理科2010-2018高考数学真题分类训练专题15坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程

专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 2019 年 1..（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 2.（2019 全国 II 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点 且与 垂直，垂足为 P. （1）当 时，求 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 3.（2019 全国 III 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲 线 是弧 . （1）分别写出 ， ， 的极坐标方程； （2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标. 4.（2019 天津理 12）设 ，直线 和圆 （ 为参数）相 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= (4,0)A OM 0 = 3 θ π 0 ρ (2,0)A ( 2, )4B π ( 2, )4C 3π (2, )D π AB BC CD (1,0) (1, )2 π (1, )π 1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P | | 3OP = a∈R 2 0ax y− + = 2 2cos , 1 2sin x y θ θ = +  = + θ 切，则 的值为 . 2010-2018 年 1．(2018 北京)在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 =___． 2．（2017 北京）在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐 标为 ），则 的最小值为___________． 3．（2017 天津）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个 数为_____． 4．（2016 北京）在极坐标系中，直线 与圆 交于 两点，则 ____． 5．（2015 广东）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ． 6．（2015 安徽）在极坐标系中，圆 上的点到直线 距离的最大值 是 7．(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求 的直角坐标方程； (2)若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程． 8．(2018 全国卷Ⅱ)[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数 方程为 （ 为参数）． (1)求 和 的直角坐标方程； a cos sin ( 0)a aρ θ ρ θ+ = > =2cosρ θ a 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (1,0) | |AP 4 cos( ) 1 06 ρ θ π− + = 2sinρ θ= cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= ,A B | |AB = l 2 sin( ) 24 πρ θ − = Α 72 2, )4 πΑ( Α l 8sinρ θ= ( )3 R πθ ρ= ∈ xOy 1C | | 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = 2C 1C 2C 1C xOy C 2cos , 4sin , =  = x θ y θ θ l 1 cos 2 sin = +  = + x t α y t α t C l (2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 9．(2018 全国卷Ⅲ)[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 的 参 数 方 程 为 ，（ 为 参 数 ），过 点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点． (1)求 的取值范围； (2)求 中点 的轨迹的参数方程． 10．(2018 江苏)C．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中，直线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，求直线 被曲线 截得的弦长． 11．（2017 新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参 数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)． (1)若 ，求 与 的交点坐标； (2)若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 12．（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1) 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的 轨迹 的直角坐标方程； (2)设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值． 13．（2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)， 直线 的参数方程为 （ 为参数）．设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． C l (1, 2) l xOy O cos sin x y θ θ =  = θ (0, 2)− α l O A B α AB P l πsin( ) 26 ρ θ− = C 4cosρ θ= l C xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l 4 1 x a t y t = +  = − t 1a = − C l C l 17 a xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM | | | | 16OM OP⋅ = P 2C A (2, )3 π B 2C OAB∆ xOy 1l 2x t y kt = +  = t 2l 2x m my k = − + = m 1l 2l P k P C (1)写出 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ： ， 为 与 的交点，求 的极径． 14．（2017 江苏）在平面坐标系中 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参 数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值． 