数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. B.1 C. D.2
4.已知 为抛物线 C： （ ）上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则 （ ）
A.2 B. C.3 D.
5.将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为
（ ）
A. B.
{ }1A x x= ∈ ≥ −Z { }2 2B x x= < A B =
{ }1 2x x− ≤ < { }1 2x x− ≤ < { }1,0,1− { }0,1
( )3 i 10z − = z =
3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+
{ }na nS 1 3
5
2a a+ = 4
15
2S = 1a =
1
2 2
( )2,2P 2 2y px= 0p > PF =
5
2
7
2
2cos 2 6y x
π = + 6
π ( )f x
( )
sin
f xy x x
=C. D.
6.已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.若 （ ）能被 9 整除，则 的最小值为（ ）
А.3 B.4 C.5 D.6
8.第 41 届世界博览会于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之
冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神
与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高 33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为
60.3 米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米，下底面边长是 69.9 米，则“斗冠”
的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线 E： （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，以原点 O 为圆心， 为半
径的圆与双曲线 E 的右支相交于 A，B 两点，若四边形 为菱形，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每
珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上
珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上
珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为（ ）
0 1a b< < <
log 2 log 2a b
< log loga bb a> b aa b< a ba b<
254 a+ a ∈ R a
20° 28° 38° 48°
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 1F 2F 1OF
2AOBF
3 1+ 3
2 2 1+A. B. C. D.
11.现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数 ， ， ， ，给出以下四个
命题：① 为偶函数；② 为偶函数； 的最小值为 0；④ 有两个零点.
其中真命题的是（ ）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
考生注意：
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为______.
3
8
1
2
2
3
3
4
1l 2l 3l 3l
1 2 3 4l l l l< < <
1 2 3 4l l l l< < =
1 2 3 4l l l l= = =
1 2 3 4l l l l= = <
( ) ln 1f x x x= − − ( ) lng x x= ( ) ( )F x f g x= ( ) ( )G x g f x=
( )y F x= ( )y G x= ( )y F x= ( )y G x=
a b 1a = 2b = ( )a a b⊥ − a b14.设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
15.如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球
与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为______.
16.已知单调数列 的前 n 项和为 ，若 ，则首项 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分）
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .已知 .
（Ⅰ）求证：a，b，c 成等差数列；
（Ⅱ）若 ， ，求 a，c 的值
18.（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体 中，四边形 是矩形，四边形 是梯形， ，且
， ，平面 平面 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≥
≥
3 2z x y= −
10 P ABCD− 1O 2O
1O 2O
{ }na nS 2
1n nS S n n++ = + 1a
ABC△ a b c> > sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A− = −
5b = 5 3sin 14B =
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1BCC B 1 1B C BC∥
1 1
1
2B C BC= AB AC= 1 1ABB A ⊥ ABC
1 1AAC ⊥ 1 1BCC B（Ⅱ）若 ，二面角 为 ，求 的值.
19.（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 中，已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，左右焦点分别为 ，
，过 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， ， 的中点分别为 E，F， 的周
长为 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设 的重心为 G，若 ，求直线 l 的方程.
20.（本小题满分 12 分）
己知函数 （ ）.
（Ⅰ）若 ，求 的单调性和极值
（Ⅱ）若函数 至少有 1 个零点，求 a 的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得 1 分且获得发
球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到 21 分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现 ，需
要领先对方 2 分才算该局获胜；③如果双方得分出现 ，先取得 30 分的一方该局获胜.现甲、乙两名
运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为 p；乙发球时，甲得分的概率为 q.
（Ⅰ）若 ，记“甲以 （ ， ）赢一局”的概率为 ，试比较 与
的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右 列联表部分数据，若不考虑其它
因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 p，q 的值.
①完成 列联表，并判断是否有 的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分 乙得分 总计
甲发球 50 100
乙发球 60 90
120CAB∠ = ° 1 1 1C AC B− − 120° 1AA
AB
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2
2 1F
2F 1F 1AF 1BF OEF△
2 2
2ABF△ 2
6OG =
( ) 2lnf x x x x ax= + − a ∈ R
3a = ( )f x
( ) 1
exy f x= +
20: 20
29: 29
2
3p q= = 21: i 19i ≤ i ∈ N ( )iP A ( )9P A ( )10P A
2 2×
2 2× 95%总计 190
②已知在某局比赛中，双方战成 ，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结束，求 X 的分布列
与期望.
