数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A.7 B.9 C.11 D.14
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.2
5.已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为
（ ）
{ }2, 1,0,1,2A = − − { }2 2B x x= < A B =
{ }0,1 { }1,1− { }1,0,1− { }0
( )3 i 10z − = z =
3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+
{ }na nS 1 1a = 4 6S = 7S =
sin 21 cos
α
α =+ tanα =
4
3
− 3
4
− 4
3
0 1a b< < <
a bb b< b ba b< a ba a< a ab a<
2cos 2 6y x
π = + 6
π ( )f x
( )
sin
f xy x x
=A. B.
C. D.
7.如图，圆柱的轴截面 为边长为 2 的正方形，过 且与截面 垂直的平面截该圆柱表面所得
曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
8.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A.8 B. C. D.13
9.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 E： （ ， ）的右焦点 F，若存在平行于 x
轴的直线 l，与双曲线 E 相交于 A，B 两点，使得四边形 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每
ABCD AC ABCD
2
2 2
19
5
16
3
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
ABOF
2 3 1+ 3 1+ 3 2 3珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠
和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再
随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 （ ）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
考生注意：
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为______.
1
3
4
9
5
9
2
3
( ) lnf x x a x a= − + a ∈ R
( )e,+∞ ( )2e ,+∞ ( )2 3e ,e ( )2 2e ,2e
1l 2l 3l 3l
1 2 3 4l l l l< < <
1 2 3 4l l l l< < =
1 2 3 4l l l l= = =
1 2 3 4l l l l= = <
a b 1a = 2b = ( )a a b⊥ − a b14.设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
15. 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的面积为
______.
16.如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球
与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， ， .
（Ⅰ）求证： 为等比数列；
（Ⅱ）求 的通项公式.
18.（本小题满分 12 分）
指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index，简称 ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，
体重（ ）/身高（ ）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当 时为肥胖，某地区随机调查
了 1200 名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≥
≥
3 2z x y= −
ABC△ 2 2 2 8
tana b c C
+ − = ABC△
10 P ABCD− 1O 2O
1O 2O
{ }na 1 1a = 2
1
2a = 1 22n n na a a+ ++ =
{ }1n na a+ −
{ }na
BMI BMI BMI =
kg m BMI 28≥（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的 平均值 ；
（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关.
肥胖 不肥胖 合计
高血压
非高血压
合计
P（ ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附： ， .
19.（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体 中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ，且
. ，平面 平面 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ，求几何体 的体积.
20.（本小题满分 12 分）
过点 的动直线 l 与 y 轴交于点 ，过点 T 且垂直于 l 的直线 与直线 相交于点 M.
（Ⅰ）求 M 的轨迹方程；
（Ⅱ）设 M 位于第一象限，以 为直径的圆 与 y 轴相交于点 N，且 ，求 的值.
21.（本小题满分 12 分）
BMI µ
99.9%
2K k≥
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1BCC B 1 1B C BC∥
1 1
1
2B C BC= AB AC= 1 1ABB A ⊥ ABC
1 1ACC ⊥ 1 1BCC B
2AB = 90BAC∠ = ° 1 1 1ABC A B C−
( )1,0A ( )0,T t l′ 2y t=
AM O′ 30NMA∠ = ° AM已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调性；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， （ ）， 交曲线E于点A，
B， 交曲线 E 于点 C，D.
（Ⅰ）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 的最大值为 m.
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 a，b，c 为正数，且 ，求证： .
文科数学答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （C）
( ) ( )1 lnf x x x= −
( )f x
( )e ex xf x x a≥ + ( )0,+∞
xOy 1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
1l 2l 0
θ θ= 0 2
πθ θ= + ( )0 0,θ π∈ 1l
2l
2 2BC AD+
( ) 1 2
2 1
x xf x x
+ − −= −
a b c m+ + = 1bc ac ab
a b c
+ + ≥
{ }2, 1,0,1,2A = − − { }2 2B x x= < A B =A. B. C. D.
解： ， ，故选 C.
2.已知复数 z 满足 ，则 （D）
A. B. C. D.
解： ，故选 D.
3.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （D）
A.7 B.9 C.11 D.14
解：法一：由 ， ，得 ，解得 ， ，
故选 D.