15．（2016 年全国 I）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参 数，a＞0）．在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ． （I）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； （II）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点 都在 上，求 a． 16．（2016 年全国 II）在直角坐标系 中，圆 C 的方程为 ． （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， ， 求 l 的斜率． 17．（2016 年全国 III）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为 参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标 方程为 ． （Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； C x 3l (cos sin )ρ θ θ+ − 2 0= M 3l C M xOy l 8 2 x t ty = − + = t C 22 2 2 x s y s  = = s P C P l xOy 1C cos 1 sin x a t y a t =  = + x 2C 4cosρ θ= 1C 1C 3C 0=aθ 0a 0tan =2a 1C 2C 3C xOy ( )2 26 25x y+ + = cos sin x t y t α α =  = 10AB = xOy 1C 3 cos sin x y α α  = = α 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C （Ⅱ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标． 18．（2016 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ， 椭圆 的参数方程为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点，求线 段 的长． 19 ．（ 2015 新 课 标 Ⅰ ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 ： ， 圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 ， 的极坐标方程； （ Ⅱ ） 若 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 , 设 与 的 交 点 为 , , 求 的面积． 20．（2015 新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ≠0） 其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， ： ． （Ⅰ）求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 与 相交于点 A， 与 相交于点 B，求 的最大值． 21．（2015 江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径. 22．（2015 陕西）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， ⊙ 的 极 坐 标 方 程 为 ． （Ⅰ）写出⊙ 的直角坐标方程； （Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标． 1C 2C | |PQ xOy l ( ) 11 ,2 3 ,2 x t t y t  = +  = 为参数 C ( )cos , 2sin , x y θ θθ =  = 为参数 l C ,A B AB xOy 1C 2x = − 2C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN∆ xOy 1C cos , sin , x t y t α α =  = t t 0 α π 1 2a = + 2．1【解析】圆的普通方程为 ，即 ． 设圆心为 ，所以 ． 3．2【解析】直线的普通方程为 ， 圆的普通方程为 ， 因为圆心到直线的距离 ，所以有两个交点． 4．2【解析】将 化为直角坐标方程为 ，将 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为 ，圆心坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 上，所以|AB|=2r=2． 5． 【解析】由 得 ，所以 ， 故直线 的直角坐标方程为 ，而点 对应的直角坐标为 ，所以点 到直线 ： 的距离为 ． 6．6【解析】圆 即 ，化为直角坐标方程为 ， 直线 ，则 ，化为直角坐标方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6． 7．【解析】(1)由 ， 得 的直角坐标方程为 ． (2)由(1)知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有 两个公共点． 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = (1,2)C min| | | | 2 1 1AP PC r= − = − = 2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − = 3 14d = < cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 3 1 0x y− − = 5 2 2 2 sin( ) 24 πρ θ - = 22 (sin cos ) 22 ρ θ θ´ - = 1y x- = l 1 0x y- + = 7(2 2, )4A π (2, 2)A - (2, 2)A - l 1 0x y- + = | 2 2 1| 5 2 22 + + = 8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ= 2 2( 4) 16x y+ - = 3 πθ = tan 3θ = 3 0x y- = (0,4) | 4 | 2 4 - = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 8．【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． (2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又 由 ① 得 ， 故 ， 于 是 直 线 的 斜 率 ． 9．【解析】(1) 的直角坐标方程为 ． 当 时， 与 交于两点． 当 时 ， 记 ， 则 的 方 程 为 ． 与 交 于 两 点 当 且 仅 当 ，解得 或 ，即 或 ． 