参考公式： ，其中 .
临界值表供参考：
P（ ） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， （ ）， 交曲线E于点A，
B， 交曲线 E 于点 C，D.
（Ⅰ）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 的最大值为 m.
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 a，b，c 为正数，且 ，求证： .
理科数学答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
27 : 27
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2K k≥
xOy 1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
1l 2l 0
θ θ= 0 2
πθ θ= + ( )0 0,θ π∈ 1l
2l
2 2BC AD+
( ) 1 2
2 1
x xf x x
+ − −= −
a b c m+ + = 1bc ac ab
a b c
+ + ≥3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （C）
A. B. C. D.
解： ， ，故选 C.
2.已知复数 z 满足 ，则 （D）
A. B. C. D.
解： ，故选 D.
3.已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （A）
A. B.1 C. D.2
解 ： 法 一 ： 依 题 意 知 ， ， 两 式 相 除 得 ， 解 得 ，
，故选 A.
法二：依题意得 ， ， ，故选 A
4.已知 为抛物线 C： （ ）上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则 （B）
A.2 B. C.3 D.
解：将 代入抛物线 C 的方程，可得 ，则 ，故选 B
{ }1A x x= ∈ ≥ −Z { }2 2B x x= < A B =
{ }1 2x x− ≤ < { }1 2x x− ≤ < { }1,0,1− { }0,1
{ }2 2B x x= − < PF =
5
2
7
2
( )2,2P 1p = 0
1 522 2 2
pPF x= + = + =5.将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为
（D）
A. B.
C. D.
解 ： 依 题 意 得 ， 则
， ， ， 显 然 该 函 数 为 奇 函 数 ， 且 当 时 ，
，故选 D.
6.已知 ，则下列结论正确的是（C）
A. B. C. D.
解：法一：对于选项 A： ，错误；
对于选项 B： ， ，错误；对于选项 C：
， 在 上单调递减，由 得， ； ， 在 上单
调递增，由 得， ； ，正确；故选 C.
法 二 ： 取 ， ， 则 ， ， 显 然 ， 故 A 选 项 错 误 ：
2cos 2 6y x
π = + 6
π ( )f x
( )
sin
f xy x x
=
( ) 2cos 2 2cos 2 2sin 26 6 2f x x x x
π π π = + + = + = −
( ) 2sin 2 4cos
sin sin
f x x xy x x x x x
− −= = = x kπ≠ k ∈Z 0, 2x
π ∈
0y <
0 1a b< < <
log 2 log 2a b
< log loga bb a> b aa b< a ba b<
2 2
2 2
1 10 1 log log 0 log 2 log 2log log b aa b a b b a
< < < ⇒ < < ⇒ < ⇔ <
0 1 log loga aa b a b< < < ⇒ > log log log 1 logb b a ba b b a> ⇒ < <
0 1a<
ay x∴ = ( )0,+∞
a b< a aa b< b aa b∴ <
1
4a = 1
2b = 1log 2 2a
= − log 2 1b
= − log 2 log 2a b
>， ，显然 ，故 B 选项错误： ， ，显然 ，故
C 选项正确； ， ，显然 ，故 D 选项错误；故选 C.
7.若 （ ）能被 9 整除，则 的最小值为（B）
А.3 B.4 C.5 D.6
解： ，其中 能被
9 整除， 能被 9 整除，则当 时， 最小，且能被 9 整除，故
选 B.
8.第 41 届世界博览会于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之
冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神
与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高 33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为
60.3 米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米，下底面边长是 69.9 米，则“斗冠”
的侧面与上底面的夹角约为（C）
A. B. C. D.
解 ： 依 题 意 得 “ 斗 冠 ” 的 高 为 米 ， 如 图 ， ，
， 为 “ 斗 冠 ” 的 侧 面 与 上 底 面 的 夹 角 ，
， ， ， ，
，故选 C.