法二： ，又 ， ， ，故选 D.
4.已知 ，则 （A）
A. B. C. D.2
解： ， ，故选 A.
5.已知 ，则下列结论正确的是（B）
A. B. C. D.
解：法一： ， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调
递减，故选 B.
法二：取 ， ，则 ， ， ， ，显然 ，故选 B.
6.将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为
（ ）
{ }0,1 { }1,1− { }1,0,1− { }0
{ }2 2B x x= − <
ABOF
2 3 1+ 3 1+ 3 2 3
OA OB= OAF∴△ 3,2 2
c c ∴
2 2
2 2
3 14 4
c c
a b
∴ − =
2 2
2 2 2
3 4c c
a c a
∴ − =−
2
2
2
3 41
ee e
∴ − =− 3 1e = +
1
3
4
9
5
9
2
3则所拨数字为奇数的概率为 ，故选 C.
11.已知函数 （ ）有两个零点，则 a 的取值范围是（B）
A. B. C. D.
解： （ ），当 时， ， 在 上单调递增，不合题意，
当 时， 时， ； 时， ， 在 上单调递减，在
上单调递增， ，依题意得 ，取 ， ，
则 ， ，且 ， ，令
， 则 ， 在 上 单 调 递 增 ，
， ，故 a 的取值范围是 ，故选 B.
12.现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（B）
A.
B.
C.
D.
解：正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为 ，每段圆弧的半径 r 为顶点到中
心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长 ，圆的中心运动轨迹长也为 ，
依题意得边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 ，
5
9
( ) lnf x x a x a= − + a ∈ R
( )e,+∞ ( )2e ,+∞ ( )2 3e ,e ( )2 2e ,2e
( ) 1 a x af x x x
−′ = − = 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )0,+∞
0a > 0 x a< < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )0,a ( ),a +∞
( ) ( )min 2 lnf x f a a a a∴ = = − 2 ln 0a a a− < 2ea∴ > 1 ex = 2
2x a=
1x a< 2x a> ( ) ( )1 e e 0f x f= = > ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ln 2ln 1f x f a a a a a a a a= = − + = − +
( ) 2ln 1g a a a= − + ( ) 21 0g a a
′ = − > ( )g a∴ ( )2e ,+∞
( ) ( )2 2e e 3 0g a g∴ > = − > ( )2 0f x∴ > ( )2e ,+∞
1l 2l 3l 3l
1 2 3 4l l l l< < <
1 2 3 4l l l l< < =
1 2 3 4l l l l= = =
1 2 3 4l l l l= = <
2
n
π
2 2l n r rn
π π= ⋅ ⋅ = 2 rπ
1 2 3 4r r r r< < =，故选 B.
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为 .
解： ， ， ， ， 与 的夹角为 .
14.设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
解 ： 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 当 目 标 函 数 过 时 取 得 最 大 值 ， 即
，
15. 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的面积为 2.
解 ： 由 余 弦 定 理 知 ， ， ，
.
16.如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球
与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为 .
1 2 3 4l l l l∴ < < =
a b 1a = 2b = ( )a a b⊥ − a b 60°
( )a a b⊥ −
2
0a a b∴ − ⋅ = 1 1 2cos , 0a b− × = 1cos , 2a b∴ = a∴ b 60°
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≥
≥
3 2z x y= − 2
3
2 2,3 3
max
2 2 23 23 3 3z = × − × =
ABC△ 2 2 2 8
tana b c C
+ − = ABC△
2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = 8 2 costan ab CC
∴ = sin 4ab C∴ =
1 sin 22ABCS ab C∴ = =△
10 P ABCD− 1O 2O
1O 2O 2
24
π解 ： 设 O 为 正 方 形 的 中 心 ， 的 中 点 为 M ， 连 接 ， ， ， 则 ，
， ，如图，在截面 中，设 N 为球 与平面
的 切 点 ， 则 N 在 上 ， 且 ， 设 球 的 半 径 为 R ， 则 ，
， ，则 ， ， ，设
球 与 球 相 切 于 点 Q ， 则 ， 设 球 的 半 径 为 r ， 同 理 可 得 ，
，故小球 的体积 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， ， .
（Ⅰ）求证： 为等比数列；
（Ⅱ）求 的通项公式.