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + C 2 2 14 16 + =x y cos 0α ≠ l tan 2 tanα α= ⋅ + −y x cos 0α = l 1=x l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0α α α+ + + − =t t C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0+ =t t 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cos α α α ++ = − +t t 2cos sin 0α α+ = l tan 2α= = −k O 2 2 1x y+ = 2 α π= l O 2 α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2 2| | 1 1 k < + 1k < − 1k > ( , )4 2 α π π∈ ( , )2 4 α π 3π∈ 综上， 的取值范围是 ． (2) 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ， 且 ， 满足 ． 于是 ， ．又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ． 10．C．【解析】因为曲线 的极坐标方程为 ， 所以曲线 的圆心为 ，直径为 4 的圆． 因为直线 的极坐标方程为 ， 则直线 过 ，倾斜角为 ， 所以 A 为直线 与圆 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ， 所以 ． 因此，直线 被曲线 截得的弦长为 ． x B O A l α ( , )4 4 π 3π l cos , ( 2 sin x t t y t α α = = − + 4 4 απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α  =  = − − (α 4 4 απ 3π< < ) C =4cosρ θ C (2,0) l πsin( ) 26 ρ θ− = l (4,0)A π 6 l C π 6 π 2 π4cos 2 36AB = = l C 2 3 11．【解析】（1）曲线 的普通方程为 ． 当 时，直线 的普通方程为 ． 由 解得 或 ． 从而 与 的交点坐标为 ， ． （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 ． 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ． 综上， 或 ． 12．【解析】（1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ． 由椭圆知 ， ． 由 得 的极坐标方程 ． 因此 的直角坐标方程为 ． （2）设点 的极坐标为 ．由题设知 ， ，于是 面积 C 2 2 19 x y+ = 1a = − l 4 3 0x y+ − = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l (3,0) 21 24( , )25 25 − l 4 4 0x y a+ − − = C (3cos ,sin )θ θ l | 3cos 4sin 4 | 17 ad θ θ+ − −= 4a −≥ d 9 17 a + 9 17 17 a + = 8a = 4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 8a = 16a = − P ( , )ρ θ ( 0)ρ > M 1( , )ρ θ 1( 0)ρ > | |OP ρ= 1 4| | cosOM ρ θ= = | | | | 16OM OP⋅ = 2C 4cosρ θ= ( 0)ρ > 2C 2 2( 2) 4( 0)x y x− + = ≠ B ( , )B ρ α ( 0)B ρ > | | 2OA = 4cosB ρ α= OAB∆ 1 | | sin2 BS OA AOBρ= ⋅ ⋅ ∠ 4cos | sin( ) |3 πα α= − 32 | sin(2 ) |3 2 πα= − − ． 当 时， 取得最大值 ． 所以 面积的最大值为 ． 13．【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ； 消去参数 得 的普通方程 ． 设 ，由题设得 ，消去 得 ． 所以 的普通方程为 （2） 的极坐标方程为 联立 得 ． 故 ，从而 代入 得 ，所以交点 的极径为 ． 14．【解析】直线 的普通方程为 . 因为点 在曲线 上，设 ， 从而点 到直线 的的距离 ， 当 时， . 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 . 15．【解析】(1) （ 均为参数） ∴ ① cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 2 3+≤ 12 πα = − S 2 3+ OAB∆ 2 3+ t 1l ( ):l y k x= −1 2 m 2l ( ):l y xk = +2 1 2 ( , )P x y ( ) ( ) y k x y xk  = − = + 2 1 2 k ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )cos sinρ θ θ− =2 2 2 4 ( ),θ π θ π≠0＜ ＜2 ( ) ( ) cos sin cos sin ρ θ θ ρ θ θ  − =  2 2 2 4 + - 2=0 ( )cos sin cos sinθ θ θ θ− =2 + tanθ = − 1 3 cos sinθ θ2 29 1= ， =10 10 ( )cos sinρ θ θ2 2 2- =4 ρ 2=5 M 5 l 2 8 0x y− + = P C 2(2 ,2 2 )P s s P l 2 2 2 2 | 2 4 2 8| 2( 2) 4 5( 1) ( 2) s s sd − + − += = − + − 2s = min 4 5 5d = P (4,4) C P l 4 5 5 ∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为 ∵ ∴ 即为 的极坐标方程 (2) 两边同乘 得 即 ② ：化为普通方程为 ，由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得： ，即为 ∴ ，∴ 16．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得 ， 由 可知圆 的极坐标方程为 ． (Ⅱ)记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ， 由垂径定理及点到直线距离公式知： ， 即 ，整理得 ，则 ． 17．【解析】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线， 所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值， ． 