平邑一中高三二轮复习第八次调研测试
数学
一、单项选择题
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、两三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不
同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是律师
C．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是律师
4．以抛物线 的焦点为圆心，且与 的准线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．设函数 为奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁
为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更
元作纪历”。某老年公寓住有 位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔
百之龄（年龄介于 ），其余 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体 中， 和 均是边长为 的等边三角形，已知四面体 的四个顶点都
在同一球面上，且 是该球的直径，则四面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
{ }1,2,3,4,5,6,7U = { }2,3,4,5A = { }2,3,6,7B = UA B =
{ }1,4 { }1,4,5 { }4,5 { }6,7
1
a iz i
+= − a
1 0 1− 2
2: 4E x y= E
( )2 21 4x y− + = ( )22 1 4x y+ + =
( )2 21 4x y+ + = ( )22 1 4x y+ − =
( )f x 0x ≥ ( ) cosxf x e x= − ( ) ( )2 1 2 0f x f x− + − >
( ),1−∞ 1, 3
−∞
1 ,3
+∞
( )1,+∞
20
90 100− 19
94 95 96 98
ABCD ABC△ BCD△ 1 ABCD
AD ABCD
2
24
2
12
2
6
2
48．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线
与双曲线 的一条渐近线交于点 （点 在第一象限），点 在双曲线 的渐近线上，且 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照 亿人口计算，中国人均粮食产量约
为 斤——比全球人均粮食产量高了约 斤下图是中国国家统计局网站中 2010-2019 年，我国粮食产量
（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在 2010-2019 年（ ）
A．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增
B．2011 年我国粮食年产量的年增长率最大
C．2015 年-2019 年我国粮食年产量相对稳定
D．2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰
10．若 ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在单位圆 上任取一点 ，圆 与 轴正向的交点是 ，设将 绕原点 旋转到
所成的角为 ，记 关于 的表达式分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数， 是奇函数
O ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > F F x
C A A B C BF OA
0AB OB⋅ = C
2 3
3 2 3 2
14
950 250
1a b< < − 0c >
1 1a ba b
− > − 1 1a bb a
− < −
( )ln 0b a− >
c ca b
b a
>
2 2: 1O x y+ = ( ),P x y O x A OA O
OP θ ,x y θ ( )x f θ= ( )y g θ=
( )x f θ= ( )y g θ=B． 在 为增函数， 在 为减函数
C． 对于 恒成立
D．函数 对于 恒成立
12．如图，平面 平面 ， 是 内不同的两点， 是 内不同的两点，且 直线
， 分别是线段 的中点.下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 重合，则
C．若 与 相交，且 ，则 可以与 相交
D．若 与 是异面直线，则 不可能与 平行
三、填空题
13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是 ，且
与水平夹角均为 ， ，则物体的重力大小为______ .
14．已知 ， ，则 ______.
15．植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的
七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中 、 、 分别与 、 、 关于抛物线的对称轴
对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树
( )x f θ= ,2 2
π π −
( )y g θ= ,2 2
π π −
( ) ( ) 1f gθ θ+ ≥ 0, 2
πθ ∈
( )2 1t f θ= ≥ 0, 2
πθ ∈
α lβ = ,A C α ,B D β , , ,A B C D∉
l ,M N ,AB CD
AB CD MN l
,M N AC l
AB CD AC l BD l
AB CD MN l
1 2,F F
1 2,F F
45° 1 2 10 2NF F= = N
0, 2
πα ∈
5sin 4 5
πα − = tanα =
ABCDGFE A B C E F G苗，则共有不同的种植方法数是______.（用数字作答）
16 ． 已 知 函 数 ， 则 时 ， 的 最 小 值 为 ______ ， 设
，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是______.
四、解答题
17．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）求 面积的最大值.
18 ． 已 知 数 列 为 正 项 等 比 数 列 ， ； 数 列 满 足 ，
.
（1）求 ；
（2）求 的前 项和 .