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即
又 ，
ABCD AB PM OM PO 1OM =
2 2 10 1 3PM PA AM= − = − = 9 1 2 2PO = − = PMO 1O
PAB PM 1O N PM⊥ 1O 1O N R=
1sin 3
OMMPO PM
∠ = = 1
1
1
3
NO
PO
∴ = 1 3PO R= 1 1 4 2 2PO PO OO R= + = = 2
2R∴ =
1O 2O 2 2PQ PO R R= − = 2O 4PQ r=
2
2 4
Rr∴ = = 2O 34 2
3 24V rπ π= =
{ }na 1 1a = 2
1
2a = 1 22n n na a a+ ++ =
{ }1n na a+ −
{ }na
1 22n n na a a+ ++ = ( ) ( )2 1 12 n n n na a a a+ + +− = − − ( )2 1 1
1
2n n n na a a a+ + +− = − −
2 1
1
2a a− = − 2 1
1
1
2
n n
n n
a a
a a
+ +
+
−∴ = −−是以 为首项， 为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， ，…， （ ），
累加得
又 ， （ ）
又 也符合上式，
18.（本小题满分 12 分）
指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index，简称 ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，
体重（ ）/身高（ ）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当 时为肥胖，某地区随机调查
了 1200 名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的 平均值 ；
（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关.
肥胖 不肥胖 合计
高血压
非高血压
合计
{ }1n na a+∴ − 1
2
− 1
2
−
1
1
1 1 1
2 2 2
n n
n na a
−
+
− = − ⋅ − = −
1
1
1
2
n
n na a
−
−
∴ − = −
2
1 2
1
2
n
n na a
−
− −
− = − 2 1
1
2a a − = − 2n ≥
2 2 1
1
1 1
1 1 1 1 1 2 12 2
12 2 2 2 3 3 21 2
n
n n n
na a
− −
− − − − = − + − + + − + − = = − − − − −
1 1a = 1 2 1 2 2 11 3 3 2 3 3 2
n n
na ∴ = − − − = − − 2n ≥
1 1a = 2 2 1
3 3 2
n
na ∴ = − −
BMI BMI BMI =
kg m BMI 28≥
BMI µ
99.9%P（ ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附： ， .
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200 名高血压患者中， 值在 的人数为 ，
在 的人数为 ，在 的人数为
1000 名 非 高 血 压 患 者 中 ， 值 在 的 人 数 为 ， 在 的 人 数 为
，在 的人数为
被调查者中肥胖人群的 平均值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200 名高血压患者中，有 人肥胖， 人不肥胖
1000 名非高血压患者中，有 人肥胖， 人不肥胖.
肥胖 不肥胖 合计
高血压 70 130 200
非高血压 230 770 1000
合计 300 900 1200
有 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关
19.（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体 中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ，且
. ，平面 平面 .
2K k≥
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
BMI [ )28,30 0.1 2 200 40× × =
[ )30,32 0.05 2 200 20× × = [ )32,34 0.025 2 200 10× × =
BMI [ )28,30 0.08 2 1000 160× × = [ )30,32
0.03 2 1000 60× × = [ )32,34 0.005 2 1000 10× × =
BMI
( ) ( ) ( )40 160 29 20 60 31 10 10 33 29.840 20 10 160 60 10
µ + × + + × + + ×= =+ + + + +
40 20 10 70+ + = 200 70 130− =
160 60 10 230+ + = 1000 230 770− =
( )2
2 1200 70 770 230 130 12.8 10.828200 1000 900 300K
× × − ×= = >× × ×
99.9%
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1BCC B 1 1B C BC∥
1 1
1
2B C BC= AB AC= 1 1ABB A ⊥ ABC（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ，求几何体 的体积.
解：（Ⅰ）取 的中点 E，连接 ， ， ，
是正方形， ，又平面 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
又 ， 平面 ， ， 平面
， 四边形 为平行四边形， ， 四边形 为平行四边形
， 平面
又 平面 ， 平面 平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥 和直三棱柱 的组合体
， ， ， 平面 ， 平面 ，
四棱锥 的体积
直三棱柱 的体积
所求几何体 的体积
20.（本小题满分 12 分）
过点 的动直线 l 与 y 轴交于点 ，过点 T 且垂直于 l 的直线 与直线 相交于点 M.
