所以函数 是奇函数，
因为 ，所以数 在 上单调递
增，又 ，即 ，所以 ，
即 ，解得 ，故实数 的取值范围为 ．
65． 2【解析】由题意可知 在函数图象上，即 ，∴ ．
66． 【解析】∵ ，所以 ；
时， ， 时， ，又 ，
所以 ．
67．3【解析】∵函数 的图像关于直线 对称，所以 ，
，又 ，所以 ，
则 ．
68． 【解析】函数 为偶函数，故 ，
3 1( ) 2 e ( )e
x
xf x x fx x− = − + + − = − ( )f x
2 2( ) 3 2 e e 3 2 2 e e 0x x x xf ' x xx − −= − + + ≥ − + ⋅ ≥ ( )f x R
21 ) 02( ) (f fa a+− ≤ 2( ) )2 (1a af f≤ − 22 1a a≤ −
2 12 0a a+ − ≤ 11 2a− ≤ ≤ a 1[ 1, ]2
−
1 ;2 6 62
− −
(919) (6 153 1) (1)f f f= × + = ( 1) 6f= − =
9( , ]2
−∞ [1,4]x∈ 4 [4,5]x x
+ ∈
5a≥ 4 4 4( ) 2 2 2 2 4f x a x a a x a x ax x x
= − − + = − − − × = −≤
( )f x 2 4 5a − = 9
2a =
4a ≤ 4 4( ) 5f x x a a xx x
= + − + = + ≤
4 5a< < max( ) max{| 4 | ,| 5 | }f x a a a a= − + − + | 4 | | 5 | | 4 | 5 a a a a a a − + − + − + = ≥ | 4 | | 5 | | 5 | 5 a a a a a a − + < − + − + = 9 2a = 9 2a < a 9( , ]2 −∞ 1[ 1, ]2 − − ( 1,4)− 4 2a= − + 2a = − 1( 2) 4, (4) 2f f− = = − 1( ( 2)) 2f f − = − 1x≤ min( ) 0f x = 1x > min( ) 2 6 6f x = − 2 6 6 0− < min( ) 2 6 6f x = − ( )f x 2x = ( ) (4 )f x f x= − ( ) (4 )f x f x− = + ( ) ( )f x f x− = ( ) (4 )f x f x= + ( 1) (4 1) (3) 3f f f− = − = = 3 2 − 3( ) ln( 1)xf x e ax= + + ( ) ( )f x f x− =
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即 ，化简得 ，
即 ， 整 理 得 ， 所 以 ， 即
．
69． 【解析】
70． 【解析】结合图形（图略），由 ，可得 ，可得 ．
71．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） （或填（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，其中 为正常数均
可）
【解析】过点 ， 的直线的方程为
，令 得 ．
(Ⅰ)令几何平均数 ，
可取 ．
(Ⅱ)令调和平均数 ，得 ，
可取 ．
72． 【解析】 ，求交集之后得 的取值范围 .
73． 【解析】由分段函数 ， ； ， ．
74． 【解析】由 可知 的单调递增区间为 ，
故 ．
( ]0,1
2
11 0 0 1
1 0 1 1
x xx
x x
+ > ⇒ > < − − ≥ ⇒ − ≤ ≤ 或 x ( ]0,1 3 3ln( 1) ln( 1)x xe ax e ax− + − = + + 3 2 3 6 1ln 2 ln x ax x x e ax ee e + = =+ 3 2 3 6 1 x ax x x e ee e + =+ 3 2 3 31 ( 1)x ax x xe e e++ = + 2 3 0ax x+ = 3 2a = − 1 23 1 1( ) ( ) 4 ( ) 2 12 2 2f f= − = − × − + = ( , 2]−∞ ( )( ) 2f f a ≤ ( ) 2f a −≥ 2a ≤ x x 1k x 2k x 1 2,k k ( , ( ))a f a ( , ( ))b f b− ( ) ( )( ) ( )f a f by f a x aa b +− = −− 0y = ( ) ( ) ( ) ( ) af b bf ac f a f b += + ( ) ( ) ( ) ( ) af b bf aab f a f b += + ( ) ( ) ( ) ( )ab f a ab f b bf a af b⇒ + = + ( ) ( 0)f x x x= >
2 ( ) ( )
( ) ( )
ab af b bf a
a b f a f b
+=+ +
( ) ( )
( ) ( )
ab ba af b bf a
a b f a f b
+ +=+ +
( ) ( 0)f x x x= >
( ),2−∞ 1x ≥ 1 1
2 2
log log 1 0x ≤ = 1x < 10 2 2 2x< < = 6− 2 2( ) 2 2 ax a x f x ax a x − − < −= + − ( )f x [ , )2 a− +∞ 3 62 a a− = ⇔ = −
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75． 【解析】 ．
76． 【解析】 ，
．
77．①③【解析】∵ ， ， ，
所以
对于①
，具有性质 P 的映射,同理可验证③符合，②不符合,答案应填.
78．【答案】①②④
【解析】① ，正确；
②取 ，则 ； ，从而
，其中， ，从而 ，
正确；③ ，假设存在 使 ，
∵ ，∴ ，∴ ，这
与 矛盾，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确
的序号是①②④．
79．－1【解析】设 ，∵ 为奇函数，由题意 也为奇函数。
所以 ，解得 ．
3
2
3 3 1 1 1 3( ) ( 2) ( ) ( ) 12 2 2 2 2 2f f f f= − = − = = + =
30,2 2 1 2 , 2a a a a a a> − + = − − − = −
30, 1 2 2 2 , 4a a a a a a< − + − = + + = − 1 1 1 1 2 1 2( ) , ( (1 ) ) ( (1 ) , (1 ) )f m x y f a b f x x y yλ λ λ λ λ λ= − + − = + − + − 1 2 1 2 1 1 2 2(1 ) (1 ) ( ) (1 )( )x x y y x y x yλ λ λ λ λ λ= + − − − − = − + − − ( ) (1 ) ( )f a f bλ λ= + − 0)2(2)2(2)22()2( 111 ====⋅= −−− ffff mmmm ]2,2( 1+∈ mmx ]2,1(2 ∈m x mm xxf 22)2( −= xxfxfxf m m m −==== +12)2(2)2(2)( ,2,1,0=m ),0[)( +∞∈xf 122)12( 1 −−=+ + nmnf n 9)12( =+nf 3 4 − 1 1( , )x ya = 2 2( , )x yb = Rλ ∈ 1 2 1 2(1 ) ( (1 ) , (1 ) )x x y yλ λ λ λ λ λ+ − = + − + −a b 12 1 [2 ,2 )n n n++ ∈ 1(2 1) 2 2 1 2 1n n n nf ++ = − − = − 2 1 9,2 10n n+ = = n Z∈ ( ) , ( ) x xg x x h x e ae−= = + ( )g x ( )h x (0) 0h = 1a = −
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