1log 2a b = log 2b a = log loga bb a< 1
2
ba =
1
41
2
ab =
b aa b<
2
2
aa = 2
2
bb = a ba b=
254 a+ a ∈ R a
( )2525 25 1 24 23 2 24
25 25 254 3 1 3 C 3 C 3 C 3 1a a a+ = + + = + + + + + +
25 1 24 23 2
25 253 C 3 C 3+ + +
24
22C 3 1 25 3 1 76a a a∴ + + = × + + = + 4a = − a
20° 28° 38° 48°
60.3 33.3 27− = 27PE =
( ) ( )1 1 139139.4 69.92 2 4ME MN EF= − = × − = PME∠
27 108tan 0.78139 139
4
PEPME ME
∠ = = = ≈ 3tan30 0.583
° = ≈ tan 45 1° = 0.58 0.78 1< 0b > 1F 2F 1OF
2AOBF
3 1+ 3
2 2 1+
2AOBF 2 2AF OA OF c∴ = = = 1 2F F
1 3AF c∴ = ( )1 2 2 3 1AF AF a c∴ − = = − 2 3 1
3 1
e∴ = = +
−
3
8
1
2
2
3
3
4
1 2
4 4C C 24= 1 2
2 4C C 12=
1 2
2 3C C 6= 12 6 3
24 4
+ =
1l 2l 3l 3lA.
B.
C.
D.
解：正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为 ，每段圆弧的半径 r 为顶点到中
心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长 ，圆的中心运动轨迹长也为 ，
依题意得边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 ，
，故选 B.
12.已知函数 ， ， ， ，给出以下四个
命题：① 为偶函数；② 为偶函数； 的最小值为 0；④ 有两个零点.
其中真命题的是（C）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
解： ， ， 为偶函数，①正确；
的定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数，②错误；
，∴当 时， ；当 时， ， 在
上单调递减，在 上单调递增， .考查函数 ，令 ， ，
则 或 ，当 时， 单调递增， 单调递减， 单调递减；当
时 ， 单 调 递 增 ， 单 调 递 增 ， 单 调 递 增 ， 时 ，
，又 为偶函数， 时， ，③正确，考查
1 2 3 4l l l l< < <
1 2 3 4l l l l< < =
1 2 3 4l l l l= = =
1 2 3 4l l l l= = <
2
n
π
2 2l n r rn
π π= ⋅ ⋅ = 2 rπ
1 2 3 4r r r r< < =
1 2 3 4l l l l∴ < < =
( ) ln 1f x x x= − − ( ) lng x x= ( ) ( )F x f g x= ( ) ( )G x g f x=
( )y F x= ( )y G x= ( )y F x= ( )y G x=
( ) ( )ln ln ln 1F x x x= − − ( ) ( ) ( )ln ln ln 1F x x x F x− = − − − − = ( )F x∴
( ) ln ln 1G x x x= − − ( )y G x∴ =
( ) 1 11 xf x x x
−′ = − = ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )0,1
( )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f∴ ≥ = ( )y F x= lnt x= ( )y f t=
1x < − 1x > ( )1,ex∈ lnt x= ( )y f t= ( )y F x∴ =
( )e,x∈ +∞ lnt x= ( )y f t= ( )y F x∴ = 1x∴ >
( ) ( )min e 0F x F∴ = = ( )F x ( ) ( ), 1 1,x∴ ∈ −∞ − +∞ ( )min 0F x∴ =函 数 ， 令 得 ， ， ， 又
， ， 直线 与函数 恰有两个交点，故 有两
个零点，④正确.故选 C.
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为 .
解： ， ， ， ， 与 的夹角为 .
14.设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
解 ： 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 当 目 标 函 数 过 时 取 得 最 大 值 ， 即
，
15.如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球
与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为 .