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ， 1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = 2 2 12 11 0x y+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = k 0kx y− = 2 2 6 1025 21 k k  − = −   +   2 2 36 90 1 4 k k =+ 2 5 3k = 15 3k = ± 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P 2C ( )d α | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α α πα α+ −= = + − 2 ( )6k k Z πα π= + ∈ ( )d α 2 此时 的直角坐标为 ． 18．【解析】椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ， 代入 ，得 ，即 ， 解得 ， . 所以 . 19．【解析】（Ⅰ）因为 ， ∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ． （Ⅱ）将 代入 ，得 ， 解得 = ， = ，|MN|= － = ， 因为 的半径为 1，则 的面积 = ． 20．【解析】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ．联立 解得 或 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ． 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ． 所以 ， P 3 1( , )2 2 C 2 2 14 yx + = l 11 2 3 2 x t y t  = +  = 2 2 14 yx + = 2 2 3( )1 2(1 ) 12 4 t t+ + = 27 16 0t t+ = 1 0t = 2 16 7t = − 1 2 16| | 7AB t t= − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = = 4 πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 ρ 2 2 2 ρ 2 1 ρ 2 ρ 2 2C 2C MN o1 2 1 sin 452 × × × 1 2 2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x y y x y x  + − = + − = 0, 0, x y =  = 3 ,2 3 ,2 x y  =  = 2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2 1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 α π≤ < A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α 2sin 2 3 cosAB α α= − 4 in( )3s πα= − 当 时， 取得最大值，最大值为 ． 21．【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 轴的正半轴，建 立直角坐标系 ． 圆 的极坐标方程为 ， 化简，得 ． 则圆 的直角坐标方程为 ， 即 ，所以圆 的半径为 ． 22．【解析】（Ⅰ）由 ， 从而有 ． （Ⅱ）设 ， 则 ， 故当 =0 时，| |取最小值，此时 点的直角坐标为 . 23．【解析】 ……5 分 （Ⅱ） 22 3sin , 2 3 sinρ θ ρ ρ θ= =得 ( )22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y= − =所以 1 3(3 t, t), C(0, 3)2 2P + 又 22 21 3| PC | 3 3 122 2t t t   = + + − = +        5 6 πα = AB 4 Ο x xoy C 2 2 22 2 sin cos 4 02 2 ρ ρ θ θ + − − =    2 2 sin 2 cos 4 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = C 2 2 2 2 4 0x y x y+ − + − = ( ) ( )2 21 1 6x y− + + = C 6 t PC P (3,0) 2cos .( ).3sin . x y θ θθ =  = （I ）曲线C的参数方程为 为参数 6 0.l x y+ − =直线 的普通方程为2 cos sin lθ θ曲线C上任意一点P( 2 . 3 ) 到 的距离为 5 4cos 3sin 6 .5d θ θ= + − 2 5 45sin( ) 6 , tan .sin30 5 3 dPA θ α α α= = + − =°则 其中 为锐角，且 22 5sin .5PAθ α当 ( + ) =- 1时， 取得最大值，最大值为 24．【解析】（I）C 的普通方程为 ． 可得 C 的参数方程为 （t 为参数， ） （Ⅱ）设 D .由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， ． 故 D 的直角坐标为 ，即 ． 25．【解析】将 消去参数 ，化为普通方程 ， 即 ： ，将 代入 得， ， ∴ 的极坐标方程为 ； （Ⅱ） 的普通方程为 ， 由 解得 或 ， ∴ 与 的交点的极坐标分别为( )， ． 26．【解析】（Ⅰ）由题意有 因此 的轨迹的参数方程为 （ ） （Ⅱ） 点到坐标原点的距离 （ ） 4 5cos 5 5sin x t y t = +  = + t 2 2( 4) ( 5) 25x y− + − = 1C 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 1C 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2C 2 2 2 0x y y+ − = 2 2 2 2 8 10 16 0 2 0 x y x y x y y  + − − + = + − = 1 1 x y =  = 0 2 x y =  = 1C 2C 2, 4 π (2, )2 π 2 5sin( ) 1 .5PAθ α+ =当 时， 取得最小值，最小值为 2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤ 1 cos , sin , x t y t = +  = 0 t x≤ ≤ (1 cos ,sin )t t+ tan 3, 3t t π= = (1 cos ,sin )3 3 π π+ 3 3( , )2 2 ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2 ,P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M cos cos2 , sin sin 2 , x y α α α α = +  = + 0 2α π< < M 2 2 2 2cosd x y α= + = + 0 2α π<