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
① ，② 与平面 所成的角为 ，③ .
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ，且 ， 的中点为
.
（1）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，指出 在 上的位置并给以证明；
若不存在，请说明理由.
（2）若______，求二面角 的余弦值.
( ) 3 2
ln ,
2 3 1,
xf x
x x
= − +
1
1
x
x
≥
<
[ ]1,x e∈ − ( )f x
( ) ( ) ( )2g x f x f x a= − + ( )g x 6 a
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 3a =
3A
π=
4B
π= b
ABC△
{ }na 1 1a = { }nb 3nb =
( )1 1 2 2 3 3 ... 3 2 3 2n
n na b a b a b a b n+ + + + = + −
na
1
1
n nb b +
n nT
AB BC⊥ FC ABCD 6
π
3ABC
π∠ =
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2PA AB= = PD
F
AB G AF PCG G AB
F AC D− −20．已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明： 时， .
21．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术，区块链作为构造信任
的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式 2015 年至 2019 年五年期间，中国的区块链企业数
量逐年增长，居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
编号 1 2 3 4 5
企业总数量 （单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
注：参考数据 ， ， ， （其中 ）
附：样本 的最小二乘法估计公式为 ， .
（1）根据表中数据判断， 与 （其中 ，为自然对数的底数）哪一个回归方
程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果，求 关于 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家
区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加
此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司
( ) 1 lnf x a xx
= + ( ) xeg x x
=
( )f x
1a = ( ) ( ) 21 lnef x g x x ex
+ − + >
x
y
5
1
74.691i
i
y
=
=∑ 5
1
312.761i i
i
x y
=
=∑ 5
1
10.980i
i
z
=
=∑ 5
1
40.457i i
i
x z
=
=∑ lnz y=
( )( ), 1,2,...,i ix y i n=
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
y a bx= + dxy ce= 2.71828...e =
y x就获得此次信息化比赛的“优胜公司”.
已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 .请通过计算说明，哪两个
公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
22 ． 已 知 椭 圆 过 点 ， 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 点的直线 与椭圆 有且只有一个公共点，直线 平行于 （ 为原点），且与椭圆 交于两
点 、 ，与直线 交于点 （ 介于 、 两点之间）.
（i）当 面积最大时，求 的方程；
（ii）求证： ，并判断 ， 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？
平邑一中高三二轮复习第八次调研测试
数学参考答案
一、单项选择题
1-4 CBCD 5-8 DBBA
二、多项选择题
9．BCD 10．BD 11．ACD 12．BD
三、填空题
13．
14．
15．
16． ；
1
3
3
5
1
2
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )2,1P 1 2,F F C
1 2 1PF PF⋅ = −
C
P 1l C 2l OP O C
A B 2x = M M A B
PAB△ 2l
PA PB PB MA= 1 2,l l ,PA PB
20
3
36
4− 10, 4
四、解答题
17．解：（1）由正弦定理得： .
（2）因为 的内角和 ， ，所以 ，
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
当 即 时，
面积取得最大值
18．解：（1）令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ，
设数列 的公比为 ，则 ，
所以
（2）当 时， ，①
又 ，②
②－①得 ，
得 ， 时也成立，
所以 ，
，
所以
2 3 sinsin 4 2 2sin sin 3
a Bb A
π
π
⋅⋅= = =
ABC△ A B C π+ + =
3A
π= 20 3B
π< <
sin 4sinsin
ab B BA
= =
1 2 3 1sin 4 3sin sin 4 3sin cos sin2 3 2 2ABCS ab C B B B B B
π = = − = + △
26sin cos 2 3sin 2 3sin 2 36B B B B
π = + = − +
20 3B
π< < 726 6 6B
π π π− < − <
2 6 2B
π π− =
3B
π=
ABC△ 3 3
1n = ( )1 1 3 2 3 2 1a b = + − = 1 1b =
2n = 1 1 2 2 7a b a b+ = 2 2 6a b = 2 3b = 2 2a =
{ }na q 2
1
2aq a
= =
12n
na −=
2n ≥ ( ) 1
1 1 2 2 1 1... 3 2 5 2n
n na b a b a b n −
− −+ + = + −
( )1 1 2 2 3 3 ... 3 2 3 2n
n na b a b a b a b n+ + + + = + −
( ) ( ) ( )1 13 2 3 2 3 2 5 2 2 1 2n n n
n na b n n n− − = + − − + − = −
2 1nb n= − 1n =
2 1nb n= −
( )( )1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1n nb b n n n n+
= = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 2 3 5 2 2 1 2 1nT n n
= − + − + + − − + .