( )y G x= ( ) 0G x = ln 1 1x x− − = ± ( ) 0f x ≥ ln 1 1x x∴ − − =
2 2
1 1 1 1eef = + >
( )2 2e e 3 1f = − > ∴ 1y = ( )y f x= ( )y G x=
a b 1a = 2b = ( )a a b⊥ − a b 60°
( )a a b⊥ −
2
0a a b∴ − ⋅ = 1 1 2cos , 0a b− × = 1cos , 2a b∴ = a∴ b 60°
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≥
≥
3 2z x y= − 2
3
2 2,3 3
max
2 2 23 23 3 3z = × − × =
10 P ABCD− 1O 2O
1O 2O 2
24
π解 ： 设 O 为 正 方 形 的 中 心 ， 的 中 点 为 M ， 连 接 ， ， ， 则 ，
， ，如图，在截面 中，设 N 为球 与平面
的 切 点 ， 则 N 在 上 ， 且 ， 设 球 的 半 径 为 R ， 则 ，
， ，则 ， ， ，设
球 与 球 相 切 于 点 Q ， 则 ， 设 球 的 半 径 为 r ， 同 理 可 得 ，
，故小球 的体积 .
16.已知单调数列 的前 n 项和为 ，若 ，则首项 的取值范围是 .
解 ： 当 时 ， ， ， 当 时 ， ，
，两式相减得 ①. ， ，
当 时， ②，① ②得 ，
数列 从第 2 项起，偶数项成公差为 2 的等差数列，从第 3 项起，奇数项成公差为 2 的等差数列，
数列 单调递增，则满足 ， ，解得 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
ABCD AB PM OM PO 1OM =
2 2 10 1 3PM PA AM= − = − = 9 1 2 2PO = − = PMO 1O
PAB PM 1O N PM⊥ 1O 1O N R=
1sin 3
OMMPO PM
∠ = = 1
1
1
3
NO
PO
∴ = 1 3PO R= 1 1 4 2 2PO PO OO R= + = = 2
2R∴ =
1O 2O 2 2PQ PO R R= − = 2O 4PQ r=
2
2 4
Rr∴ = = 2O 34 2
3 24V rπ π= =
{ }na nS 2
1n nS S n n++ = + 1a 10, 2
1n = 1 2 2S S+ = 2 12 2a a∴ = − 2n ≥ 2
1n nS S n n++ = +
( ) ( )2
1 1 1n nS S n n− + = − + − 1 2n na a n++ = 2 3 4a a+ = 3 12 2a a= +
3n ≥ ( )1 2 1n na a n− + = − − 1 1 2n na a+ −− =
∴ { }na
∴ { }na 1 2 3 2 2a a a a< < < + 1 1 1 12 2 2 2 4 2a a a a∴ < − < + < − 1
10 2a< > sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A− = −
5b = 5 3sin 14B =
sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A− = −
( )sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B B C∴ − = − +
sin cos cos sin sin 2 sin cos cos sinA B C B B B C B C∴ − = − −
sin cos 2sin cos cos sinA B B B B C∴ = −
a b c> > cos 0B∴ ≠
sin 2sin sinA B C∴ = − 2sin sin sinB A C= +
2b a c= +
5 3sin 14B =
11cos 14B∴ =
5b = 10a c+ =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( ) ( )22 2 1 cosb a c ac B= + − + 2 2 115 10 2 1 14ac = − +
21ac∴ =
10
21
a c
ac
a c
+ =
=
>
7a = 3c =
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1BCC B 1 1B C BC∥
1 1
1
2B C BC= AB AC= 1 1ABB A ⊥ ABC（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，二面角 为 ，求 的值.