（Ⅰ）求 M 的轨迹方程；
（Ⅱ）设 M 位于第一象限，以 为直径的圆 与 y 轴相交于点 N，且 ，求 的值.
1 1ACC ⊥ 1 1BCC B
2AB = 90BAC∠ = ° 1 1 1ABC A B C−
BC AE 1C E AB AC= AE BC∴ ⊥
1 1ABB A 1BB AB∴ ⊥ 1 1ABB A ⊥ ABC 1BB∴ ⊥ ABC
AE ABC 1AE BB∴ ⊥
1BB BC 1 1BCC B 1BB BC B= AE∴ ⊥ 1 1BCC B
1 1B C BE ∥ ∴ 1 1BB C E 1 1 1C E B B A A∴ ∥ ∥ ∴ 1 1AAC E
1 1AE AC∴ ∥ 1 1AC∴ ⊥ 1 1BCC B
1 1AC 1 1ACC ∴ 1 1ACC ⊥ 1 1BCC B
1 1C AAC E− 1 1 1ABE A B C−
CE AE⊥ 1CE AA⊥ 1AA AE 1 1AAC E CE∴ ⊥ 1 1AAC E
∴ 1 1C AAC E−
1 1 1 1 1
1 1 1 42 2 23 3 3 3C AA C E AA C EV S CE AA AE CE− = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =矩形
1 1 1ABE A B C−
1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 22 2ABE A B C ABEV S AA BE AE AA− = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =
∴ 1 1 1ABC A B C−
1 1 1 1 1
4 1023 3C AA C E ABE A B CV V V− −= + = + =
( )1,0A ( )0,T t l′ 2y t=
AM O′ 30NMA∠ = ° AM解：（Ⅰ） ， ，当 时，M 的坐标为
当 时， ， ， 的方程为
由 得 ，
验证当 时，也满足
M 的坐标满足方程 ，即 M 的轨迹方程为
（Ⅱ）法二：设 （ ， ），则 ， ，
圆 的方程为
令 得 ，即 ， ，即 ， 轴
， ， ， 直线 的方程为
联立 ，消去 y 整理得 ，解得 或 （舍），即
A 为抛物线 的焦点，
法二：作 轴于 O， 轴于 ，则
又 A 为抛物线 的焦点， ，故圆 与 y 轴相切于点 N
， ， ， 直线 的方程为
( )1,0A ( )0,T t 0t = ( )0,0
0t ≠ 0
1 0l
tk t
−= = −−
1 1
l
l
k k t′ = − = l′∴ 1y x tt
= +
2y t= 2x t= ( )2 ,2M t t∴
0t = ( )2 ,2M t t
∴ 2 4y x= 2 4y x=
( )0 0,M x y 0x 0 0y > 2
0 04y x= 0 01,2 2
x yO
+ ′
O′ ( )( ) ( )( )0 01 0 0x x x y y y− − + − − =
0x = 2
0 0 0y y y x− + =
2
2 0
0 04
yy y y− + = 0
2
yy = 0 0, 2
yN
O N x′∴ ∥
30NMA∠ = ° 60NO A′∠ = ° 3AMk∴ = ∴ AM ( )3 1y x= −
( )
2
3 1
4
y x
y x
= −
=
23 10 3 0x x− + = 3x = 1
3x = 0 3x =
2 4y x= 0 1 4AM x∴ = + =
1O O y′ ⊥ 1MM y⊥ 1M ( )1 1
1
2O O MM OA′ = +
2 4y x= 1
1
2O O MA′∴ = O′
30NMA∠ = ° 60NO A′∠ = ° 3AMk∴ = ∴ AM ( )3 1y x= −联立 ，消去 y 整理得 ，解得 或 （舍），即
A 为抛物线 的焦点，
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调性；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
解：（Ⅰ）法一：由 ，知
当 时， ， ， ，此时
当 时， ， ， ，此时
在 上单调递减，在 上单调递增
法二：由 ，知
令 （ ），则 ， 在 上单调递增.
， 当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增.