19．解：（1）在线段 上存在中点 ，使得 平面
证明如下：设 的中点为 ，连结 ，
易证四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）选择①：
因为 平面
所以 ，由题意可知， 、 、 彼此两两垂直，
故以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
因为
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 求得
平面 的法向量为
设二面角 的平面角为 ，则
即二面角 的余弦值为 ；
1 1 1 1 1 1 1 11 ... 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n
n n n n
= − + − + + − = − = − + + +
AB G AF PCG
PC H FH
AGHF
AF GH GH ⊂ PGC AF ⊄ PGC
AF PGC
PA ⊥ ABCD
PA BC⊥ AB AD AP
AB AD AP x y z
2PA AB= =
( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )2,2,0C ( )0,2,0D ( )0,1,1F ( )0,0,2P
( )0,1,1AF = ( )2, 1,1CF = − −
FAC ( ), ,u x y z= 0
0
u AF
u CF
⋅ =
⋅ =
( )1,1, 1u = − −
ACD ( )0,0,2v =
F AC D− − θ 3cos 3
u v
u v
θ
⋅
= =
F AC D− − 3
3选择②
因为 平面 ，取 中点 ，连结 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 ，
所以 平面 ， 与平面 所成的角为 ，故 ，
在直角三角形 中， ，又因为 ，故 ，
所以 ，所以 、 、 彼此两两垂直，
故以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 求得
平面 的法向量为
设二面角 的平面角为 ，则 .
即二面角 的余弦值为 .
PA ⊥ ABCD BC E AE AD M ,FM CM FM PA
1FM =
FM ⊥ ABCD FC ABCD FCM∠
6FCM
π∠ =
FCM 3CM = CM AE= 2 2 2AE BE AB+ =
BC AE⊥ AE AD AP
AE AD AP x y z
2PA AB= =
( )0,0,0A ( )3, 1,0B − ( )3,1,0C ( )0,2,0D ( )3,0,0E ( )0,1,1F ( )0,0,2P
( )0,1,1AF = ( )3,0,1CF =
FAC ( ), ,u x y z= 0
0
u AF
u CF
⋅ =
⋅ =
( )3, 3,3u = −
ACD ( )0,0,2v =
F AC D− − θ 21cos 7
u v
u v
θ
⋅
= =
F AC D− − 21
7选择③：
因为 平面
所以 ，取 中点 ，连结 ，
因为底面 是菱形
，所以 是正三角形，
又 是 的中点，所以 ，
所以 、 、 彼此两两垂直，
故以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 求得
平面 的法向量为
设二面角 的平面角为 ，则 ，
即二面角 的余弦值为 .
PA ⊥ ABCD
PA BC⊥ BC E AE
ABCD
60ABC∠ = ° ABC△
E BC BC AE⊥
AE AD AP
AE AD AP x y z
2PA AB= =
( )0,0,0A ( )3, 1,0B − ( )3,1,0C ( )0,2,0D ( )3,0,0E ( )0,1,1F ( )0,0,2P
( )0,1,1AF = ( )3,0,1CF = −
FAC ( ), ,u x y z= 0
0
u AF
u CF
⋅ =
⋅ =
( )3, 3,3u = −
ACD ( )0,0,2v
F AC D− − θ 21cos 7
u v
u v
θ
⋅
= =
⋅
F AC D− − 21
720．解：（1）函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，由于 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上可知： 时， 在 上单调递减；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以不等式等价于 ，
设 ， ，所以 时 ， 单调递增， 时
， 单调递减，所以 ；
设 ， ，所以 时 ， 单调递增， 时
， 单调递减，所以 .