解：（Ⅰ）取 的中点 E，连接 ， ， ，
是矩形， ，又平面 平面 ， 平面
又 平面 ，
又 ， 平面 ， ， 平面
，且 ， ， 四边形 为平行四边形，
， 四边形 为平行四边形，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以 E 为原点， ， ， 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设 ， ， ， ， ，则 ， ，
， ，
易知平面 的一个法向量为
设 为平面 的法向量，由 得 ，
令 ，得
，解得 ，
19.（本小题满分 12 分）
1 1AAC ⊥ 1 1BCC B
120CAB∠ = ° 1 1 1C AC B− − 120° 1AA
AB
BC AE 1C E AB AC= AE BC∴ ⊥
1 1ABB A 1BB AB∴ ⊥ 1 1ABB A ⊥ ABC 1BB∴ ⊥ ABC
AE ABC 1AE BB∴ ⊥
BC 1BB 1 1BCC B 1BC BB B= AE∴ ⊥ 1 1BCC B
1 1B C BC ∥ 1 1
1
2B C BC= 1 1B C BE∴ ∥ ∴ 1 1BB C E
1 1 1C E B B A A∴ ∥ ∥ ∴ 1 1AAC E 1 1AE AC∴ ∥
1 1AC∴ ⊥ 1 1BCC B 1 1AC 1 1AAC ∴ 1 1AAC ⊥ 1 1BCC B
EC AE 1EC
2AB AC= = 1AA a= 120CAB∠ = ° 1AE∴ = 3CE = ( )3,0,0C ( )1 0, 1,A a−
( )1 0,0,C a ( )1 3,1,AC a= − ( )1 1 0,1,0AC =
1 1 1A B C ( )0,0,1m =
( ), ,n x y z=
1 1CAC 1
1 1
0
0
n AC
n AC
⋅ = ⋅ =
3 0
0
x y az
y
+ − = =
x a= ( ),0, 3n a=
2
3 1cos , 23
m n
m n
m n a
⋅
∴ = = =
⋅ +
3a = 1 3
2
AA
AB
∴ =在直角坐标系 中，已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，左右焦点分别为 ，
，过 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， ， 的中点分别为 E，F， 的周
长为 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设 的重心为 G，若 ，求直线 l 的方程.
解：（Ⅰ） ，
连接 ， ， ，O 分别为 ， 的中点， ， ，
同理 ，
的周长为 ， ，
又 ， . 椭圆 C 的标准方程为 .
（Ⅱ） 过点 且斜率不为 0， 可设 l 的方程为 ，设 ， ，
由 得
，
， 又 ， ， 即
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2
2 1F
2F 1F 1AF 1BF OEF△
2 2
2ABF△ 2
6OG =
2
2
ce a
= = 2a c=
2AF 2BF E 1AF 1 2F F 1 1
1
2EF AF∴ = 2
1
2OE AF=
1 1
1
2FF BF= 2
1
2OF BF=
OEF∴△ ( )1 1 2 2
1 2 2 22 AF BF AF BF a+ + + = = 2a∴ = 1c =
2 2 2b a c= − 1b∴ = ∴
2
2 12
x y+ =
l ( )1 1,0F − ∴ 1x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2
1
12
x my
x y
= − + =
( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
1 2 2
2
2
my y m
∴ + = + 1 2 2
1
2y y m
⋅ = − +
( )1 2 1 2 2
42 2x x m y y m
∴ + = + − = − + ( )2 1,0F 1 2 1 21,3 3
x x y yG
+ + + ∴
( ) ( )
2
2 2
2 2,
3 2 3 2
m mG
m m
− + +
( )
( )
( )
( ) ( )
2 22 4
2 2 22 2
2 2 4
3 29 2 9 2
m m mOG
mm m
− +∴ = + =
++ +令 ，解得
直线 l 的方程为 或
20.（本小题满分 12 分）
己知函数 （ ）.
（Ⅰ）若 ，求 的单调性和极值
（Ⅱ）若函数 至少有 1 个零点，求 a 的取值范围.
解：（Ⅰ）法一：当 时， ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增.
在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
法二：当 时， ，
在 上单调递增，且 ，
当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值
（Ⅱ） ，由 得
令 ，则
由 得 .