（Ⅱ）不等式 等价于
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减
又 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在
( )
2
3 1
4
y x
y x
= −
=
23 10 3 0x x− + = 3x = 1
3x = 0 3x =
2 4y x= 0 1 4AM x∴ = + =
( ) ( )1 lnf x x x= −
( )f x
( )e ex xf x x a≥ + ( )0,+∞
( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) 1ln 1f x x x
′ = + −
0 1x< < ln 0x < 11 0x
− < 1ln 1 0x x
+ − < ( ) 0f x′ <
1x > ln 0x > 11 0x
− > 1ln 1 0x x
+ − > ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) 1ln 1f x x x
′ = + −
( ) ( ) 1ln 1h x f x x x
′= = + − 0x > ( ) 2 2
1 1 1 0xh x x x x
+′ = + = > ( )h x∴ ( )0,+∞
( ) 11 ln1 1 01h = + − = ∴ ( )0,1x∈ ( ) 0h x < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x >
( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( )e ex xf x x a≥ + ( )
ex
xa f x≤ −
( )
ex
xg x = ( ) 1
ex
xg x
−′ = 0 1x< < ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ <
( )
ex
xg x∴ = ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )
ex
xy f x∴ = − ( )0,1 ( )1,+∞上单调递增，即 在 处取得最小值
，故实数 a 的取值范围是
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， （ ）， 交曲线E于点A，
B， 交曲线 E 于点 C，D.
（Ⅰ）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求 的值.
解：（Ⅰ）由 E 的参数方程 （ 为参数），知曲线 E 是以 为圆心，半径为 2 的圆，
曲线 E 的普通方程为
令 ， 得 ，
即曲线 E 极坐标方程为
（Ⅱ）依题意得 ，根据勾股定理， ，
分将 ， 代入 中，得 ，
设 点 A ， B ， C ， D 所 对 应 的 极 径 分 别 为 ， ， ， ， 则 ， ，
，
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
( )
ex
xy f x= − 1x = 1
e
−
1
ea∴ ≤ − 1, e
−∞ −
xOy 1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
1l 2l 0
θ θ= 0 2
πθ θ= + ( )0 0,θ π∈ 1l
2l
2 2BC AD+
1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ ( )1,0
∴ ( )2 21 4x y− + =
cosx ρ θ= siny ρ θ= ( )2 2 2cos 1 cos 4ρ θ ρ θ− + =
2 2 cos 3 0ρ ρ θ− − =
1 2l l⊥ 2 2 2BC OB OC= + 2 2 2AD OA OD= +
0
θ θ= 0 2
πθ θ= + 2 2 cos 3 0ρ ρ θ− − = 2
02 cos 3 0ρ ρ θ− − = 2
02 sin 3 0ρ ρ θ+ − =
1
ρ 2
ρ 3
ρ 4
ρ 1 2 02cosρ ρ θ+ = 1 2 3ρ ρ = −
3 4 02sinρ ρ θ+ = −
1 2 3ρ ρ = −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 42 2BC AD OA OB OC OD ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ∴ + = + + + = + + + = + − + + −
2 2
0 04cos 6 4sin 6 16θ θ= + + + =已知函数 的最大值为 m.
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 a，b，c 为正数，且 ，求证： .
解：（Ⅰ） 的定义域为 ，
，
当且仅当 ，即 或 时取等号
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， ，
相加得 ，当且仅当 时取等号.
.
( ) 1 2
2 1
x xf x x
+ − −= −
a b c m+ + = 1bc ac ab
a b c
+ + ≥
( )f x 1
2x x
∈ ≠
R
( ) ( )1 2 1 2 2 1x x x x x+ − − ≤ + − − = −
( )( )1 2 0
1
2
x x
x
+ − ≥ ≠
11 2x− ≤ < 1 22 x< ≤
( ) 2 1 12 1
xf x x
−∴ ≤ =− 1m∴ =
1a b c+ + =
2 2bc ac bc ac ca b a b
+ ≥ ⋅ = 2 2bc ab bc ab ba c a c
+ ≥ ⋅ = 2 2ac ab ac ab ab c b c
+ ≥ ⋅ =
( )2 2bc ac ab a b ca b c
+ + ≥ + +
1
3a b c= = =
1bc ac ab
a b c
∴ + + ≥
微信/支付宝扫码支付