虽然 的最小值等于 的最大值，但 ，所以 ，即 ，故原不等
式成立.
21．解：（1）选择回归方程 ，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.
（2）对 两边取自然对数，得 ；
令 ， ， ，得 .
由于 ， ， ，
因为 ，
则 .
( )f x ( )0,+∞
( ) 2 2
1 1a axf x x x x
−′ = − + =
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 0f x′ > 1x a
> ( ) 0f x′ < 10 x a
< <
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0x > ln1x e xe ex x
− + >
( ) 1xF x e ex= − + ( ) xF x e e′ = − ( )1,x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x ( )0,1x∈
( ) 0F x′ < ( )F x ( ) ( )min 1 1F x F= =
( ) lne xG x x
= ( ) ( )
2
1 lne xG x x
−′ = ( )0,x e∈ ( ) 0G x′ > ( )G x ( ),x e∈ +∞
( ) 0G x′ < ( )G x ( ) ( )max 1G x G e= =
( )F x ( )G x 1 e≠ ( ) ( )F x G x> ln1x e xe ex x
− + >
dxy ce=
dxy ce= ln lny c dx= +
lnz y= lna c= b d= z a bx= +
5
1
15i
i
x
=
=∑ 5
1
1 35 i
i
x x
=
= =∑ 5
1
1 2.1965 i
i
z Z
=
= =∑
( )( )
( )
5 5
1 1
5 5 22 22
1 1
5 40.457 5 3 2.196 0.75255 5 35
i i i i
i i
i i
i i
x x z z x z x z
b
x x x x
= =
= =
− − − ⋅ − × ×= = = ≈− ×− −
∑ ∑
∑ ∑
2.196 0.752 3 0.060a z bx= − = − × = −所以， 关于 的回归方程为 ；
所以， 关于 的回归方程为 .
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况： ——甲与乙先赛； ——甲与丙先赛； ——丙与乙选赛.
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，则甲公司获胜的概率分
别是：
，
由于 ，
所以甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大.
22．解：（1）设 ， ，
， ，
，所以 ，
又 在椭圆上，故 ，结合 ，
解得 ， ，故所求方程为： ，
（2）（i）由于 ，
设 方程为 ， ， ，
由 消 整理得 ，
.
z x 0.752 0.060z x= −
y x 0.752 0.060xy e −=
A B C
1
3
3
5
1
2
( ) 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 131 1 13 5 3 5 2 3 3 2 5 3 45P A = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ =
( ) 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 91 1 15 3 5 3 2 5 5 2 3 5 25P B = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) 1 3 1 1 1 3 11 2 5 3 2 3 5 5P C = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
9 13 1
25 45 5
> >
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
( )1 2, 1PF c= − − − ( )2 2, 1PF c= − −
2
1 2 4 1 1PF PF c⋅ = − + + = − 6c =
( )2,1P 2 2
4 1 1a b
+ = 2 2 6a b= +
2 8a = 2 2b =
2 2
18 2
x y+ =
1
2OPk =
2l 1
2y x t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
1
2
18 2
y x t
x y
= +
+ =
y 2 22 2 4 0x tx t+ + − =
( )
1 2
2
1 2
2 2
2 ,
2 4,
4 4 0 4
x x t
x x t
t t
+ = − = −
= − − > ⇒ 0y > 212 4y x= −
2
2
1
2
1 32 42 2 4
x xy
xx
− −′ = =
−−
2
1
2xy =′ = −
1
1
2lk = −
4 1
2
− 1
2 PAk PAk− q
1q = − 2 1q = − 3 1q = −
2 1q = − 1q = − 1q = − 1
2PAk = 1
2PBk = −
PB 1l
1l 2l PA PB
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