令 ，当 时， ， 在 单调递增，
， ， 存在 ，使得
( )
4
2
4 2
63 2
m
m
+ =
+ 2m = ±
∴ 2 1 0x y+ + = 2 1 0x y− + =
( ) 2lnf x x x x ax= + − a ∈ R
3a = ( )f x
( ) 1
exy f x= +
3a = ( ) 2ln 3f x x x x x= + − ( ) ln 2 2f x x x′∴ = + −
0 1x< < ln 0x < 2 2 0x − < ( ) ln 2 2 0f x x x′∴ = + − <
1x > ln 0x > 2 2 0x − > ( ) ln 2 2 0f x x x′∴ = + − >
( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = ( )1 2f = −
3a = ( ) 2ln 3f x x x x x= + − ( ) ln 2 2f x x x′∴ = + −
( )f x′ ( )0,+∞ ( )1 ln1 2 2 0f ′ = + − =
∴ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = ( )1 2f = −
( ) 21 1lne ex xf x x x x ax+ = + − +
2 1ln 0exx x x ax+ − + = 1 ln exa x x x
= + +
( ) 1ln exg x x x x
= + + ( ) ( )( )2
2 2 2
e 1 11 1 e e 11 e e e
xx x
x x x
x xx x x xg x x x x x
− ++ + − −′ = + − = =
( ) 0g x′ = e 1xx =
( ) exh x x= 0x > ( ) ( )1 e 0xh x x′ = + > ( ) exh x x∴ = ( )0,+∞
1 e 12 2h = ∴ 0
1 ,12x ∈
0
0e 1xx =且当 时， ，即 ，当 时， ，即
， ， 当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增
在 处取得最小值
， ，即 ，
，即
当 时，函数 无零点，
当 时， ， 函数 至少有 1 个零点，
故 a 的取值范围是
21.（本小题满分 12 分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得 1 分且获得发
球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到 21 分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现 ，需
要领先对方 2 分才算该局获胜；③如果双方得分出现 ，先取得 30 分的一方该局获胜.现甲、乙两名
运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为 p；乙发球时，甲得分的概率为 q.
（Ⅰ）若 ，记“甲以 （ ， ）赢一局”的概率为 ，试比较 与
的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右 列联表部分数据，若不考虑其它
因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 p，q 的值.
①完成 列联表，并判断是否有 的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分 乙得分 总计
甲发球 50 100
乙发球 60 90
总计 190
②已知在某局比赛中，双方战成 ，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结束，求 X 的分布列
( )00,x x∈ ( ) 1h x < e 1 0xx − < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 1h x > e 1 0xx − >
1 0x + >
2e 0xx > ∴ ( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x∴ ( )00, x ( )0 ,x +∞
( )g x∴ 0x x= ( )
00 0 0
0
1ln exg x x x x
= + +
0
0e 1xx = ( )0
0ln e ln1 0xx∴ = = 0 0ln 0x x+ =
00 0
0
1 1ln 0 1e 1xx x x
∴ + + = + = ( )0 1g x =
∴ 1a < ( ) 1
exy f x= +
1a ≥ ( ) 1ln eag a a a aa
= + + > ∴ ( ) 1
exy f x= +
[ )1,+∞
20: 20
29: 29
2
3p q= = 21: i 19i ≤ i ∈ N ( )iP A ( )9P A ( )10P A
2 2×
2 2× 95%
27 : 27与期望.
参考公式： ，其中 .
临界值表供参考：
P（ ） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
解：（Ⅰ） 甲以 （ ， ）获胜，则在这 个回合的争夺中，前 个回合里，甲赢
下 20 个回合，输掉 i 个回合，且最后一个回合必需获胜.
，
，
（Ⅱ）① 列联表如
甲得分 乙得分 总计
甲发球 50 50 100
乙发球 60 30 90
总计 110 80 190
， 有 的把握认为“比赛得分与接、发球有关”
②由 列联表知 ， ，此局比赛结束，比分可能是 ， ， ，
，4，5
若比分为 ，则甲获胜概率为 ，乙获胜概率为 ， ，
若 比 分 为 ， 则 甲 获 胜 的 情 况 可 能 为 ： 甲 乙 甲 甲 ， 乙 甲 甲 甲 ， 其 概 率
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2K k≥
21: i 19i ≤ i ∈ N 21 i+ 21 i+
( ) 20 21
20 20
2 2 2 2 113 3 3 3 3
i i
i i
i i iP A C C+ +
∴ = × × − × = × ×
( ) 21 9
9
9 29
2 1
3 3P A C ∴ = × ×
( ) 21 10
10
10 30
2 1
3 3P A C = × ×
( )
( )
21 9
9
29
9
21 10
10 10
30
2 1
29! 10! 20!3 3 3 19! 20! 30!2 1
3 3
CP A
P A C
× × × = = × × =× × ×
( ) ( )9 10P A P A∴ =
2 2×
( )2
2 190 50 30 60 50 5.40100 90 110 80K
× × − ×= ≈× × ×
5.40 3.841> ∴ 95%
2 2× 1
2p = 2
3q = 29: 27 30: 28 30: 29
2X∴ =
29: 27 2 1 1
3 2 3
× = 1 1 1
3 3 9
× = ( ) 1 1 42 3 9 9P X∴ = = + =
30: 28，
乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率 ，
，
若比分为 ，则 ，
X 的分布列为
X 2 4 5
P
请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， （ ）， 交曲线E于点A，
B， 交曲线 E 于点 C，D.
（Ⅰ）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求 的值.
解：（Ⅰ）由 E 的参数方程 （ 为参数），知曲线 E 是以 为圆心，半径为 2 的圆，
曲线 E 的普通方程为
令 ， 得 ，
即曲线 E 极坐标方程为
（Ⅱ）依题意得 ，根据勾股定理， ，
2 1 2 1 1 2 1 1 1
3 2 3 2 3 3 2 2 6
× × × + × × × =
2 1 1 1 1 2 1 1 2
3 2 3 3 3 3 2 3 27
× × × + × × × =
( ) 1 2 134 6 27 54P X∴ = = + =
30: 29 ( ) ( ) ( ) 4 13 175 1 2 4 1 9 54 54P X P X P X= = − = − = = − − =
∴
4
9
13
54
17
54
4 13 17 1852 4 59 54 54 54EX∴ = × + × + × =
xOy 1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
1l 2l 0
θ θ= 0 2
πθ θ= + ( )0 0,θ π∈ 1l
2l
2 2BC AD+
1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ ( )1,0
∴ ( )2 21 4x y− + =
cosx ρ θ= siny ρ θ= ( )2 2 2cos 1 cos 4ρ θ ρ θ− + =
2 2 cos 3 0ρ ρ θ− − =
1 2l l⊥ 2 2 2BC OB OC= + 2 2 2AD OA OD= +分将 ， 代入 中，得 ，
设 点 A ， B ， C ， D 所 对 应 的 极 径 分 别 为 ， ， ， ， 则 ， ，
，
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 的最大值为 m
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 a，b，c 为正数，且 ，求证： .
解：（Ⅰ） 的定义域为 ，
，
当且仅当 ，即 或 时取等号
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， ，
相加得 ，当且仅当 时取等号.
0
θ θ= 0 2
πθ θ= + 2 2 cos 3 0ρ ρ θ− − = 2
02 cos 3 0ρ ρ θ− − = 2
02 sin 3 0ρ ρ θ+ − =
1
ρ 2
ρ 3
ρ 4
ρ 1 2 02cosρ ρ θ+ = 1 2 3ρ ρ = −
3 4 02sinρ ρ θ+ = −
1 2 3ρ ρ = −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 42 2BC AD OA OB OC OD ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ∴ + = + + + = + + + = + − + + −
2 2
0 04cos 6 4sin 6 16θ θ= + + + =
( ) 1 2
2 1
x xf x x
+ − −= −
a b c m+ + = 1bc ac ab
a b c
+ + ≥
( )f x 1
2x x
∈ ≠
R
( ) ( )1 2 1 2 2 1x x x x x+ − − ≤ + − − = −
( )( )1 2 0
1
2
x x
x
+ − ≥ ≠
11 2x− ≤ < 1 22 x< ≤
( ) 2 1 12 1
xf x x
−∴ ≤ =− 1m∴ =
1a b c+ + =
2 2bc ac bc ac ca b a b
+ ≥ ⋅ = 2 2bc ab bc ab ba c a c
+ ≥ ⋅ = 2 2ac ab ac ab ab c b c
+ ≥ ⋅ =
( )2 2bc ac ab a b ca b c
+ + ≥ + +
1
3a b c= = =
1bc ac ab
a b c
∴ + + ≥
微信/支付宝扫码支付